不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

97:１３２人目の素数さん
07/07/01 14:54:06
〔問題〕
a>0 とする。
関数f(x)は上に凸な連続関数で、f(0)=a, f(a)=0 を満たすとする。
また、関数g(x)は、0≦g(x)≦a を満たす連続関数とする。
このとき次の不等式が成り立つことを示せ（下記不等式中にある積分は全て区間[0,a]の定積分とする)。
　∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx + a^2 ≦ 2∫f(x)dx.

* f(x)の微分可能性は保証されていません。

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:58-61番)
東大入試作問者スレ９

98:１３２人目の素数さん
07/07/01 15:02:42
>97
　∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx ≦ 2∫f(x)dx.

(略解)
max_[0≦y≦a] {f(y)+y} = M とおくと
　(右辺) ≦ ∫_[0,a] M dx = Ma,
題意により、f(x)+x は上に凸な連続関数。よって、折れ線 (0,f(0))－(h,M)－(a,0) より上側にある。
　(左辺) = 2∫_[0,h] {f(x)+x}dx + 2∫_[h,a] {f(x)+x}dx - 2∫_[0,a] xdx ≧ {f(0)+M}h + (M+a)(a-h) -a^2 = Ma.

99:98
07/07/01 15:13:30
>98の訂正, ｽﾏｿ

>97
(略解)
max_[0≦y≦a] {f(y)+y} = M とおくと
　(左辺) ≦ ∫_[0,a] M dx = Ma,
題意により、f(x)+x は上に凸な連続関数。よって、y=f(x)+x のグラフは折れ線 (0,f(0))－(h,M)－(a,a) より上側にある。
　(右辺) = 2∫_[0,h] {f(x)+x}dx + 2∫_[h,a] {f(x)+x}dx - 2∫_[0,a] xdx ≧ {f(0)+M}h + (M+a)(a-h) -a^2 = Ma.

100:１３２人目の素数さん
07/07/07 00:26:28
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp) より。

n≧1, m≧2とするとき、
Σ{k=1,n}( (1/k)^((m-1)/m) ) ＜ m n^(1/m)

101:１３２人目の素数さん
07/07/07 04:27:54
>100

左辺に
　(1/k)^{(m-1)/m} < ∫[k-1,k] (1/x)^{(m-1)/m} dx
を代入するらしいお…

102:１３２人目の素数さん
07/07/12 11:14:54
x,y,z is possible. Prove

{(xy^2+1)^(1/3)+(yz^2+1)^(1/3)+(zx^2+1)^(1/3)}^3≧xyz+1

103:１３２人目の素数さん
07/07/13 03:23:30
>>102
URLﾘﾝｸ(wiki.livedoor.jp)
に３通りの解答を載せておきました。

104:102
07/07/13 04:23:56
>>103
ありがとう！

105:102
07/07/13 09:35:05
>>104 どちらさま？

>>103ありがとうございますっ
っってどうみても>>102には右辺の定数倍が欠けてるっっorz
右辺を３倍いやむしろ２７倍してもたぶん成立するという事実
102自体も問題としてはなりたっているが…

103様、もしよろしければ解き直して、wikiのほうも追加してもらえませんか？
申し訳ない

106:１３２人目の素数さん
07/07/13 10:45:35
|　 |　　　　　　　　　　　　　
|　∥　　　　　　　　　　ﾉﾉﾉﾉ　-＿_ 　勘違いするなよ！
|>>102　　　　　　　　(ﾟ∈ﾟ　)　　─_＿___　___
|∧ 从ﾉ　　　　　 (ミ_　(⌒＼ヽ　_　__＿
（ (≡￣￣￣￣三＼⌒ノ　ノ )
|(つWつ￣￣＼　⌒彡) 　ﾉ　　＝＿
| ＼つ　つ　　　　＼,_＿_,ノノ
|　 |　 )　　　　　　　　/　／　≡＝
|　 |　　　　　　　　　 / ノ　　　　　　__________
|　 |　　　　　　　　 /ノ　＿─ (´⌒(´
|　 |　　　　　　　ﾐ/＝　(´⌒(´⌒;;
|　''''""'''"'''"""''"""'''''"'"''''""''"''''"""''"'''""''"''"'''"''

107:１３２人目の素数さん
07/07/14 05:35:41
>102

　(xy^2)^(1/3) =Z, (yz^2)^(1/3) =X,　(zx^2)^(1/3) =Y とおくと
　(X+Y+Z)/3 ≧ XYZ = xyz,

　g(t) = (t^n +1)^(1/n)　とおくと
　g'(t) = t^(n-1) /（t^n +1)^(1 -1/n)　>0, 　　　(単調増加)
　g"(t) = (n-1)t^(n-2) / (t^n +1)^(2 -1/n) >0,　　(下に凸)

　(左辺)^3 = {g(X) + g(Y) + g(Z)}/3 ≧ g((X+Y+Z)/3) ≧ g((XYZ)^(1/3)) = g((xyz)^(1/3)) = (右辺)^3,

108:107
07/07/14 08:01:35
>102 いつもの事だが訂正

　(X+Y+Z)/3 ≧ (XYZ)^(1/3) = (xyz)^(1/3),
　n>1
　(左辺)^(1/3) = …… = (右辺)^(1/3).

109:１３２人目の素数さん
07/07/14 12:41:49
102は、f(e^x)がｘについて凸な関数のときに、（ｘ＞０）
Jensen不等式の相乗平均verが成り立つことを
問題にしたかっただけなんだ。
迷惑かけて申し訳ない。お詫びとして

a,b,cは正の実数。このとき常に次の式が成り立つような最大のαを求めよ

a^b+b^c+c^a>α

110:１３２人目の素数さん
07/07/14 23:23:13
>109

c=a^(1/a) のとき、
　(左辺) = a^b + b^c + a,
a→0 のとき c⇒0 なので,
　lim[a→0] (左辺) = 0^b + b^0 + 0 = 1,
　α = 1.

111:１３２人目の素数さん
07/07/16 13:40:04
>110

Q. ほんとに1以下にならない??

A.
(1) a,b,c の1つでも1以上ならおk,
(2) 0<a,b,c<1 のとき
　f(x) = (1/a)^x は下に凸だから、
　(1/a)^b < (1-b) + b/a = (a+b-ab)/a　　… ベルヌーイの不等式
　a^b > a/(a+b-ab) > a/(a+b+c),
辺々たす。

URLﾘﾝｸ(www.nikonet.or.jp)

112:１３２人目の素数さん
07/07/21 08:13:14
( ﾟ∀ﾟ)つ>>87の改良版
a,b,c>0 のとき，
　(2/3)(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)) ≧ ((a^3+b^3+c^3)/3)^(1/3)
が成立することを示せ。

113:１３２人目の素数さん
07/08/02 11:33:35
Polyaの不等式のH.Alzerによる拡張

f,g,h は [a,b] 上の実数値関数で，f は単調増加，g,h はC^1級で，
g(a)=h(a)，g(b)=h(b) を満たすものとするとき，
(∫_[a,b] f(x)g'(x)dx) (∫_[a,b] f(x)h'(x)dx)≦(∫_[a,b] f(x)√[(g(x)h(x))']dx)^2

114:１３２人目の素数さん
07/08/16 02:18:39
〔問題〕
　x+y+z=1,　x,y,z ≧0 のとき　f(x,y,z) = (x-y)(y-z)(z-x) ≦ 1/(6√3) を示せ。

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:56番)
分かスレ２７９

115:１３２人目の素数さん
07/08/16 02:32:44
>114

f(x,y,z)>0 となるのは 0≦x<y<z またはその cyclic の場合。
そこで、x<y<z の場合を考える。（他の場合も同様）
　f(x,y,z) = (y-x)(z-y)(z-x)
は zについて単調増加、xについて単調減少。
　f(x,y,z) ≦ f(0,y,z+x) = f(0,y,1-y) = y(1-y)(1-2y)
　= 1/(6√3) - 2{y -(1/2) +(1/2√3)}^2･{y +(1/2) +(1/√3)} ≦ 1/(6√3),
等号成立は x=0, y=(1/2)-1/(2√3), z=(1/2)+1/(2√3) のとき。

116:１３２人目の素数さん
07/08/16 08:23:31
数蝉の最新号に、不等式が載っていたなはぁはぁ…せｄｆｒｔｇｙふじこｌｐ

117:１３２人目の素数さん
07/08/16 22:37:32
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:634-番)

【問題】
3辺の長さがa，b，cである三角形の内接円の半径をrとする．
このとき，不等式
　　(a + b + c)/r ≧6√3
が成り立つことを示せ．

118:１３２人目の素数さん
07/08/16 23:54:59
>117
　a/r = cot(B/2) + cot(C/2), …, …
を左辺に代入し、cotθは下に凸, A+B+C=π を使う。

119:１３２人目の素数さん
07/08/17 22:37:24
【問題】
3辺の長さがa，b，cである三角形の外接円の半径をRとする．
このとき，不等式
　　 (a + b + c)/R ≦ 3√3
が成り立つことを示せ．

120:１３２人目の素数さん
07/08/17 22:43:31
>119
だから
　a/R = 2sin(A), …, …
を左辺に代入し、sinθ は上に凸, A+B+C=π を使うだお。

〔系〕R ≧ 2r.

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:638-639番)

121:１３２人目の素数さん
07/08/17 23:10:15
〔系〕R ≧ 2r.

これは、球殻不等式というんだお。（・3・）

122:１３２人目の素数さん
07/08/18 18:00:49
>121
㌧クス.

△の3辺の中点を通る円の半径 = R/2. この円は△の3辺を切るから、半径 ≧r. (清水多門氏)

[前スレ.496-499,660,974] 文献[3] p.8 (絶版)

123:１３２人目の素数さん
07/08/18 20:10:08
【問題】
3辺の長さがa,b,cである三角形の内接円の半径をr, 外接円の半径をR とする.
このとき, 不等式
　(a + b + c - 4R) /r ≦ 6√3 -8 = 2.39230484…,
が成り立つことを示せ.

等号は正3角形のとき,
直角3角形のとき左辺は2.

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:674番)
東大入試作問者スレ９

124:１３２人目の素数さん
07/08/21 00:06:01
>123
このスレの解答は↓になるだろうな。ちっともエレガントぢゃねぇが…

a,b,cが3角形の辺をなすとき、次の附帯条件（3角不等式）がある。
　s-a >0,　s-b >0,　s-c >0, s=(a+b+c)/2
そこで s-a, s-b, s-c を独立変数と見れば、附帯条件は無くなる。基本対称式を
　(s-a) + (s-b) + (s-c) = s,
　(s-a)(s-b) + (s-b)(s-c) + (s-c)(s-a) = t,
　(s-a)(s-b)(s-c) = u,
とおくと abc = st-u,
　⊿ = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} = √(su),
　r = ⊿/s = √(u/s),
　R = abc/(4⊿) = (st-u) / {4√(su)},
　(左辺) = {2s - (st-u)/√(su)} / √(u/s) = 2(s^1.5)/√u - (st/u) +1,
示すべき式は
　{(st/u) +(右辺-1)}^2 - 4(s^3)/u = (1/t^2)H(s,t,u) ≧0,
　H(s,t,u) = {st + 2(右辺-1)u}sF_(-2) + 27(7-4√3)uF_(-1) + 3(16√3 -27)sG ,
ここに F_n はSchurの不等式のF_nで,
　F_(-2) = (t^3 -4stu +9u^2)/(u^2) ≧0,
　F_(-1) = (t^2 -3su)/u ≧0,
　F_0 = s^2 -3t ≧0,
　G(s,t,u) = st-9u ≧0,
これより、
　H(s,t,u) ≧0,

ぬるぽ

125:124
07/08/21 00:22:21
（補足）

3角形の面積を⊿とおくと、
　⊿ = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} = √(su),　　　…… ヘロンの公式

126:１３２人目の素数さん
07/08/21 11:18:25
グッジョブ！ (*ﾟ∀ﾟ)

127:１３２人目の素数さん
07/08/23 05:27:52
【類題】
3辺の長さがa,b,cである鈍角*三角形の内接円の半径をr, 外接円の半径をR とする.
このとき, 不等式
　(a + b + c - 4R) /r ≦ 2,
が成り立つことを示せ。　(*直角3角形も含める)

等号は直角3角形のとき.

128:１３２人目の素数さん
07/08/25 10:43:13
>127

　r=⊿/s, R=abc/(4⊿)　より,
　(4R+r)r = {(⊿^2)/s + abc}/s = s^2 + (ab+bc+ca) = (2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2)/4 (=t),
　(4R+2r)^2 - (a+b+c)^2 = 16R^2 +4(4R+r)r - (a+b+c)^2
　　= 16R^2 + (2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2) - (a+b+c)^2
　　= 2(8R^2 -a^2 -b^2 -c^2),
　　= -16R^2 cos(A)cos(B)cos(C),　　　　　　　　(← 補題)

〔補題〕
　(a^2 +b^2 +c^2) -8R^2 = (a^2 +b^2 -c^2) - 2(4R^2 -c^2)
　= 2abcos(C) - 2(4R^2 -c^2)　　　　　　　 (← 第2余弦定理)
　= 8R^2 {sin(A)sin(B)-cos(C)}cos(C)　　　　(← 正弦定理)
　= 8R^2 {sin(A)sin(B)+cos(A+B)}cos(C)　　　(← A+B+C=π)
　= 8R^2 cos(A)cos(B)cos(C),
これは、鋭角・直角・鈍角に従って正･0･負。(終)
(数セミ, 2007/09)

ぬるぽ

129:１３２人目の素数さん
07/08/26 13:25:45
〔問題〕
a,b,c は abc=G^3 を満たす正の実数である. 0≦p≦q のとき次の不等式が成り立つことを示せ.
　{a^p + b^p + c^p}*G^(q-p) ≦ a^q + b^q + c^q.

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:753-754番) を改作
東大入試作問者スレ９

130:１３２人目の素数さん
07/08/26 14:54:55
>>129
URLﾘﾝｸ(wiki.livedoor.jp)

131:１３２人目の素数さん
07/08/26 15:37:41
>129 相加･相乗平均と乱順序積≦同順序積より左辺 ≦ (a^p+b^p+c^p)*{a^(q-p)+b^(q-p)+c^(q-p)}/3 ≦ 右辺.

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:766番),771

132:１３２人目の素数さん
07/08/26 16:54:33
>129 は q≦p≦0 のときも成立.

q-p = d とおくと >131 より
　(左辺) ≦ (a^p + b^p + c^p)(a^d + b^d + c^d)/3 = (右辺) + {(a^p -b^p)(a^d -b^d) + (b^p -c^p)(b^d -c^d) + (c^p -a^p)(c^d -a^d)}/3 ≧ (右辺).

133:１３２人目の素数さん
07/08/27 11:14:33
>>132
確かに>>130の証明も，q≦p≦0のときにも成り立っていますね。
>>130の証明を追記しておきました。

134:１３２人目の素数さん
07/09/10 22:34:38
IMO longlisted problem 1987
θ[1],θ[2],θ[3]・・・,θ[n]を実数とし、sinθ[1]+sinθ[2]+・・・sinθ[n]=0とするとき次の不等式を示せ。

|sinθ[1]+2sinθ[2]+・・・+nsinθ[n]|≦[n^2/4 ]

The IMO compendium P209 より
この本って問題は豊富なんだけど解答がその半分もないんですね

135:１３２人目の素数さん
07/09/11 00:01:21
あっさりオイラー使えよ

136:１３２人目の素数さん
07/09/11 06:43:58
nt-t+(n-1)t-2t...=tn(n+1)/2-2t(n/2)(n-2+1)/2=

137:１３２人目の素数さん
07/09/11 06:48:20
tn(n+1)/2-2t(n/2)(n/2+1)/2= f

df/dt=n(n+1)/2-n(n+2)/4=0
nn/4=0
t=1->n^2/4

138:１３２人目の素数さん
07/09/11 06:55:08
>134

a[k] = sinθ[k+1] + sinθ[k+2] + …… + sinθ[n],
とおく。題意より
　a[0] = a[n] = 0,
また
　|a[k-1] - a[k]| = |sinθ[k]| ≦ 1,
よって
　|a[k]| ≦ k　　　(k=0,1,2,…,[n/2])
　|a[k]| ≦ n-k　　(k=[n/2]+1,･･･,n-1,n)
与式 = | Σ[k=1,n-1] a[k] | ≦ Σ[k=1,n-1] |a[k]| ≦ ･･･

あっさり。

139:１３２人目の素数さん
07/09/12 16:23:24
>>138　あっさりでしたか。
問題仕入れてきました。1988年/大学への数学「宿題」らしいです。

実数x[1],,x[2],・・・,x[n]が
x[1]+x[2]+・・・+x[n]=0
(x[1])^2+(x[2])^2+・・+(x[n])^2=1
を満たしながら動くとき次の不等式を示せ。ただしnは3以上の整数とする。

(x[1])^3+(x[2])^3+・・・+(x[n])^3≦(n-2)/√(n^2-n)

140:１３２人目の素数さん
07/09/12 20:02:15
xk=-xn-k+1=t
nt^2=1
t^3=n^-3/2
nt^3=n^-1/2

141:１３２人目の素数さん
07/09/14 12:07:31
>>139
[略解]
ラグランジュ乗数法で停留点条件を調べると，
x[1],x[2],……,x[n] たちは2種類の値のみをとることが必要と分かる。
そこで x[1] から x[n] のうちで p 個が a という値をとり，(n-p)個が b という値をとるとする。
ただし x[1]=……=x[n] とはなりえないので a<b，1≦p≦n-1 としてよい。
2本の束縛条件の式に代入して解くと， a, b を p の式で表せる。
すると (x[1])^3 + …… + (x[n])^3 が p の関数として表せる。
この関数は p について単調増加なので，p=n-1 のときが最大値。
その最大値は (n-2)/√(n^2-n) となる。

142:１３２人目の素数さん
07/09/19 12:38:04
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:622-番)
より転載。

622 ：１３２人目の素数さん：2007/09/19(水) 11:28:28
0<x<eのとき，
　(e+x)^(e-x)>(e-x)^(e+x)
が成り立つことを示せ。ただし e は自然対数の底である。

ちなみにこれに続く>>624の解答は間違い。

143:１３２人目の素数さん
07/09/23 08:22:51
>142
f(x) = (e-x)log(e+x) - (e+x)log(e-x)　とおく。
　f(0) =0,
　f '(x) = (e-x)/(e+x) + (e+x)/(e-x) -log(e+x) -log(e-x)
　　　　= 4(x^2)/(e^2 -x^2) +2 -log(e^2 -x^2)
　　　　= 4(x^2)/(e^2 -x^2) - log{1-(x/e)^2} >0,
∴ 0<x<e　⇒　f(x) >0.

144:１３２人目の素数さん
07/10/03 21:44:32
〔問題〕
nは自然数、x>0として、(1+x)(1-x)x^n の最大値を、
「微分積分も相加相乗平均もコーシーの不等式も因数定理も判別式も平方完成も使わずに」求めよ。

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:272番), 293
東大入試作問者スレ１１

145:１３２人目の素数さん
07/10/03 21:52:36
>144

最大値は M = {2/(n+2)}{n/(n+2)}^(n/2) の辺りなので、差をとってみよう。
x･√{(n+2)/n} ≡ y とおくと、
　M - (1+x)(1-x)x^n = M - {1-(n/(n+2))y^2}･{n/(n+2)}^(n/2)･y^n
　= M{1 -(1/2)(n+2)y^n +(n/2)y^(n+2)}
　= M(1-y){1 +y +y^2 +･･･+y^(n-1) -(n/2)(1+y)y^n}
　= M(1-y)^2･{1 +2y +3y^2 +･･･+ny^(n-1) +(n/2)y^n} ≧ 0,
等号成立は y=1 のとき。

もっとも、x≧1 のときは (左辺)≦0 から明らかだが･･･

146:１３２人目の素数さん
07/10/03 22:23:52
さすがに後付けにもほどがあるな

147:１３２人目の素数さん
07/10/03 22:51:55
これは、「最大値を求めた」のではなく、最大値を取る付近で適当な変数を取って関数を展開しただけのこと。
微分方程式等、動きが判らない関数の性質を調べるときなど、よく使われる手法。お疲れ様

148:１３２人目の素数さん
07/10/06 01:13:14
任意の三角形の三辺a,b,cに対して常に
a^(2n)+b^(2n)+c^(2n)＜2(a^nb^n+b^nc^n+c^na^n)
が成り立つような正の整数nを全て求めよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:352番)

まず必要条件を求めるため，xを0<x<1なる実数として，
a=2，b=1，c=1+x という三角形を考える。
このとき，題意を満たす n が存在するとすると，
　　2^(n+1) + 2(1+x)^n + 2^(n+1)(1+x)^n ＞ 2^(2n) + 1 + (1+x)^(2n)
が成り立つ。
これが0<x<1なる任意のxに対して成立するので，両辺 x→+0 として，
　　2^(n+2) ≧ 2^(2n)
　　∴ 4≧2^n
　　∴ n≦2
よって n≦2 が必要。

n=1のとき，
　2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)＝(b+c-a)(c+a-b)+(c+a-b)(a+b-c)+(a+b-c)(b+c-a) ＞ 0
より成立。

n=2のとき，
　2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)
　＝(a+b-c)^2(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)(b+c-a)^2(c+a-b)+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)^2 ＞ 0
より成立。

以上より n=1,2

149:１３２人目の素数さん
07/10/13 22:17:13
〔問題〕
n を自然数として定積分 I(n) を
　　I(n) = ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^n dx
で定める。このとき、すべての自然数n に対して　I(n+1) > I(n) が成り立つことを示せ。

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:174番)
東大入試作問者スレ１１

150:１３２人目の素数さん
07/10/13 22:21:20
>149

(略解)
・n = 1 のとき
　I(1) = ∫[0,π/2] x･sin(x) dx = [ sin(x) - x･cos(x) ](x=0,π/2) = 1,
　I(2) = ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^2 dx = π/8 + (π^3)/48 = 1.038663･･･,
ゆえ n=1 のとき成立。
・n> 1 のとき
u = ∫[0,x] x'･sin(x') dx' = sin(x) - x･cos(x) はxについて狭義の単調増加。
xの替わりにuを独立変数と考え、x･sin(x) = s(u) とおく。x･sin(x)dx = du から
　I(n) ≡ ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^n dx = ∫[0,1] s(u)^(n-1) du,
ここでヘルダーの不等式により
　{∫[0,1] s(u)^n du}^((n-1)/n)・{∫[0,1] 1^n du}^(1/n) ≧ ∫[0,1] s(u)^(n-1) du,
　I(n+1)^(1/n) > I(n)^(1/(n-1)),
　I(n) > I(2)^(n-1) > 1,
から
　I(n+1) > I(n),
n> 1 のときも成立。

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:637番)
東大入試作問者スレ１１

151:１３２人目の素数さん
07/10/15 15:39:52
〔問題〕
α、β、γ は 0 < α,β,γ< π/2 、(sinα)^3 + (sinβ)^3 +(sinγ)^3 =1 を満たす。このとき、以下の不等式が成り立つことを証明せよ。
　　(tanα)^2 + (tanβ)^2 + (tanγ)^2 ≧ (3√3)/2

〔略解〕
(sinθ)^3 / (tanθ)^2 = (sinθ)(cosθ)^2 = (sinθ){1-(sinθ)^2}
= 2/(3√3) - {(2/√3) + sinθ}{(1/√3) - sinθ}^2 ≦ 2/(3√3),

∴(tanθ)^2 ≧ {(3√3)/2}(sinθ)^3

θ=α,β,γを代入して辺々足せば得られる。

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:438-462番)
東大入試作問者スレ１１

152:１３２人目の素数さん
07/10/15 15:43:15
任意の実数 x[1],……,x[n] に対して
　∑[k=1,n](x[k])^2･cosπ/n ≧ ∑[k=1,n-1]x[k]x[k+1]-x[n]x[1]
が成り立つことを示せ。

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:656番)
東大作問者スレ１１

153:１３２人目の素数さん
07/10/18 03:27:58
>152
　2次形式なので行列で表す。半正値であることを使う。

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:196-202番)
線形代数/線型代数４

154:１３２人目の素数さん
07/10/26 21:18:01
[問題]
f:[0,1] → R は f(0)=f(1)=0を満たす滑らかな関数とするとき、次を示せ．
∫^1_0 |f'(x) x|^2 dx < 2 ∫^1_0 |f(x)|^2 dx

155:１３２人目の素数さん
07/10/27 07:39:25
>>154
f(x)=sin(2πx) のとき，f(0)=f(1)=0 で，
2∫_[0,1] |f(x)|^2 dx = 1
∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx = (2π^2)/3 + 1/4 = 6.82……
よって不成立。

156:１３２人目の素数さん
07/10/27 09:27:36
>>154
f(x)=sin(nπx)のとき，
∫_[0,1] |f(x)|^2 dx = 1/2
∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx = (n^2π^2)/6 + 1/4
なので，>>154の命題は係数２をいかに大きくしても不成立。

157:１３２人目の素数さん
07/10/28 11:31:45
>>154
成り立たないのですか！
[3]　不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）
の本の最後のページにこの手の不等式があって、幾つか自分でやったんですけど、
これだけはどうしても出来なかったが、間違っていたとは思わなかった orz

お騒がせしました。
しかし、直ぐに成り立たないと反例を挙げるその才能に驚きました。

158:１３２人目の素数さん
07/10/28 18:57:34
〔問題〕
こんな問題が流れてきた。カッコ良く解いて呉れってよ。

x+y+z =s, x≧0, y≧0, z≧0 のとき、
　w(x,y,z) = (y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2)(x^2+xy+y^2) の最大値は?

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:59番)
分かスレ２８０

159:１３２人目の素数さん
07/10/28 19:03:47
>158
いつものように基本対称式を x+y+z =s, yz+zx+xy =t, xyz =u とおく。
　y^2 +yz +z^2 = s^2 -t -sx,
　z^2 +zx +x^2 = s^2 -t -sy,
　x^2 +xy +y^2 = s^2 -t -sz,
よって
　w(x,y,z) = (s^2 -t -sx)(s^2 -t -sy)(s^2 -t -sz)
　= (s^2 -t)^3 -(s^2 -t)^2･s^2 +(s^2 -t)ts^2 -us^3
　= (s^2 -t)t^2 -us^3
　≦ (s^2 -t)t^2 + min{0, -(s^3)(4st-s^3)/9},　(← s^3 -4st ≧ -9u)
ここで t/s^2 =τ, w/s^6 =ω とおくと 0≦τ≦1/3,
　ω ≦ τ^2 - τ^3 + min{0, -(4τ-1)/9},
ω(τ) の増減表から、ωは 0≦τ<1/4 で増加し、1/4<τ≦1/3 では減少する。
ゆえに τ=1/4 で最大値 3/64 をとる。
等号成立は τ =t/s^2 =1/4, u=0 のとき、すなわち
　(x,y,z) = (a,a,0), (0,b,b), (c,0,c).
ぬるぽ

160:１３２人目の素数さん
07/10/28 20:46:19
問題を投下した者です。ちょっとこのスレ的ではない解ですが…

ω=exp(2πi/3) を用いて問題の関数は
w(x,y,z)=|(yω-z)(zω-x)(xω-y)|^2
と表せる。そこで p=x+yω+zω^2 という変数を考えるとpは複素平面上で
1,ω,ω^2 を頂点とする三角形の内部または周上 (Tとする) を動く。ここで

p-1=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)=(1-ω^2)(yω-z)
p-ω=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)ω=(ω-1)(zω-x)
p-ω^2=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)ω^2=(ω^2-ω)(xω-y)

であるから

w=(1/27)|p^3-1|^2

である。この式の形とTの形状から、pの動く範囲はTのうちの
2π/3≦arg(p)≦4π/3 に制限してもよいことがわかる。このとき
p^3の動く範囲(Dとする)を描いてみればわかるように、max(w)
を与えるpはTの周上のどこかになる。そこで
p = (-1+it√3)/2 (-1≦t≦1)と置いてwを計算してみると

p^3-1 = (3√3/8)(t^2-1)(√3+it)
|p^3-1|^2 = (27/64)(t^2-1)^2(3+t^2)
w = (1/64)(t^2-1)^2(3+t^2)

あとは u=t^2 (0≦u≦1) の3次関数の問題で、u=0で最大となる
ことがわかり、max(w)=3/64 である。最大を与えるpは p=-1/2
のときと p^3の位置が同じp、すなわち p=-1/2,-ω/2,-ω^2/2 である。

161:１３２人目の素数さん
07/10/28 22:11:57
>>160 は >>158 の解でございます。

162:１３２人目の素数さん
07/10/28 22:17:41
おっと >>158 は x+y+z=s になってますね。元の問題は x+y+z=1 です。

163:１３２人目の素数さん
07/10/29 00:47:04
ｲﾊﾟｰﾝ化してしまうのが不等式ヲタのSA・GA

164:156
07/10/29 13:38:52
>>157
>>157
確かにその本にはそう書いてありますね。
しかし，前後の文脈を読むと，おそらく著者が言いたかったのは

「f:[0,1] → R は f(0)=f(1)=0 を満たす C^1級の関数で，かつ恒等的に0でないものとする。
このとき，
∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx ＞ (1/4) ∫_[0,1] |f(x)|^2 dx
が成立する。」

ではないかと思われます。

おそらく著者は，
URLﾘﾝｸ(links.jstor.org)
から引用したものだと思われますが，引用元のこの論文において既に同じミスをしています。

この修正版の不等式は，次のようにして示せます。

g(x) = √(x) f(x)$ とおくと，g(0)=g(1)=0 を満たし，かつg'(x)は[0,1]上で恒等的に0ではない。

また，f(x)=x^(-1/2)g(x)なので
{xf'(x)}^2＝(1/4)x^(-1){g(x)}^2 - g'(x)g(x) + x{g'(x)}^2 ＝ (1/4){f(x)}^2 - g'(x)g(x) + x{g'(x)}^2

よって，
∫_[0,1] {xf'(x)}^2 dx
＝(1/4)∫_[0,1] \{f(x)\}^2dx - (1/2)[{g(x)}^2]_0^1 + ∫_[0,1] x\{g'(x)\}^2 dx
＞ (1/4)∫_[0,1] {f(x)}^2dx (∵g(0)=g(1)=0, x\{g'(x)\}^2≧0で恒等的に0でない)

この係数1/4の最良性は言えそうで言えない……

165:１３２人目の素数さん
07/10/29 14:40:59
>>164
ご丁寧な解答ありがとうございます。
逆向きの不等号ならば、本に書いてある方法でできますね。
ちなみに、積分区間は [0,1] となっていますが、これは任意の区間 [a,b]
（ただし，0<a, b< ∞）でも大丈夫ですね。

私も少し調べたのですが、大体関数 f の積分を f やそれらの微分を
使って上から押さえるタイプのが多いようです。
しかし、逆タイプ、つまり、f の微分を f で押さえるというタイプの
式が見つからなかったので、案の定、間違っていたのですね。

そもそも、一般にこの逆向きの不等式は無理なのでしょうかね？

166:156
07/10/29 15:55:37
>>165
おっと，
URLﾘﾝｸ(links.jstor.org)
をよく読むと，
　∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx ＜ 2∫_[0,1] |f(x)|^2 dx
については，「そういうf(x)が存在する」と主張しているだけでした。
存在を示すだけなら折れ線だけで大丈夫です。

つまり，この論文は間違っておらず，この論文を「不等式への招待」に転載したときに
著者が「存在」を「任意」だと取り違えてしまった，というのが実情でしょう。

＞そもそも、一般にこの逆向きの不等式は無理なのでしょうかね？

難しいと思いますね。
直観的に言うと，|f(x)|がいかに小さく抑えられていたとしても，
その小さな幅の中で激しく振動しまくれば，|f'(x)|はいくらでも大きくすることができてしまいます。
逆に，|f'(x)|がある程度小さく抑えられていれば，f(x)の変動が小さいわけですから，
|f(x)|もある程度の幅しか動けなくなります。

また，[0,1]上の関数f(x)を周期１の周期関数と見てexp(2πinx)によって
フーリエ級数展開したときのフーリエ係数をc_nとすると，パーセバルの等式から
　∫_[0,1] |f(x)|^2 dx ＝ Σ_[n=-∞,∞] |c_n|^2
　∫_[0,1] |f'(x)|^2 dx ＝ (2π)^2Σ_[n=-∞,∞] n^2|c_n|^2
です。Σ|c_n|^2 と Σn^2|c_n|^2 の収束性の善し悪しを比較しても，
|f'(x)|を|f(x)|で評価することの困難さが分かると思います。

167:１３２人目の素数さん
07/10/30 22:30:48
>>166
>∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx ＜ 2∫_[0,1] |f(x)|^2 dx
>については，「そういうf(x)が存在する」と主張しているだけでした。
>存在を示すだけなら折れ線だけで大丈夫です。

ご丁寧にありがとうございます。それなら、納得です。
（ところで、JSTORってフリーじゃないですね。）

このタイプの不等式、つまり、微分を評価するのは、偏微分方程式の解の
評価とかで非常に重要で、また、いろいろと応用が多いのですが、
さすがにこれだけの条件では無理ですね。

ただ、不等式の形が特殊なのでいけるのかな？と思ったんですけど、おっしゃる
ように関数が激しく振動してしまうと無理ですよね。

積分型の不等式で何か良い本がございましたら、教えてください。
（洋書でも構いません）

168:156
07/10/31 01:14:28
>>167
今手元にあるわけではなく，以前図書館でパラパラ見たときの記憶ですが，
URLﾘﾝｸ(amazon.com)
には積分型の不等式が大量に載っていたように思います。
お探しのタイプの不等式が載っているかどうかは分かりませんが。

169:１３２人目の素数さん
07/11/12 06:25:55
多変数が良いな。L^p, p\neq 2 に関する不等式はないか？
小平-Spencer-NirenbergのL^4 ぐらいで。

170:１３２人目の素数さん
07/11/12 18:01:36
>>169
お前の負けだな。

171:１３２人目の素数さん
07/11/12 18:04:38
リクエスト

｢二次式｣だけで、ごっつい不等式

172:１３２人目の素数さん
07/11/12 21:02:13
>>171
[問題（激難）]
実数 a_i > 0 (i=1,,,n) のとき、

a_1/(a_2 + a_3) + a_2/(a_3 + a_4) + … + a_{n-1}/(a_{n} + a_1) + a_n /(a_1 + a_2) >= n/2

が成り立つような、n の範囲を求めよ。

173:１３２人目の素数さん
07/11/12 22:45:09
>172

n≦13 および n(奇数)≦23 については成り立つらしいお。
　URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
　大関, ｢不等式への招待」近代科学社 (1987) 絶版

n=3～6 については
　過去スレのミイラ置場の不等式スレ2.html の >889

n≦13 については
　H.S.Shapiro: "Problem 4603." Amer. Math. Monthly, ６１, p.571 (1954).

〔余談〕
(左辺) > n/3 ならば、3以上の自然数について成り立つらしい。
　過去スレのミイラ置場の不等式スレ1.html の >501

174:１３２人目の素数さん
07/11/12 23:25:12
>>173
>>171
激難というか、未解決問題じゃねえかよ！
Shapiro の巡回不等式だな。

まあ、答えが直ぐに出る問題もいいが、こんな不等式でも未解決である
ということは不思議だよな。（n によって真偽が異なるし）

これを解いたら、かなりいい雑誌に論文として載るだろうから、挑戦
する価値は十分にあるだろう。

175:１３２人目の素数さん
07/11/12 23:40:49
不等式に未解決問題があるとは驚いた。

176:171
07/11/12 23:50:29
>>172　どうもです。
>>173　なるほど。
干からびるにはもっていこいということですね。

177:１３２人目の素数さん
07/11/13 03:22:28
Shapiro's Cyclic Inequality (google)
URLﾘﾝｸ(www.google.co.jp)

J. Ineq. Appl.
Shapiro’s cyclic inequality for even n (by P. J. Bushell and J. B. Mcleod)
URLﾘﾝｸ(www.hindawi.com)

In 1954 H. S. Shapiro proposed an inequality for a cyclic sum in n
variables. All the numerical evidence indicates that the inequality
is true for even n≤12 and for odd n≤23.
We give an analytic proof for the case n=12, which implies the former
result. The remaining case n=23 remains an open problem.

2002年の時点ではまだ未解決。

178:１３２人目の素数さん
07/11/14 00:46:05
>177
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!
Full-text PDF もDLして読んでまつ････

179:１３２人目の素数さん
07/11/14 03:11:28
>>178
他にも Shapiroの巡回不等式関係の論文は山ほどあるから、最新のを探して
から読んだほうがいいよ。
漏れも今どこまで分かっているのか知らないから、もし分かったら教えてちょ。
しかし、Journal of Inequality なんて雑誌があるんだ。

不等式は奥が深いぞ！
やべ～、はまりそうだ

180:１３２人目の素数さん
07/11/14 04:48:46
『古田の不等式』は既出？

181:１３２人目の素数さん
07/11/14 07:30:27
>>180
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:95番)

182:１３２人目の素数さん
07/11/14 08:55:34
古田って前に新聞に出ていたけど、この不等式がよほどいい仕事だと
勘違いしているようだねｗ

かなり痛い男だｗ

183:１３２人目の素数さん
07/11/14 08:57:15

95 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 11:18
古田の不等式。
作った本人に聞けばそれが載ってる数学辞典やら他
様々な文献を見せ付けられることでしょう。

96 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 11:28
ﾜﾛﾀ

184:１３２人目の素数さん
07/11/14 20:47:18
問題　次の不等式を証明せよ。ただし0<=ｘ<=1とする。
　　　　1/2 <= 1/1+√x <=　1/1+x二乗
どうしても分かりません;;;誰か解いてください!!;;;;

185:１３２人目の素数さん
07/11/14 20:51:44
858 名前：１３２人目の素数さん：2007/11/14(水) 20:41:47
藤川英華っておばはん顔じゃんｗ
ブスだな

186:１３２人目の素数さん
07/11/14 21:11:15
>>182
いや、ホンマに凄いことなんやで！

世界的数学者

古田の不等式
URLﾘﾝｸ(www.zaikai21.co.jp)

187:１３２人目の素数さん
07/11/14 21:14:59
国際的に権威のある「数学百科全書」に名前が掲載されている日本人数学者はわずかしか存在しない。

数学百科全書ってなに？
Springerからでている　Encyclopaedia of Mathematical Science？

188:１３２人目の素数さん
07/11/14 21:29:28
ディドロ＆ダランベール

189:１３２人目の素数さん
07/11/15 00:23:04
>>183
すごいな
四年も粘着してるのか
どんな私怨があるんだろ？

190:１３２人目の素数さん
07/11/15 00:41:41
>>189
どこにいる？

191:１３２人目の素数さん
07/11/15 10:00:55
おまえのこと？

192:１３２人目の素数さん
07/11/15 11:14:35
Shapiroの巡回不等式って、
本当に>>172のような単純な形をしているのか？
元の原型はもっと複雑な形をしているんじゃないのか？
不等式の未解決問題にしては妙に単純な形だ。
「不等式への招待」に現れる不等式の中には
何らかの理論の中に現れるものが結構あるのだが。

193:１３２人目の素数さん
07/11/17 10:15:46
【問題】
f: [0,1] ---> R を C^2 級関数で f(0)=f(1)=0 をみたせば，
次の不等式が常に成立することを示せ：
max_{x ∈ [0,1]} |f(x)| ≦ 1/8 max_{x ∈ [0,1]} |f^{(2)}(x)|．

194:１３２人目の素数さん
07/11/17 15:15:42
>193

(左辺) = |f(ξ)| とする。(ξ∈[a,b])
X>ξ でも X<ξ でも f(X)≦f(ξ) だから f'(ξ)≧0 かつ f'(ξ)≦0,
∴ f'(ξ) = 0,
　|f'(X)－f'(ξ)| = |(X-ξ)f"(η)| ≦ |X-ξ|･max{|f"(x)|;x∈[a,b]|},
　|f (X)－f (ξ)| ≦ (1/2)(X－ξ)^2･max{|f"(x)|;x∈[a,b]},
題意より f(a)=f(b)=0 だから,
　(左辺) = |f(ξ)| ≦ (1/2){min(ξ-a,b-ξ)}^2･max{|f"|} ≦ (1/8)(b-a)^2･max{|f"|} = (右辺),

注)　ξ∈[a,b] ⇒　min{ξ-a,b-ξ} ≦ |b-a|/2 を使った。

195:１３２人目の素数さん
07/11/18 03:42:56
>180-189

「ある作用素不等式のやさしい証明」
数学(岩波), Vol.40, p.354 (1988)
URLﾘﾝｸ(wwwsoc.nii.ac.jp)

「それはスペルミスの手紙から始まった／フルタの不等式の成立をめぐって」
数セミ, Vol.32, No.10, 通巻385, p.68-71 (1993.10)
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)

196:１３２人目の素数さん
07/11/18 14:41:48
>>192
そうだよ。
どうしてこの不等式が出てきたのかは知らないが、まだ未解決らしい。

もっとも、問題が簡単な形をしているから易しい、というのは完全な誤解。
それは、フェルマー予想やポアンカレ予想のことを思えば納得行くだろう。

しかし、Shapiro の巡回不等式の場合、n=14, 20 で反例があることは分かっている。
16≦n の場合を大型計算機ででチェックぐらいはすれば、ある程度は分かると思う。

なお、n が十分大きければ、不成立であることも分かっている。

197:１３２人目の素数さん
07/11/19 20:00:37
Shapiro の巡回不等式は本当にあの形をしているのか！
むしろ、今まで多くの人に知られずにいたのが不思議なくらいだ。
フェルマー予想のように有名な問題であってよかった筈だが。

198:１３２人目の素数さん
07/11/23 04:38:52
92 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [] 投稿日：2007/11/22(木) 21:22:50
a,bは正の実数，tは正の実数とする．このとき，いかなるa,bに対しても以下の不等式が成り立つようなtの最小値を求めよ．
log√(ab)≦{(a+b)/2}^t

93 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2007/11/22(木) 22:15:42
>>92
a=b=e^eとすれば、(左辺)=e,(右辺)=e^(et)　となるので、与不等式が成立するためには
et≧1、すなわちt≧1/eでなければならない。
次に、t=1/eで不等式が成立することを示す。
y=logx上の点(e,1)での接線がy=x/eであり、y=logxのグラフが上に凸なので
x/e≧logxが言え、この式からx≧log(x^e)が導かれる。
このときx^e=zとすることでz^(1/e)≧logzとなる……①
また相加相乗平均の不等式から{(a+b)/2}^(1/e)≧(√ab)^(1/e)となる……②
①でz=√abとして②と組み合わせることで{(a+b)/2}^(1/e)≧log√abが示される。
以上から、求めるtの最小値は1/e。

問題文の左辺をloga+logbとした方が解きづらい問題になりそう。

94 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2007/11/22(木) 22:46:51
>92
相加相乗平均より、(左辺) ≦ log((a+b)/2) = log(A),
　>84 の式で y=(1/e)A^t とおく。
　t*log(A) ≦ (1/e)A^t,
与式成立条件は、t≧1/e,

199:１３２人目の素数さん
07/11/28 05:10:35
高校質問スレで質問したところ、こちらを勧められたので質問させて頂きます。

|a|,|b|,|c|<1のとき、(1)ab+1>a+b(2)abc+2>a+b+cを証明せよ。
という問題があり、この2つはゴリ押しで何とか解けたのですが
4文字以上の場合に繋がるような証明法がどうしても思いつきません。

|a1|,|a2|,・・・,|an|<1のとき、a1・a2・・・an+(n-1)>a1+a2+・・・+an
成り立つかどうかもわからないのですが、わかる方いましたらよろしくお願いします。

200:１３２人目の素数さん
07/11/28 10:00:00
a(bc)+2>a+bc+1>a+b+c.

201:１３２人目の素数さん
07/11/28 23:07:42
ありがとうございました。

202:１３２人目の素数さん
07/12/31 21:24:01
あげ

203:１３２人目の素数さん
07/12/31 21:40:16
>177
Shapiro’s cyclic inequality for even n
を保存しようとした時、何か変なメッセージ
(Acrobat 8 がどうのこうのと言う）
が出た。そんな物持ってないのに普通に保存出来たが、問題あったかな？

204: 【吉】【371円】
08/01/01 17:31:46
今年こそは Shapiroの巡回不等式予想を解くぞ！

って、まだ本当に未解決なのか？

205:１３２人目の素数さん
08/01/01 18:16:28
ふふ…

206:１３２人目の素数さん
08/01/03 17:26:12
ただの乱順序積 ≦ 同順序積（積分版）だが…

〔FKG不等式〕
　f(x),g(x) を[a,b]上の単調増加（減少）な関数とすると
　∫[a,b] f(x)dx・∫[a,b] g(y)dy ≦ (b-a)∫[a,b] f(x)g(x)dx,

FKG は C.Fortuin, P.Kasteleyn, J.Ginibre の頭文字らしい…

URLﾘﾝｸ(elis.sigmath.es.osaka-u.ac.jp)

207:１３２人目の素数さん
08/01/05 19:20:50
(∬_D f (x, y) dxdy)*(∬_D h (x, y) dxdy) ≦ ∬_D f (x, y)*g (x, y) dxdy

208:１３２人目の素数さん
08/01/05 20:13:19
官軍の同志諸君、ならびに賊軍のあほんだれｗに告ぐ：－

御大は、無事、日本に帰られた。飛行機を使われなかったことは確かだ。
ハイテク筏かどうかは不明！

決戦の場は、sci.logic や sci.math だ！！！！

語学力（英語で充分）を磨こう！

目標は、７万語の語彙だ。

"Word Power Made Easy"URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp) などを読んでおけ！

尚、同書がきつい者（読みこなせない）者は「試験に出る英単語」を
もう一度とりだして、「完全に」マスターすることから始めよ！

某スレで恩大は、こうおっしゃっているので引用しる：－

Yo(余) ni dekita koto ga soch-tachi ni dekinai wake ga
arouka?!!!!

Onaji mana kutte doko tsugau(違う)！！！！

209:１３２人目の素数さん
08/01/06 10:32:49
任意の実数x,y,z,nに対して不等式

(x-y)(x-z)x^n + (y-z)(y-x)y^n + (z-x)(z-y)z^n ≧ 0

を証明せよ

これがわかりません

210:１３２人目の素数さん
08/01/06 10:50:21
あきらか

211:１３２人目の素数さん
08/01/06 14:07:38
>>209
問題設定おかしくね？

212:１３２人目の素数さん
08/01/06 18:44:40
>>206　ただの乱順序積 ≦ 同順序積（積分版）だが…

それを、普通はチェビシェフの不等式と言う。
積分版も同じ。
FKGかなんかしらんが、チェビシェフの不等式のパクリ。

213:１３２人目の素数さん
08/01/06 19:11:46
数学の世界で「パクリ」という言葉を初めて聞いた気がする

214:１３２人目の素数さん
08/01/06 19:40:39
或る人が書いた数学本の中には、
不等式の本といってよいものが存在する。

215:１３２人目の素数さん
08/01/06 19:49:52
どこの存在定理ですか？

216:１３２人目の素数さん
08/01/06 20:01:48
>>213
でも定理の系や簡単な応用なのに名前をつけるのは、どうかと思う。

最初にやった人の功績は重要だが、それを統一化された現在では、
変てこな名前を言われるより、「チェビシェフの不等式」と言って
くれた方が十分通じるし、理解も早い。

217:１３２人目の素数さん
08/01/06 21:47:55
同時期に独立に出したのなら、パクリではないが、
最近は論文数を増やす為のパクリも多い。

218:１３２人目の素数さん
08/01/16 16:41:27
Shapiro's Cyclic Sum Constant
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)

Shapiro's Cyclic Inequality is ture for all even n ≦ 12 and
odd n ≦ 23 (Mitrinovic et al. 1993).

219:１３２人目の素数さん
08/01/16 16:46:14
Journal of Inequalities and Applications
URLﾘﾝｸ(www.hindawi.com)

220:１３２人目の素数さん
08/01/16 16:53:26
P. J. Bushell and J. B. Mcleod
"Shapiro’s cyclic inequality for even n",
Journal of Inequalities and Applications Volume 7 (2002),
Issue 3, Pages 331-348

URLﾘﾝｸ(www.hindawi.com)

Abstract
In 1954 H. S. Shapiro proposed an inequality for a cyclic sum in n variables.
All the numerical evidence indicates that the inequality is true for even n≤12
and for odd n≤23. We give an analytic proof for the case n=12, which implies
the former result. The remaining case n=23 remains an open problem.

221:１３２人目の素数さん
08/01/26 23:22:02
〔問題〕
a,b,c は 0≦a,b,c<1 をみたす実数とする．また，
　S = 3(a+b+c+abc)/(1+ab+bc+ca),
　A = (3+a^2)a/(1+3a^2),
　B = (3+b^2)b/(1+3b^2),
　C = (3+c^2)c/(1+3c^2),
と定める。このとき，
　A+B+C ≦ S < 3,
を示せ．(MASDA)

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:155番) ,168
東大入試作問者スレ１３

222:１３２人目の素数さん
08/01/26 23:27:05
>221

右側は
　1 - S/3 = 3(1-a)(1-b)(1-c)/(1+ab+bc+ca) >0 より。

左側は
　a = tanhα,　b = tanhβ,　c = tanhγ とおくと、tanhの加法公式より
　S = 3tanh(α+β+γ),
　A = tanh(3α),
　B = tanh(3β),
　C = tanh(3γ),
∴ tanhθy は θ≧0で上に凸だから、 A+B+C ≦ S.

ここに tanhθ = {e^θ -e^(-θ)}/{e^θ +e^(-θ)},

223:１３２人目の素数さん
08/01/27 03:00:31
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

224:１３２人目の素数さん
08/01/28 09:32:39
A(x) = ( a(x)_{ij} ) をn次対称行列で、各成分 a_{ij}(x) は [0,1] 上の連続関数とする。
このとき、次をしめせ。
　det { ∫_[0→1] A(x) dx }^{-1} ≦ ∫_[0→1] { det A(x) }^{-1} dx．

ただし，∫_[0→1] A(x) dx = ( ∫_[0→1] a_{ij}(x) dx ) であり、det は行列式を表す。

225:１３２人目の素数さん
08/01/28 09:43:25
>>224
訂正：A(x) はｎ次の「正定値」実対称行列です。
「正定値」がぬけていました。

226:１３２人目の素数さん
08/01/28 22:54:23
x > 2、y > 2、1/x + 1/y ≦ 1/2 のとき、2x+yの最小値を求めよ。

簡単だからエレガントに頼むぜ、ブラザー！

227:１３２人目の素数さん
08/01/29 01:19:46
>>226
レポート問題を人にやらせるなよｗ

228:１３２人目の素数さん
08/01/29 11:43:38
レポートって…（笑）
高校の問題をレポートに出す大学って、教育学部？

229:１３２人目の素数さん
08/01/30 14:23:51
>>228
私立の文系（受験科目に数学なし）の選択必修など沢山ある。
文系は高校の微積分も知らないし、私大だと中学の数学（今はゆとり教育で、
以前は中学の数学が今は高校でやるようになった）が怪しい奴が大勢いる。

不等式の両辺に負の数を掛けると、不等号の向きが変るのが分からない奴が
いるから。ゆとり教育はマジでやばい。

230:１３２人目の素数さん
08/01/30 14:55:30
>>229
分数の計算すらまともにできない大学生が蔓延っている今の日本
不等号の向きがナンチャラカンチャラなんぞ知らない人がいることなんて
別に驚くにあたらないし、今に始まったことでもない

これが今の日本の現状
事実だ！これが現状だ！
目を背けるな！

そして、じゃあはたして僕らはどうしたらいいのだろうと・・・
日々自問自答を繰り返している

231:１３２人目の素数さん
08/01/30 16:02:14
そんな大学生が居ない大学に行けばいいだけの話だろ

232:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/01/30 16:47:14
そこで 1stVirtue 王国の創設だ。

233:１３２人目の素数さん
08/01/31 01:23:20
じゃぁ数ヲタ達はエリートだな

234:１３２人目の素数さん
08/01/31 02:39:38
>>231
私立大の文系ではほとんど入試科目に数学が無いから（最近は推薦やAO入試があるから
理系でもやばいけど）、一部の学生を除いて全然数学を勉強してきていない。
そういう奴らに数学を教えると、まあ易しいのをやれば大丈夫なのだが、そこで必ず
単位を落とすような奴が出てくる。よくよく問い詰めるとそういう奴は>>229や>>230
のように中学レベルの数学で落ちこぼれているんだから、救いようが無い。
私立のトップといわれるW大やKOでもそういう奴がいるそうだから、きついよ。
それにこれからもっとゆとり世代が入ってくるから、ｶﾞｸｶﾞｸﾌﾞﾙﾌﾞﾙ。
手っ取り早い改善策は、とにかく入試問題に数学を課すことだ。
センターの数学でもいいからさ。

235:１３２人目の素数さん
08/01/31 08:53:16

nを自然数とするとき
e-(1+1/n)^n＜e/(2n+1)
が成り立つことを示せ。

236:１３２人目の素数さん
08/01/31 11:44:55
平成の時代に不平等は許されません
よって与式は成り立たない

237:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/01/31 18:07:50
不平等を許さないという奴が平成の時代にも居たのか。

238:１３２人目の素数さん
08/01/31 18:49:06
>>235
見かけによらず意外に難しい…

239:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/01/31 19:03:27
不平等を許さないというやつは、すべての悪人に対しても平等を強いておけ。

Reply:>>235 e*(2*n)/(2*n+1)<(1+1/n)^n.

240:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/01/31 19:17:06
なんとなくレスをつけてみたが、e<(1+1/n)^n*(1+1/(2*n)) をどうやって証明しよう。

241:１３２人目の素数さん
08/01/31 21:01:57
>>239
人の脳を読む能力を悪用する奴でも？

242:１３２人目の素数さん
08/01/31 21:52:20
自作問題。

nとMは自然数で、1≦n＜Mを満たすとする。Q(n)を次のように定義する。
Q(n)＝Π[k＝0～n－1](1－k/M)＝(1－0/M)*(1－1/M)*(1－2/M)*…*(1－(n－1)/M)
また、非負の実数cに対して、
a＝{－(2c－1)＋√{(2c－1)^2＋8Mc}}/2 , b＝{1＋√{1＋8Mc}}/2
とおく。

(1)次を示せ。
・n≧bならばQ(n)≦e^(－c)である
・n≦aならばQ(n)≧e^(－c)である
・0≦b－a≦2cである

(2)nは自然数で、1≦n＜365とする。n人の人間のうち、誕生日が一致する
2人がいる確率をP(n)とおく。次を示せ。
・n≧42ならばPn≧1－e^(－2.3) (≒0.9)
・n≦39ならばPn≦1－e^(－2.3)

243:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/02 08:21:34
Reply:>>241 思考盗聴で個人の生活に介入する奴を排除するかすべての人が思考盗聴できるようにならないと、平等にはならない。

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