不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

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956:１３２人目の素数さん
 09/06/11 23:43:43 
x,y,z>0,x^2<y<logzのとき 
xy^4<z^2 
 
 
a,b,c,d∈N,r=1-(a/b)-(c/d),a+c≦1982,r>0のとき 
r>(1/1983)^3

957:１３２人目の素数さん
 09/06/12 04:01:37 
a,b,c≧1のとき 
{a^3-(1/a)^3}+{b^3-(1/b)^3}+{c^3-(1/c)^3}≧3{abc-(1/abc)} 
 
a>b>c>0のとき 
[1/{(a-b)(a-c)√a}]+[1/{(b-c)(b-a)√b}]+[1/{(c-a)(c-b)√c}]>0

958:１３２人目の素数さん
 09/06/12 11:57:35 
a_k(k=1,2,3,..n)は正の数 
Π[k=1,n]a_k^a_k≧(Π[k=1,n]a_k)^(Σa_k/n)を示せ

959:１３２人目の素数さん
 09/06/13 00:21:06 
>>957 上  
　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと、  
　a^3 + b^3 +c^3 -3abc = (a+b+c){(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2  
　≧ 3{(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2　　　　　　　　　　(← a,b,c≧1) 
　≧ (1/a + 1/b + 1/c){[(a-b)/ab]^2 + [(b-c)/bc]^2 + [(c-a)/ca]^2}/2　　(← 1≧1/a,1/b,1/c) 
　≧ 1/(a^3) + 1/(b^3) + 1/(c^3) - 3/(abc),  
 
>>957 下  
　(a-c)/{(b-c)(b-a)} = -1/(a-b) - 1/(b-c) より  
　(左辺)*(a-c) = {1/(a-b)}(1/√a - 1/√b) + {1/(b-c)}(1/√c - 1/√b)  
　　　　　= - 1/(a√b + b√a) + 1/(c√b + b√c) > 0,　　　　(← a>c)  
  
>>958  
　対数を考えれ。チェビシェフより  
　Σ[k=1,n] (a_k)log(a_k) ≧ {Σ[i=1,n] log(a_i)}(Σ[j=1,n] a_j)/n,

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