不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

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953:１３２人目の素数さん
 09/06/10 16:04:31 
>>951上 
a[i]/a[i+1]=x[i]、a[n]/a[1]=x[n]とおくと 
(右辺)=(1+x[1])/(1+1/x[2])+(1+x[2])/(1+1/x[3])+……+(1+x[n])/(1+1/x[1])≦(1+x[1])/(1+1/x[1])+(1+x[2])/(1+1/x[2])+……+(1+x[n])/(1+1/x[n])  (チェビシェフ) 
=x[1]+x[2]+……+x[n]=(左辺) 
 
>>951下 
左辺を整理すると 
1+4abc/(b+c)(c+a)(a+b) 
よりabc/(b+c)(c+a)(a+b)≦1/8 
をしめせばよいが 
2√bc≦b+c,2√ca≦c+a,2√ab≦a+b 
を辺々掛ければ明らか 
(a=tanA,b=tanB,c=tanCとおいても解ける)

954:１３２人目の素数さん
 09/06/11 21:06:25 
>>951 中  
　>>503-512  
　http://mathworld.wolfram.com/WirtingersInequality.html

955:１３２人目の素数さん
 09/06/11 22:25:59 
>>948  
　e^2.302585･･･ = 10,  
　π = 2.302585･･･ + 0.83900･･･> 2.302585･･･ + 5/6,  
　e^(5/6) ≧ 1 + (5/6) + (1/2)(5/6)^2 > 1 + (5/6) + 1/3 > 2 + 1/6,　 
　e^π > (e^2.302585)･e^(5/6) > 10･(2 + 1/6) = 21 + 2/3,  
　(2/5)(e^π -1) > 8 + 4/15 > 8,  
  
>>952 下  
　無理筋ですた･････orz  
  
>>953 下 (続き)   
　cot(A+B+C) = {1-(ab+bc+ca)}/(a+b+c-abc) =0,  
より A+B+C = π/2,  
　(左辺) = cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) = 1 + 4sin(A)sin(B)sin(C)  
　≦ 1 + 4{[sin(A)+sin(B)+sin(C)]/3}^3　　　　(相乗･相加平均)  
　≦ 1 + 4{sin((A+B+C)/3)}^3　　　　　　　　　　(上に凸)  
　= 1 + 4{sin(π/6)}^3 
　= 1 + 4(1/2)^3  
　= 3/2,

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