不等式への招待 第３� ..
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94:１３２人目の素数さん 07/07/01 13:14:08 >>93 面白いね、これって論文１本書ける問題じゃないのかな 専門家のコメント希望 95:１３２人目の素数さん 07/07/01 13:31:10 >>93 n=4 のときにやってみたらハッセ図？みたいのが出来たけど、、 96:１３２人目の素数さん 07/07/01 13:56:25 (*ﾟ∀ﾟ)=3 97:１３２人目の素数さん 07/07/01 14:54:06 〔問題〕 a>0 とする。 関数f(x)は上に凸な連続関数で、f(0)=a, f(a)=0 を満たすとする。 また、関数g(x)は、0≦g(x)≦a を満たす連続関数とする。 このとき次の不等式が成り立つことを示せ（下記不等式中にある積分は全て区間[0,a]の定積分とする)。 ∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx + a^2 ≦ 2∫f(x)dx. * f(x)の微分可能性は保証されていません。 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/58-61 東大入試作問者スレ９ 98:１３２人目の素数さん 07/07/01 15:02:42 >97 ∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx ≦ 2∫f(x)dx. (略解) max_[0≦y≦a] {f(y)+y} = M とおくと (右辺) ≦ ∫_[0,a] M dx = Ma, 題意により、f(x)+x は上に凸な連続関数。よって、折れ線 (0,f(0))－(h,M)－(a,0) より上側にある。 (左辺) = 2∫_[0,h] {f(x)+x}dx + 2∫_[h,a] {f(x)+x}dx - 2∫_[0,a] xdx ≧ {f(0)+M}h + (M+a)(a-h) -a^2 = Ma.
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