不等式への招待 第３� ..
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903:１３２人目の素数さん 09/05/26 09:33:40 >>902 難解すぐる… 904:１３２人目の素数さん 09/05/26 21:46:19 >>902 左辺に 1 + a^(2^k) = {1 - a^(2^(k+1))}/{1 - a^(2^k)}, 等 を代入して Π(k=0,n) 1/{1 + a^(2^k)} = (1-a)/{1 - a^(2^(n+1))} > 1-a, 等(0<a,b,c<1) ここで a+b+c = s とおくと、 (左辺) - (右辺) > (s-a)(s-b)(s-c) - 8abc = s(ab+bc+ca) - 9abc = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 ≧ 0, ハｧハｧ 905:１３２人目の素数さん 09/05/27 01:16:53 Σ(ﾟДﾟ )！ ふ、ふつくしい… 906:１３２人目の素数さん 09/05/27 02:20:23 どの角も鈍角でない三角形ABCの三辺の長さをa,b,cとする。このとき (1/a^2+1/b^2+1/c^2)(a^2+b^2)≧5 を示せ。 907:１３２人目の素数さん 09/05/27 02:39:42 >>906 a,bを固定すると、c^2が最大のとき左辺は最小。 鈍角が無いからc^2=a^2+b^2が最大値である。 一般性を失うことなくa^2+b^2=1とすると、 左辺=1/a^2+1/b^2+1 なので、 a^2=b^2=1/2のときに最小値を取る。
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