不等式への招待 第３章
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900:１３２人目の素数さん 09/05/16 16:43:25 >>895 凸でない場合は、凸でない部分を折り返すことで 辺の長さの構成を変えずにより面積を大きくできるので 凸の場合を考えればよい。 (n+2)角形を、点A1を端点の一つとする対角線で分割し それぞれで三角不等式を用いて上からおさえれば示せる。 901:１３２人目の素数さん 09/05/16 18:33:49 >>900 正解でつ!! 三角形 Ａ1ＡjＡ(j+1) の面積は (1/2)Ａ1Ａj･x_j･sin(∠Ａ1ＡjＡ(j+1)) ≦ (1/2)Ａ1Ａj･x_j ≦ (1/2){x_1 + x_2 + ･････ + x_(j-1)}x_j これを j=2 から j=n+1 までたす。 x_(n+2) を含まないところがミソ。この辺が重なるように2つ並べると･･･ 〔系〕 点対称または線対称な2n+2角形の 面積を S, 周長を L = 2(x_1 + x_2 + ･････ + x_n + x_(n+1)), とすると、 {n/(8(n+1))}L^2 ≧ ∑[1≦i<j≦n+1] x_i･x_j ≧ S, ※ 等周問題からは {1/(4π)}L^2 ≧ S, (等号成立は円のとき) 902:１３２人目の素数さん 09/05/26 03:04:31 a,b,cは正の実数でa+b+c=1を満たす。nを正の整数とするとき Π(k=0_n) 1/{1+a^(2^k)}{1+b^(2^k)}{1+c^(2^k)} ＞ 8abc を示せ。
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