不等式への招待 第３� ..
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87:１３２人目の素数さん 07/06/21 01:36:20 ( ﾟ∀ﾟ)つ問題投下 a,b,c>0 のとき， (2/3)(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)) ≧ √((a^2+b^2+c^2)/3) が成立することを示せ。 88:１３２人目の素数さん 07/06/21 14:06:45 まず(b+c)/2≦√((b^2+c^2)/2)等だから、 (2/3)(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)) ≧(√2/3)(a^2/√(b^2+c^2)+...) よってa^2=x等とおいて、 (√2/3)(x/√(y+z)+y/√(z+x)+z/√(x+y))≧√((x+y+z)/3) を示せばよい。 k>0に対し、f(x)=x/√(k-x)は0<x<kで凸であるから、k=x+y+zとしておけば、 (√2/3)(x/√(y+z)+y/√(z+x)+z/√(x+y))=√2・(f(x)+f(y)+f(z))/3 ≧√2f((x+y+z)/3)=√((x+y+z)/3) 89:１３２人目の素数さん 07/06/22 00:19:04 >87 (2/3){a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)} ≧ (a^2 +b^2 +c^2)/(a+b+c) ≧ √{(a^2 +b^2 +c^2)/3}. (略証) 左側 (左辺)*{(b+c)a^2 + (c+a)b^2 + (a+b)c^2} ≧ (2/3)(a^2 +b^2 +c^2)^2, (←コーシー) (b+c)a^2 + (c+a)b^2 + (a+b)c^2 ≦ (2/3)(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2), (← 逆順序積 ≦ 乱順序積) 辺々割る。 右側 (a+b+c)^2 = 3(a^2 +b^2 +c^2) -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2 ≦ 3(a^2 +b^3 +c^2), ∴ 1/(a+b+c) ≧ 1/√{3(a^2 +b^2 +c^2)}. ﾊｧﾊｧ
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