不等式への招待 第３� ..

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863:１３２人目の素数さん 09/04/16 01:49:31 問題投下 ３辺がa,b,cの三角形の面積と３辺が1/a,1/b,1/cの三角形の面積の積が3/16を超えないことを示せ ヘロンでどぞー 864:１３２人目の素数さん 09/04/16 02:05:16 キタコレ！ 865:１３２人目の素数さん 09/04/18 10:54:55 >>863 　�� = (1/2)ab･sin(C) = (1/2)bc･sin(A) = (1/2)ca･sin(B), でも解けるお。 　�� = (1/2)(abc)^(2/3)･{sin(A)sin(B)sin(C)}^(1/3) 　　　≦ (1/2)(abc)^(2/3)･{sin(A)+sin(B)+sin(C)}/3　 　(相加･相乗平均) 　　　≦ (1/2)(abc)^(2/3)･sin((A+B+C)/3)　　　　　　　(0〜πで上に凸) 　　　=　(1/2)(abc)^(2/3)･sin(π/3) 　　　=　(√3)/4･(abc)^(2/3), 　　　　(等号成立はA=B=C(正三角形)のとき.) 　�� '≦ (√3)/4･(1/abc)^(2/3), 辺々掛ける。 866:１３２人目の素数さん 09/04/18 11:52:00 >>863 せっかくのヒントなのでヘロンで･････ 本問では、 (a+b+c)/2 =s とおく。 　(s-a) + (s-b) + (s-c) = s, 　�� = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} 　　≦ √{s(s/3)^3} 　　　　　　(相加･相乗平均) 　　= (1/√27)s^2 　　= (√3)/4･{(a+b+c)/3}^2 　　≦ (√3)/4･(abc)^(2/3),　　　(相加･相乗平均) 　�� '≦ (√3)/4･(1/abc)^(2/3), 辺々掛ける。

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