不等式への招待第３章

不等式への招待第３章 at MATH

862:１３２人目の素数さん
09/04/11 16:35:09
>>686 2), >>859 の略証･･･

　X = {p+q+(p-q)x}/2,　Y = {p+q+(p-q)y}/2,　Z = {p+q+(p-q)z}/2,
とおくと
　X^2 + Y^2 + Z^2 = (X+Y+Z)^2 -2(XY+YZ+ZX)
　　= (X+Y+Z-p-q)^2 -(p+q)^2 +2(p+q)(X+Y+Z) -2(XY+YZ+ZX)
　　= (X+Y+Z-p-q)^2 -(p+q)^2 +3(p+q)^2 -(3/2)(p+q)^2 -(1/2)(p-q)^2･(xy+yz+zx)
　　= p^2 + q^2 + (X+Y+Z-p-q)^2 -(1/2)(p-q)^2･(xy+yz+zx+1),
ところで、題意から
　x = (a+b)(a-b),　y = (b+c)/(b-c),　z = (c+a)/(c-a),
∴　xy + yz + zx + 1 = 0,

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