不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

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848:１３２人目の素数さん
 09/03/28 00:59:42 
>>847  
 
Solution 1.  
　f(x) = (1-x)log(x),　とおくと 
　f "(x) = -(1+x)/(x^2) < 0, 
∴ y=f(x) は上に凸。 
∴　log(左辺) = f(a) + f(b) + f(c) ≦ 3f((a+b+c)/3) = 3f(1/3) = 2log(1/3) = log(1/9) = log(右辺), 
  
Solution 312.  
相加相乗平均２回 
　(a+1)^2 = (a-1)^2 + 4a ≧ 4a, etc.  
　(左辺) ≧ 16{(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2}  
　　= 16{(aac)^2 + (bba)^2 + (ccb)^2}/(abc)^2  
　　= 48 + {(aac)^2 + (bba)^2 + (ccb)^2 -3(abc)^2}/(abc)^2  
　　= 48 + (X^3 + Y^3 + Z^3 -3XYZ)/(abc)^2  
　　≧ 48 = (右辺).  
ここに X=(AAC)^(2/3), Y=(BBA)^(2/3), Z=(CCB)^(2/3),  
　X^3 +Y^3 +Z^3 -3XYZ = (1/2)(X+Y+Z){(X-Y)^2 +(Y-Z)^2 +(Z-X)^2} ≧ 0,

849:１３２人目の素数さん
 09/03/29 01:26:28 
>>847  
  
Solution 316.  
外角 π-A_i の和は2πである:  
　(π-A_1) + (π-A_2) + …… + (π-A_n) = 2π, 
n>k とする。 
π-A_i > 2π/k となる A_i は k-1 個以下。 
残りの n-k+1 個以上については　0 <π-A_i ≦ 2π/k,  
　-1 < cos(A_i) ≦ - cos(2π/k),  
ディリクレの引き出し論法（鳩ノ巣原理）により、 
　| cos(A_i) - cos(A_j) | < {1 - cos(2π/k)}/(n-k),  
本問では k=6.  
  
〔蛇足〕  
nを固定すると、k ≒ 2n/3 の辺りで最小になると･･･ 
　(右辺)  < (2π^2)/{(n-k)k^2} < (27/2)π^2 / n^3,

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