不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

795:１３２人目の素数さん
09/03/16 00:22:04
>746 から･･･

〔出題95〕
x, yを正の実数とし, x,yの調和平均, 相乗平均, 相加平均, 2乗平均をそれぞれH, G, A, Q とおく.
すなわち,
　H = 2xy/(x+y),　G = √(xy),　A = (x+y)/2,　Q = √{(x^2+y^2)/2}
とおく.
(1)　H ≦ G ≦ A ≦ Q を示せ.
(2)　G-H ≦ Q-A ≦ A-G を示せ。

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H,G,A は等比数列だから
　(A+H)/2 ≧ √(AH) = G,
　G-H ≦ A-G,
また G^2, A^2, Q^2 は等差数列で、公差は
　⊿ = Q^2 - A^2 = A^2 - G^2 = (1/4)(x-y)^2 ≧ 0,
　(Q+A)(Q-A) = (A+G)(A-G)　　　　　････ (*)
よって
　G ≦ A ≦ Q,
　Q+A ≧ A+G,
これで (*) を割ると
　Q-A ≦ A-G,
あとは
　G-H ≦ Q-A,
を示せれば･･･
　G^2 - H^2 = (H/G)^2･⊿ = (G/A)^2･⊿ = (H/A)･⊿,

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