不等式への招待 第３� ..
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794:１３２人目の素数さん 09/03/16 00:04:47 〆切あげ 795:１３２人目の素数さん 09/03/16 00:22:04 >746 から･･･ 〔出題95〕 x, yを正の実数とし, x,yの調和平均, 相乗平均, 相加平均, 2乗平均をそれぞれH, G, A, Q とおく. すなわち, H = 2xy/(x+y), G = √(xy), A = (x+y)/2, Q = √{(x^2+y^2)/2} とおく. (1) H ≦ G ≦ A ≦ Q を示せ. (2) G-H ≦ Q-A ≦ A-G を示せ。 -------------------------------------------- H,G,A は等比数列だから (A+H)/2 ≧ √(AH) = G, G-H ≦ A-G, また G^2, A^2, Q^2 は等差数列で、公差は ⊿ = Q^2 - A^2 = A^2 - G^2 = (1/4)(x-y)^2 ≧ 0, (Q+A)(Q-A) = (A+G)(A-G) ････ (*) よって G ≦ A ≦ Q, Q+A ≧ A+G, これで (*) を割ると Q-A ≦ A-G, あとは G-H ≦ Q-A, を示せれば･･･ G^2 - H^2 = (H/G)^2･⊿ = (G/A)^2･⊿ = (H/A)･⊿, http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/95, 100
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