不等式への招待 第３� ..
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75:１３２人目の素数さん 07/06/15 09:35:26 △ABCが鋭角三角形のとき， tanA tanB tanC ≧ 3√3 を示せ。 76:１３２人目の素数さん 07/06/15 10:23:38 >>75 tanA=x tanB=y tanC=zとおく。 △ABCが鋭角三角形な事からx,y,zは全て正の数。 また z=tan(π-(A+B))=-tan(A+B)=-(x+y)/(1-xy) ゆえ z-xyz=-x-y すなわちx+y+z=xyzが成り立つ。 x/(xyz)^(1/3)>0 ,y/(xyz)^(1/3)>0, z/(xyz)^(1/3)>0 について、相加相乗平均から (x+y+z)/(xyz)^(1/3)≧3{xyz/(xyz)}^(1/3)=3 x+y+z=xyzから (xyz)^(2/3)≧3 ゆえxyz≧3√3 等号成立はx=y=zのとき、それは 0<θ<π/2でのtanθの狭義単調増加性から A=B=Cのときなので△ABCが正三角形のとき。 77:１３２人目の素数さん 07/06/15 11:19:19 >>75 tanA=x tanB=y tanC=zとおく。 △ABCが鋭角三角形な事からx,y,zは全て正の数。 また z=tan(π-(A+B))=-tan(A+B)=-(x+y)/(1-xy) ゆえ z-xyz=-x-y すなわちx+y+z=xyzが成り立つ。 …までは>>76と同じで，ここからはtan xの凸不等式でおしまい。
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