不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

749:１３２人目の素数さん
09/03/04 00:32:35
a≧b≧0，c≧d≧0のとき

√（a^2+ab+b^2）+√（c^2+cd+d^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）

750:１３２人目の素数さん
09/03/04 00:47:23
>>749は今月号の大数の宿題。
ネタバレになるから回答しないように。

751:１３２人目の素数さん
09/03/04 01:18:18
>>749
簡単すぎ

752:１３２人目の素数さん
09/03/04 01:38:52
>>749
過去に解いたことがある
入試問題かな？

753:１３２人目の素数さん
09/03/04 03:06:05
>>749
泥沼にはまった予感

754:１３２人目の素数さん
09/03/05 01:59:49
√(x^2)＋√(1－x^2)
の最大値の求め方って何通りありますかね？

755:１３２人目の素数さん
09/03/05 02:21:41
0

756:１３２人目の素数さん
09/03/05 17:02:58
鳥取市の誘致企業リコーマイクロエレクトロニクスにアルバイトに行っていた。
勤務態度不良でリコーのアルバイトをクビ同然で辞めた。

その後、鳥取市のテスコという工場に勤め真面目に働いていた。
「真面目に働いているのはリコーに対する報復（あてつけ？）」という噂でテスコをクビになった。
直後、テスコの社長から雇用保険の書類をとりに来るよう泣きそうな声で電話があった。
噂は嘘だと知ったのだろう。

雇用保険の手続きのため職安に行った。
職安の次長と相談すると、口止めをされた。
職安と会社は連絡を取り合っていたらしい。

しかし噂は狭い鳥取市である程度広がっているようだ。

リコーマイクロエレクトロニクスに電話を掛けた。
「君はうちのような一流企業が組織ぐるみでやったとでも思っているのかね？」
「そんなことはありませんけど」
「じゃあ会社には関係ないじゃないか」

しかし公的機関（職安）も巻き込んだ組織ぐるみの人権侵害の揉み消しである。

757:１３２人目の素数さん
09/03/05 21:51:51
(1) 実数xが-1<x<1,x≠0を満たすとき,次の不等式を示せ.

(1-x)^{1-(1/x)}<(1+x)^(1/x)

(2) 次の不等式を示せ.

0.9999^101<0.99<0.9999^100

758:１３２人目の素数さん
09/03/05 22:02:25
>>757
なんで命令形なの？むかつくんだけど

759:１３２人目の素数さん
09/03/05 22:38:50
>>757-758
今年の東大入試の第５問のコピペだから。

760:１３２人目の素数さん
09/03/05 23:20:42
>>758
消えろ！カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ

761:１３２人目の素数さん
09/03/06 12:53:46
>>757
これに30分もかけなければ今頃俺は

762:１３２人目の素数さん
09/03/07 00:22:41
>>757

(1)　f(x)=log(1-x) は上に凸だから、平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
　x<0 のとき g(x^2) > g(x),
　x>0 のとき g(x^2) < g(x),
よって
　x･g(x^2) < x･g(x),
　f(x^2)/x < f(x),
　(1/x)log(1-x^2) < log(1-x),

763:１３２人目の素数さん
09/03/07 00:43:26
>>757

(1)　f(x)=log(1-x) は上に凸で f(0)=0.
　平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
　x<0 のとき g(x) > g(x^2),
　x>0 のとき g(x) < g(x^2),
よって
　x･g(x) < x･g(x^2),
　f(x) < f(x^2)/x,
　log(1-x) < (1/x)log(1-x^2),
　1-x < (1-x^2)^(1/x),

(2)　(1-x^2)^{1+(1/x)} < 1-x < (1-x^2)^(1/x),
を示す....

764:１３２人目の素数さん
09/03/07 02:06:15
みんな解いた問題って保存してるの？

765:１３２人目の素数さん
09/03/07 02:11:03
>>757を改めて試験中の様にエレガントに解いてみせようとしたら間違いに気づいた。
落ちてそうだから死にたい。

766:１３２人目の素数さん
09/03/07 08:45:08
>>764
最近は時間がなくてのぉ…
このスレを保存するだけで精一杯さ ('A`)

767:１３２人目の素数さん
09/03/07 22:26:28
>>763 (2) の左側

(1) で x→-x として, 1+x = (1-x^2)/(1-x) を使えば出る。

768:１３２人目の素数さん
09/03/08 01:00:22
>>754
　f(x) = |x| + √(1-x^2),
とおく。

(1)　f(x)^2 = 1 + √{4x^2･(1-x^2)} = 1 + √{1 - (1-2x^2)^2} ≦ 2,
等号成立は x = ±1/√2 のとき。

(2)　x=cosθ (0≦θ≦π/2) とおく。
　f(x) = cosθ + sinθ = (√2)sin(θ + π/4) ≦ √2,
等号成立は θ=π/4 のとき。

769:１３２人目の素数さん
09/03/08 16:10:21
コーシー・シュワルツから
(1*|x|+1*√(1-x)^2)^2≦(1+1)(x^2+(1-x^2))=2

770:１３２人目の素数さん
09/03/08 19:05:38
>>757
もし(2)の不等式だけ出たらやっぱ(1)の不等式を示すことに帰着されるんかな

771:１３２人目の素数さん
09/03/08 19:57:44
不等式は嫌いなんだ

772:１３２人目の素数さん
09/03/08 23:43:39
>>771
ありえん！？
一度医者に見てもらったほうがいい…

773:１３２人目の素数さん
09/03/09 00:02:16
この本に出てくる形の不等式って本当にそのまま論文で出版されてんのか？
他の議論をしているときに「たまたま現れました」っていう不等式や、
もっと洗練されたものの特殊ヴァージョンじゃないのか？

774:１３２人目の素数さん
09/03/09 00:15:14
>>773だがさ、蛇足するが、
例えば、(「不等式への招待」)第５章「不等式の作成と証明法」
の例題１の不等式が本当にそのまま論文で出版されているのか、
ということを聞いた訳さ。
ちょっと読みにくかったり曖昧に書かれている箇所がところどころあるんだがな。

775:１３２人目の素数さん
09/03/09 22:50:15
>>757 >>763
(2)
　|x| << 1 のとき、マクローリン展開から
　(1 + 1/x)log(1-x^2) = -x -　　 x^2 -O(x^3),
　　　　　　 log(1-x) = -x -(1/2)x^2 -O(x^3),
　　　(1/x)log(1-x^2) = -x 　　　　　-O(x^3),
･･･ぢゃあダメだろうな。

776:１３２人目の素数さん
09/03/11 00:00:41
xとyはともに正の実数でx+4y=3のとき、1/x+1/yの最小値は。

1文字消して微分したらできたけど全く愉快じゃないので、
かっこいい解法をお願いします。

777:１３２人目の素数さん
09/03/11 00:10:00
(1^(1/2)+4^(1/2))^2<=(x+4y)(1/x+1/y).

778:776
09/03/11 00:33:11
はやっ。
(√(ax),√(bx)) と (1/√x,1/√y) にCauchy-schwarzってことですね。
かっこいいす。ありがとう。

779:１３２人目の素数さん
09/03/11 21:00:44
モノグラフって調和平均とか重みつきとかないよね
受験ではいらないってことか
他の不等式を学びたい場合はどんな本がいい？

780:１３２人目の素数さん
09/03/11 23:00:18
>>779

>>2を読め！

781:１３２人目の素数さん
09/03/11 23:28:00
>746のprime_132ってこのスレの住人？

782:１３２人目の素数さん
09/03/11 23:34:10
あぁ、だがそれ以上は詮索しないでもらいたい

783:１３２人目の素数さん
09/03/13 16:40:42
そろそろ>>749の大数の宿題は〆切？

784:１３２人目の素数さん
09/03/13 20:10:07
URLﾘﾝｸ(books.google.com)

これいいよ

785:１３２人目の素数さん
09/03/13 20:46:55
F(a,b)=√（a^2+ab+b^2）
Fa=(2a+b).5/()^.5=0 a=-.5b
Fb=0 b=-.5a
F(a,b)=(a^2-.5a^2+.25a^2)^.5=(.75)^.5a
a=rcost,b=rsint a>b>0->cost>sint>0
F=r(1+costsint)^.5

786:１３２人目の素数さん
09/03/13 23:45:21
>>783
3/15締め切りです。

787:１３２人目の素数さん
09/03/14 23:52:56
ある直方体の12辺の長さの和を4L、表面積をS、体積をVとする
（1）L、Sが一定のときVのとりうる値を答えよ
（2）L、Vが一定のときSのとりうる値を答えよ
（3）S、Vが一定のときLのとりうる値を答えよ

788:１３２人目の素数さん
09/03/15 00:22:26
>746 から一題･･･

〔問題〕
　0 < x のとき e^x > 3sin(x) を示せ。

URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)

789:１３２人目の素数さん
09/03/15 03:04:09
>>788
グラ…接…

790:１３２人目の素数さん
09/03/15 20:34:14
>>749
後四時間で解禁

791:１３２人目の素数さん
09/03/15 20:56:47
>>749 は問題としては簡単だが，何がしか背景があるのだろう

792:１３２人目の素数さん
09/03/15 20:57:41
120°

793:１３２人目の素数さん
09/03/15 23:03:12
>746 からもう一題･･･（外出だったらスマソ）

〔出題87〕
正数列 a[n] >0 の初項から第n項までの総和を S[n] とおく:
　S[n] = Σ[k=1,n] a[k].
このとき，
　{a[1]/S[n+1]}^(1/n) + ∑[m=1,n+1] {a[m]/(n･S[m])} ≦ 1 + (1/n),

URLﾘﾝｸ(www.casphy.com) 121

794:１３２人目の素数さん
09/03/16 00:04:47
〆切あげ

795:１３２人目の素数さん
09/03/16 00:22:04
>746 から･･･

〔出題95〕
x, yを正の実数とし, x,yの調和平均, 相乗平均, 相加平均, 2乗平均をそれぞれH, G, A, Q とおく.
すなわち,
　H = 2xy/(x+y),　G = √(xy),　A = (x+y)/2,　Q = √{(x^2+y^2)/2}
とおく.
(1)　H ≦ G ≦ A ≦ Q を示せ.
(2)　G-H ≦ Q-A ≦ A-G を示せ。

--------------------------------------------
H,G,A は等比数列だから
　(A+H)/2 ≧ √(AH) = G,
　G-H ≦ A-G,
また G^2, A^2, Q^2 は等差数列で、公差は
　⊿ = Q^2 - A^2 = A^2 - G^2 = (1/4)(x-y)^2 ≧ 0,
　(Q+A)(Q-A) = (A+G)(A-G)　　　　　････ (*)
よって
　G ≦ A ≦ Q,
　Q+A ≧ A+G,
これで (*) を割ると
　Q-A ≦ A-G,
あとは
　G-H ≦ Q-A,
を示せれば･･･
　G^2 - H^2 = (H/G)^2･⊿ = (G/A)^2･⊿ = (H/A)･⊿,

URLﾘﾝｸ(www.casphy.com) 100

796:１３２人目の素数さん
09/03/16 01:18:31
今年の東北大入試問題から

a+b≧cであるとき
a^3+b^3+3abc≧c^3

797:１３２人目の素数さん
09/03/16 01:53:36
それは易しすぎるだろ・・・
湘南工科大レベル

798:１３２人目の素数さん
09/03/16 01:59:18
>>796
3乗の因数分解の公式そのもの。
レベル０
高校入学時の始業式の翌日にやる試験レベル

799:１３２人目の素数さん
09/03/16 02:00:00
ｃ＝０。
ｄ＝０。

ｂ＝０。
ｄ＝０。

800:１３２人目の素数さん
09/03/16 02:55:19
>>796
これはひどい
こんなのが出るのが今の入試は

801:１３２人目の素数さん
09/03/16 02:57:01
もしかして文系学部の問題？

802:１３２人目の素数さん
09/03/16 03:12:29
理系だね、（１）もあったね
URLﾘﾝｸ(www.yozemi.ac.jp)

803:１３２人目の素数さん
09/03/16 03:33:06
>>802
ガセネタかと思ったら、マジかよ！
オ㍗ル

804:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:01:21
おまえら不等式には厳しいなｗ

805:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:02:27
>>797 >>798 >>800 >>801 >>803
勘違いしてないか？そこまで簡単じゃないよ。

806:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:08:35
>>805
アー、アー、キコエマスカー？
どの辺が難しいのかな？

因数分解の公式かな？
それともその後の平方完成の仕方かな？

807:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:10:09
>>796
ウソだろ・・・高1の1学期の中間レベルだと・・・？

808:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:10:12
>>805
Ｆランのお前には難しいのだろう
国立行けるレベルの理系には簡単すぎるよ

809:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:14:48
講評では難易度は標準って書かれてるんだけどな

810:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:16:33
ゆとり的には標準なんじゃないか

811:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:20:19
>>809
そのとおり。
言うほど簡単じゃない。模範解答見ればやさしいけどね。
問い１としての難易度は適切だと思う。
良問かどうかはわかりかねるが、東北大の入試の倍率が３倍だとすると、
この問い１で受験生のうち下３分の１くらいは落とせるんじゃないかな。

812:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:25:08
>>811
どこが難しいのかｋｗｓｋ

813:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:25:12
まず、下１０％くらいは、
a+b>=c　＜＝＞　a^3+b^3+3ab(a+b)>=c^3
として、a+bをｃで置き換えて証明終わり
とする（東北大入試の）受験生はでてくる。
　そういった論理性の欠ける人を落とすのがひとつの目的だと推測

814:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:27:21
>>813
え？

815:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:30:04
（１）は=だから、>>813のとおりにやって良いんだけど、
（２）は不等号だから、だめ。
講評では（１）がヒントになる、と書いてあるけれど、かえって（１）の
おかげで間違える人も１０％（いいすぎか５％）はいると思う。

816:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:32:04
だからいくらなんでも
>>798
>3乗の因数分解の公式そのもの。
>レベル０
>高校入学時の始業式の翌日にやる試験レベル
は言いすぎだろ。

817:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:34:27
>>816
え？高1はじめの中間に出るレベルだけど？

818:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:40:21
その入試問題１－６全部みるとわかるけど、問題１以外は証明問題は
問題５（１）だけで、あとは、値を求めさせる問題。
問題１は、証明がちゃんと書けるか、を見るのがねらいなんじゃないの？
問題１がなかったら、論証がいいかげんで答えを見つけるのが得意な
人だけが入ってきちゃう。
　それに、数学科志望生だけが受けるレベルじゃないからね。

>>817
でも、中間テストでみんなが満点なわけじゃないと思うよ。
しかも公式を習った直後で範囲が狭まっている時に出題すれば
得点率上がるのは当たり前。
君は高１か？予備校の模試受けたら（できれば東北大限定模試）、
各問題の平均点見てみ。
そんなに高くないよ。制限時間内ではね。
問題１としては適当。（６題全部がこれだったらやさしいけどね。）

819:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:42:16
>>817
君の学校は、始業式の翌日に中間テストをやるのか？

820:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:48:50
>>818
そうだね
ごめん

821:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:54:54
今年東北落ちた人か？
河合は標準、駿台はやや易だった

822:１３２人目の素数さん
09/03/16 05:01:08
>>821
＞今年東北落ちた人か？
落ちてない。落ちるほどの学力なら、あぁ、俺には難しいけど、
受かった人にとっては簡単なのかも、、と思って難易度は断定できない。

＞河合は標準、駿台はやや易だった

そうだろ、標準か、やや易、だろ。そんなもんだ。
びっくりするほど易しすぎはしない。入試問題として。

823:１３２人目の素数さん
09/03/16 07:56:31
>>819
>>817のどこに始業式の翌日にやるってかいてあるんだよ

824:１３２人目の素数さん
09/03/16 07:59:47
>>811
真剣な話、どこが難しいのかな？

>>819
入学式の翌日に実力テストをやりましたが何か？
範囲は２次関数の終わりまで。

825:１３２人目の素数さん
09/03/16 08:06:16
そろそろどこか他のところでやってくれ。

826:１３２人目の素数さん
09/03/16 08:40:09
>>811は解けなかっただけだろ

827:１３２人目の素数さん
09/03/16 09:17:11
件の人はa^3 + b^3 + c^3 - 3abcの因数分解の公式知らんのかね。

つうかこのスレは大学入試問題レベルの簡単な問題を
扱うような感じじゃないと思うけど。

828:１３２人目の素数さん
09/03/16 09:21:55
少なくともこのスレ的には対称式に対する標準的な処方箋で解ける問題．
因数分解の公式なんて忘れても，基本対称式で書こうとするだけでいい．

829:１３２人目の素数さん
09/03/16 19:32:17
>>749の正しい問題文は何だろう

830:１３２人目の素数さん
09/03/16 22:31:37
>>795
　G-H ≦ Q-A　を示そう。
　(A-H) = (A^2 -G^2)/A = (Q^2 -G^2)/(2A) = (Q-G){(Q+G)/(2A)},
　(Q-A) - (G-H) = (Q-G) - (A-H) = (Q-G){1-(Q+G)/(2A)} = {(Q-G)/(2A)}{(A-G)-(Q-A)}　･･････ (**)
∴　Q-A は G-H と A-G の間にある(G-H寄り)。

**)　右辺の係数は 0 < (Q-G)/(2A) ≦ (Q+G)/(2A) < 1,

よって
(3)　(Q-A)-(G-H) ≦ (A-G)-(Q-A),

〔問題〕
　3変数(x,y,z) のときは (1) のみが成り立つことを示せ。

831:１３２人目の素数さん
09/03/16 23:39:12
東大入試数学過去問
URLﾘﾝｸ(hwm5.gyao.ne.jp)

京大入試数学過去問
URLﾘﾝｸ(hwm5.gyao.ne.jp)

大学入試数学過去問
URLﾘﾝｸ(www.densu.jp)

いくつかは不等式の問題拾えるんじゃない？

832:１３２人目の素数さん
09/03/16 23:49:27
そんなもん見るよりジャーナル見るほうが有意義だ

833:１３２人目の素数さん
09/03/17 00:00:13
>>830

(1)
　H = 3/(1/x + 1/y + 1/z),　G = (xyz)^(1/3),　A = (x+y+z)/3,　Q = √{(x^2 + y^2 + z^2)/3}, 　
　Q^2 - A^2 = (x^2 +y^2 +z^2)/3 - (1/9)(x+y+z)^2 = (1/9){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2} ≧ 0,
　A^3 - G^3 = {(x+y+z)/3}^3 -xyz = {(x+y+7z)/2}(x-y)^2 + {(7x+y+z)/2}(y-z)^2 + {(x+7y+z)/2}(z-x)^2 ≧ 0,
　(1/H)^3 - (1/G)^3 = {[(1/x)+(1/y)+(1/z)]/3}^3 - 1/(xyz) = {(x'+y'+z')/3}^3 - x'y'z' ≧ 0,
∴　H ≦ G ≦ A ≦ Q,

(2) y=z=1 の場合を考えると
　H = 3x/(1+2x),　G = x^(1/3),　A = (2+x)/3,　Q = √{(2+x^2)/3},
　x<1 のとき　G-H > A-G > Q-A,
　x>1 のとき　G-H < A-G < Q-A,

834:830
09/03/17 00:05:05
>>833
GJ!!

されど、3変数のときはQよりも
　T = {(x^3+y^3+z^3)/3}^(1/3),
使った方が良くね？

835:１３２人目の素数さん
09/03/17 23:05:37
>>830, 833

(2) y=z=1 の場合は････
　0 < x < 0.00415949095310635… のとき、　　　　　　G-H < Q-A < A-G,
　0.00415949095310635… < x < 0.15064425… のとき,　Q-A < G-H < A-G,
　0.15064425… < x < 1 のとき,　　　　　　　　　　　Q-A < A-G < G-H,
　1 < x < 9.33372455･･･のとき、　　　　　　　　　　G-H < Q-A < A-G,
　9.33372455･･･ < x のとき、　　　　　　　　　　　　G-H < A-G < Q-A,
と成増とんねるず。

但し、区間の端点は
0.15064425142615432931841204604911････ = 1/{2cos(π/9)}^3,　x + 3･x^(2/3) -1 =0 の根。
9.3337245536744706772511885807731････ = {(2√3)cos([π-arccos(25/27)]/6) - 1}^3,　x + 3･x^(2/3) -6･x^(1/3) -10 =0 の根。

836:１３２人目の素数さん
09/03/17 23:15:33
a≧b≧0，c≧d≧0のとき

√（a^2+ab+b^2）+√（c^2+cd+d^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）

837:１３２人目の素数さん
09/03/18 03:27:30
a,b,cを実数とする
a+b+c=0のとき
（|a|+|b|+|c|)^2≧2（a^2+b^2+c^2)

838:１３２人目の素数さん
09/03/18 16:53:54
2(a^2+b^2+c^2) = (a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)
=(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)
≦(a^2+b^2+c^2)+2(|ab|+|bc|+|ca|) = (|a|+|b|+|c|)^2

839:835
09/03/18 22:01:22
>>830, >>833,

　0.00415949095310635… は x^3 +3x^(8/3) +3x^(7/3) +(9/2)x^2 +3x^(5/3) +3x^(4/3) +(39/8)x +(33/8)x^(2/3) + (3/4)x^(1/3) -(1/4) =0　の根。

840:１３２人目の素数さん
09/03/19 16:04:37
>>836
チェビシェフの不等式

841:１３２人目の素数さん
09/03/19 22:36:19
>>836
三角不等式

842:１３２人目の素数さん
09/03/19 23:37:37
>>749 >>799 >>829 >>836
a=1,b=1,c=0,d=0.
√（3）≧2.

843:１３２人目の素数さん
09/03/20 00:22:31
a≧b≧0，c≧d≧0のとき

√（a^2+ad+d^2）+√（b^2+bc+c^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）

じゃね？

844:１３２人目の素数さん
09/03/20 01:39:13
>>843
bingo!

845:１３２人目の素数さん
09/03/22 07:14:22
>>843

∠UOV = 120ﾟなる半直線 OU,OV を考える。 >>792
OU上に OA=a, OB=b なる点A,B をとる。
OV上に OC=c, OD=d なる点C,D をとる。

題意により、2つの線分AD, BC は交わるから、交点を X とする。2つの線分AC, BD は交わらない。
　(左辺) = AD + BC = (AX + XD) + （BX +XC) = (AX + XC) + (BX + XD) ≧ AC + BD = (右辺).

[初代スレ.068, 071] の類題ぢゃね？

846:１３２人目の素数さん
09/03/25 01:42:40
(；´д｀) ﾊｧﾊｧできそうなネタ満載
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)

847:１３２人目の素数さん
09/03/28 00:40:44
>>846

Problem 1.
a,b,c は正の実数で、a+b+c=1 を満たすとき
　a^(1-a) * b^(1-b) * c^(1-c) ≦ 1/9,

　Austrian M.O. 2008, Final round (part 2)

Problem 312.
　a,b,c を正の実数とするき
(a+1)^4 /(b^2) + (b+1)^4 /(c^2) + (c+1)^4 /(a^2) ≧ 48,

Problem 316.
　n>6 のとき, 凸ｎ角形Ａ0Ａ1……Ａn に対して適当な i≠j が存在して
　　|cos(∠Ａi) －cos(∠Ａj)| < 1/{2(n-6)},

848:１３２人目の素数さん
09/03/28 00:59:42
>>847

Solution 1.
　f(x) = (1-x)log(x),　とおくと
　f "(x) = -(1+x)/(x^2) < 0,
∴ y=f(x) は上に凸。
∴　log(左辺) = f(a) + f(b) + f(c) ≦ 3f((a+b+c)/3) = 3f(1/3) = 2log(1/3) = log(1/9) = log(右辺),

Solution 312.
相加相乗平均２回
　(a+1)^2 = (a-1)^2 + 4a ≧ 4a, etc.
　(左辺) ≧ 16{(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2}
　　= 16{(aac)^2 + (bba)^2 + (ccb)^2}/(abc)^2
　　= 48 + {(aac)^2 + (bba)^2 + (ccb)^2 -3(abc)^2}/(abc)^2
　　= 48 + (X^3 + Y^3 + Z^3 -3XYZ)/(abc)^2
　　≧ 48 = (右辺).
ここに X=(AAC)^(2/3), Y=(BBA)^(2/3), Z=(CCB)^(2/3),
　X^3 +Y^3 +Z^3 -3XYZ = (1/2)(X+Y+Z){(X-Y)^2 +(Y-Z)^2 +(Z-X)^2} ≧ 0,

849:１３２人目の素数さん
09/03/29 01:26:28
>>847

Solution 316.
外角 π-A_i の和は2πである:
　(π-A_1) + (π-A_2) + …… + (π-A_n) = 2π,
n>k とする。
π-A_i > 2π/k となる A_i は k-1 個以下。
残りの n-k+1 個以上については　0 <π-A_i ≦ 2π/k,
　-1 < cos(A_i) ≦ - cos(2π/k),
ディリクレの引き出し論法（鳩ノ巣原理）により、
　| cos(A_i) - cos(A_j) | < {1 - cos(2π/k)}/(n-k),
本問では k=6.

〔蛇足〕
nを固定すると、k ≒ 2n/3 の辺りで最小になると･･･
　(右辺) < (2π^2)/{(n-k)k^2} < (27/2)π^2 / n^3,

850:849
09/04/05 19:45:07
↑は
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
のp.3に出てた。orz
しかたないので一題･･･

Problem 2.
Let a_1 ～ a_5 be real numbers satisfying the following equations:
　a_1/(1+k^2) + a_2/(2+k^2) + a_3/(3+k^2) + a_4/(4+k^2) + a_5/(5+k^2),
for k=1～5.　Find the value of
　a_1/37 + a_2/38 + a_3/39 + a_4/40 + a_5/41,
　(Express the value in a single fraction.)

851:１３２人目の素数さん
09/04/05 19:51:15
>>850
結果だけ並べると･･･

　a_1 =　1105/72,
　a_2 = -2673/40,
　a_3 =　1862/15,
　a_4 = -1885/18,
　a_5 =　1323/40,
より
　b_6 =　187465/(3*37*38*39*41)　　　　≒ 1.00061649483987･･･ / 36,
　b_7 =　　1197/(5*13*17*53) 　　　　　≒ 1.00150260394436･･･ / 49,
　b_8 =　 85345/(16*13*17*23*67) 　　　≒ 1.00240485551780･･･ / 64,
　b_9 =　277289/(9*17*41*43*83)　　　　≒ 1.00321917612728･･･ / 81,
　b_10=12117378/(3*25*7*13*17*101*103) ≒ 1.00391855290609･･･ / 100,
　b_0 = 13489 / 3600 ≒ 3.74694444444444･･･
ここに b_k =　a_1/(1+k^2) + a_2/(2+k^2) + a_3/(3+k^2) + a_4/84+k^2) + a_5/(5+k^2),

852:１３２人目の素数さん
09/04/05 23:12:36
不等式ﾊﾞﾝｼﾞｬｲ！

853:850
09/04/07 21:04:51
スレ違いだったか･････　　---> 線形代数/線型代数スレ
ぢゃあもう一題

〔問題322'〕
Let a,b,c be positive real numbers satisfying the condition a+b+c=s.　
Prove that
　(a^2)(3b+s)/(as+bs+3ab) + (b^2)(3c+s)/(bs+cs+3bc) + (c^2)(3a+s)/(cs+as+3ca) ≧ 2,

854:１３２人目の素数さん
09/04/07 23:31:17
>>853
忙しいので、とりあえずﾊｧﾊｧしておく！
(；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ…

855: ◆BhMath2chk
09/04/08 00:00:00
　ａ（１）／（ｘ＋１）＋ａ（２）／（ｘ＋２）＋ａ（３）／（ｘ＋３）＋ａ（４）／（ｘ＋４）＋ａ（５）／（ｘ＋５）－１／ｘ
＝（ｘ－１）（ｘ－４）（ｘ－９）（ｘ－１６）（ｘ－２５）／１２０ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）（ｘ＋５）。

856:１３２人目の素数さん
09/04/08 00:09:21
>>855
？

857:１３２人目の素数さん
09/04/08 01:16:17
>>853
a=b=c=1/2とかで不等式が成立しない気が

858:１３２人目の素数さん
09/04/08 23:41:08
>>857
　スマン。↓に訂正。

　(a^2)(3b+s)/(as+bs+3ab) + (b^2)(3c+s)/(bs+cs+3bc) + (c^2)(3a+s)/(cs+as+3ca) ≧ (2/3)ｓ,

859:１３２人目の素数さん
09/04/09 19:57:31
>>686 2)

　(pa-qb)/(a-b) =X,　(pb-qc)/(b-c) =Y,　(pc-qa)/(c-a) =Z,
とおくと、
　X^2 + Y^2 + Z^2 = p^2 + q^2 + (X+Y+Z-p-q)^2 ≧ p^2 + q^2,

本問では p=4, q=3,

860:１３２人目の素数さん
09/04/09 21:05:57
>>858
(左辺)={a-abs/(as+bs+3ab)}+{b-bcs/(bs+cs+3bc)}+{c-cas/(cs+as+3ca)}
　　　 ≧{a-(b+a+s/3)/9}+{b-(c+b+s/3)/9}+{c-(a+c+s/3)/9}　　(-調和≧-相加)
　　　　=(2/3)s

861:１３２人目の素数さん
09/04/10 16:55:30
>>686 1)
a≧b≧c,x≧y≧z,X≧Y≧Zのとき
a/(y+Z)+b/(z+X)+c/(x+Y)≧a/(x+X)+b/(y+Y)+c/(z+Z)
が成り立てば示せるが…
成り立つ？

862:１３２人目の素数さん
09/04/11 16:35:09
>>686 2), >>859 の略証･･･

　X = {p+q+(p-q)x}/2,　Y = {p+q+(p-q)y}/2,　Z = {p+q+(p-q)z}/2,
とおくと
　X^2 + Y^2 + Z^2 = (X+Y+Z)^2 -2(XY+YZ+ZX)
　　= (X+Y+Z-p-q)^2 -(p+q)^2 +2(p+q)(X+Y+Z) -2(XY+YZ+ZX)
　　= (X+Y+Z-p-q)^2 -(p+q)^2 +3(p+q)^2 -(3/2)(p+q)^2 -(1/2)(p-q)^2･(xy+yz+zx)
　　= p^2 + q^2 + (X+Y+Z-p-q)^2 -(1/2)(p-q)^2･(xy+yz+zx+1),
ところで、題意から
　x = (a+b)(a-b),　y = (b+c)/(b-c),　z = (c+a)/(c-a),
∴　xy + yz + zx + 1 = 0,

863:１３２人目の素数さん
09/04/16 01:49:31
問題投下
３辺がa,b,cの三角形の面積と３辺が1/a,1/b,1/cの三角形の面積の積が3/16を超えないことを示せ

ヘロンでどぞー

864:１３２人目の素数さん
09/04/16 02:05:16
キタコレ！

865:１３２人目の素数さん
09/04/18 10:54:55
>>863
　⊿ = (1/2)ab･sin(C) = (1/2)bc･sin(A) = (1/2)ca･sin(B),
でも解けるお。
　⊿ = (1/2)(abc)^(2/3)･{sin(A)sin(B)sin(C)}^(1/3)
　　　≦ (1/2)(abc)^(2/3)･{sin(A)+sin(B)+sin(C)}/3　　(相加･相乗平均)
　　　≦ (1/2)(abc)^(2/3)･sin((A+B+C)/3)　　　　　　　(0～πで上に凸)
　　　=　(1/2)(abc)^(2/3)･sin(π/3)
　　　=　(√3)/4･(abc)^(2/3), 　　　　(等号成立はA=B=C(正三角形)のとき.)
　⊿ '≦ (√3)/4･(1/abc)^(2/3),
辺々掛ける。

866:１３２人目の素数さん
09/04/18 11:52:00
>>863
せっかくのヒントなのでヘロンで･････

本問では、 (a+b+c)/2 =s とおく。
　(s-a) + (s-b) + (s-c) = s,
　⊿ = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
　　≦ √{s(s/3)^3} 　　　　　　(相加･相乗平均)
　　= (1/√27)s^2
　　= (√3)/4･{(a+b+c)/3}^2
　　≦ (√3)/4･(abc)^(2/3),　　　(相加･相乗平均)
　⊿ '≦ (√3)/4･(1/abc)^(2/3),
辺々掛ける。

867:１３２人目の素数さん
09/04/18 11:54:39
>>866 はまちがい。
　無視してください。

868:１３２人目の素数さん
09/04/18 11:55:55
無視しません！

869:１３２人目の素数さん
09/04/18 13:48:39
黙殺する

870:866
09/04/18 23:39:33
>>863
せっかくのヒントなのでヘロンで･････

本問では、 (a+b+c)/2 =s とおく。また
　(s-a) + (s-b) + (s-c) = s,
　(s-a)(s-b) + (s-b)(s-c) + (s-c)(s-a) = t,
　(s-a)(s-b)(s-c) = u,
とおく。
　⊿ = √(su)
　　= {s･(√su)･u}^(1/3)
　　≦ {(1/√3)st･u}^(1/3)　　　　　　　(3su≦t^2)
　　≦ (√3)/4･(st-u)^(2/3)　　　　　　(*)
　　= (√3)/4･(abc)^(2/3),

※ st-u ≧ (8/9)st ≧ 8u　より
　st≦(9/8)(st-u),　u≦(1/8)(st-u),

871:１３２人目の素数さん
09/04/22 19:51:53
n：自然数とする。

(1) 2数 x、y の和、積を考え
　x+y=p、xy=q この p、q が共に整数ならば
　x^n + y^n は整数であることを証明せよ。

(2) x>0、y>0 のとき
　( (x+y)/2 )^n ≦ (x^n + y^n )/2 であることを証明せよ。　

872:１３２人目の素数さん
09/04/22 20:57:26
>>871
馬鹿か？

873:１３２人目の素数さん
09/04/22 22:15:48
>>861

〔命題〕
a,b,c >0, x,y,z >0 のとき
　f(x,y,z) = a/(b+cx) + b/(c+ay) + c/(a+bz) - 9/(x+y+z+3) ≧0,
が成り立てば示せるが…
成り立つ？

　f(0,0,0) = (a/b) + (b/c) + (c/a) -3 ≧0,
　x,y,z のいずれかが∞となるとき、(右辺) → 0 で成立。
f(,,)に極値があるとすれば
　∂f/∂x = -ca/(b+cx)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0,
　∂f/∂y = -ab/(c+ay)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0,
　∂f/∂z = -bc/(a+bz)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0,
b+cx >0, c+ay >0, a+bz >0, x+y+z+3 >0 から
　a/(b+cx) = 3{√(a/c)}／(x+y+z+3),
　b/(c+ay) = 3{√(b/a)}／(x+y+z+3),
　c/(a+bz) = 3{√(c/b)}／(x+y+z+3),
に限る。この点でf(,,)が極大なら　　　　　　　　　(←これが問題だが････)
　f(x,y,z) ≧ 3{√(a/c) + √(b/a) + √(c/b) -3}／(x+y+z+3) ≧0,

874:１３２人目の素数さん
09/04/22 23:47:37
>>872
馬鹿か？

875:１３２人目の素数さん
09/04/23 08:55:27
( ﾟ∀ﾟ)＜荒らしイクナイ！

876:１３２人目の素数さん
09/04/23 09:10:06
こんなスレがあったとは！！最近不等式に興味持ち出していろいろやってます。

ところSOS不等式って何ですか？

877:１３２人目の素数さん
09/04/23 10:24:04
>>876
sum of squares inequality: Σa_k^2 ≧ 0

「任意の非負有理式は有理式の自乗和で書ける」というArtinの結果があるので，
有理式≧0 は，左辺を記述する有理式の自乗和を構成する方法で必ず証明できる．
（もちろん，それを見つけるのが簡単とか難しいとかはあるけれど）

878:１３２人目の素数さん
09/04/23 13:53:03
マジ？
SOS不等式ってもは初めて聞いたし、877の解説が面白くて、ネタに見えて仕方がないんだけど…

879:１３２人目の素数さん
09/04/23 15:32:04
>>878
SOS不等式と呼ばれている不等式が何種類かあって紛らわしいから，
普通は前後の脈絡無しに「SOS不等式」って言うことはないんだけど，
最近最適化の専門家の間で >>877 の「SOS不等式」が盛んに研究されてて，
個人的にも今その辺がホットだから，勢いで書いちゃった．

数学的な内容としては >>877 の結果は正しくて，
特にここ10年くらいで，この方法を使った多項式の最小値を計算する
アルゴリズムが実用的になってきてる．

興味があるなら，古典的な話題はHilbertの第17問題で調べるとよくて，
最近は Pablo A. Parrilo って人が活発にやってる．

880:１３２人目の素数さん
09/04/24 00:09:49
>>879
勉強になりますた！

881:１３２人目の素数さん
09/05/07 21:53:59
〔問題857〕
xが自然数のとき
　3^(x-1) ≧ LCM(1,2,3,････,x) ≧ 2^(x-1),

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:857番)
東大入試作問者スレ１６

882:１３２人目の素数さん
09/05/08 03:29:09
質問です。
一応、有名不等式(Weighted AM-GM,Cauchy-schwartz,Holder,Rearrangement,
Jensen,Muirhead,Schur,etc...)などについての知識やその証明は理解したのですが
実際に問題に取り組む時に「どんな場合にどの有名不等式を用いるべきか」が見えてきません。
不等式が得意な方々の解法などを眺めていても妙に突拍子なアイディアにしか見えないんです。

数多くの問題に当たってるうちにこういう直観的なものは磨かれどれをいつ適用するかなど
見えてくるものなんでしょうか？

883:１３２人目の素数さん
09/05/08 03:44:16
>>882
そうです！
甘ったれないで下さい！

884:１３２人目の素数さん
09/05/09 19:20:05
>>882
職人芸修行　　文献を大量に勉強してどの方法はどこで使うか博覧強記
イメージ戦略　解きたい問題が解けると信じる直観的理由と同じ意味の不等式を利用
試行錯誤　　　各場面毎に片端から使って出てくる不等式をノートに蓄積
他にもあるが時間が無くなったので

885:１３２人目の素数さん
09/05/09 23:26:18
>>882
とりあえず、片っ端から不等式とその証明（別解も全て）をコレクションし、Texでまとめるんだ！

886:１３２人目の素数さん
09/05/09 23:31:21
>>881
休憩が終わったら、他スレの不等式をここに貼る作業に戻るんだ！

>>882
休憩が終わったら、刺身の上にタンポポを乗せる仕事に戻るんだ！

>>884
休憩が終わったら、不等式を証明する作業に戻るんだ！

>>885
休憩が終わったら、不等式まとめサイトを更新する作業に戻るんだ！

>>886
休憩が終わったら、不等式を収集する作業に戻るんだ！

887:１３２人目の素数さん
09/05/10 03:49:35
>>876
SOS を具体的に用いて解いた解法は >>699 にありますよ。

簡単に言ってしまえば SOS ineq は
それぞれ S[a], S[b], S[c] は a, b, c の関数とし,
S = f(a, b, c) = S[a](b-c)^2 + S[b](c-a)^2 + S[c](a-b)^2
とおいたとき, S≧0 を証明するために使われる手法です。

>>887, >>889 で言われているものも SOS ineq ですが, >>876 さんが知りたいのはこういう類の方の ineq ですよね？

888:１３２人目の素数さん
09/05/10 21:46:04
〔問題〕
　a,b,c,p,q >0, 1/2 ≦ p/q ≦ 2 のとき
　a/(pb+qc) + b/(pc+qa) + c/(pa+qb) ≧ (p+q)^2 (a+b+c)^3 /{9(pb+qc)(pc+qa)(pa+qb)}
　　　≧ (1/3)(a+b+c){1/(pb+qc) + 1/(pc+qa) + 1/(pa+qb)}
　　　≧ 3/(p+q),
　　　(Shapiro不等式の一拡張)

889:１３２人目の素数さん
09/05/10 21:59:17
>>888
見かけほど難しくない(?)

左側:
　a/(pb+qc) + b/(pc+qa) + c/(pa+qb) - (p+q)^2 (a+b+c)^3 /{9(pb+qc)(pc+qa)(pa+qb)}
　= {(2p-q)(2q-p)F_1 + (p+q)(2p-q)G + (p+q)(2q-p)H}/{9(pb+qc)(pc+qa)(pa+qb)} ≧ 0,
ここに
　F_1 = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = s^3 -4st +9u ≧ 0,
　G = F_1 + (st-9u+3⊿)/2 = a(a-b)^2 + b(b-c)^2 + c(c-a)^2 ≧ 0,
　H = F_1 + (st-9u-3⊿)/2 = a(a-c)^2 + b(b-a)^2 + c(c-b)^2 ≧ 0,
ここに
　s = a+b+c,　t = ab+bc+ca,　u = abc,　基本対称式
　⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),　差積

中央と右側:
　pb+qc = x,　pc+qa = y,　pa+qb = z,　とおく。
　a+b+c = (x+y+z)/(p+q),
よって相加･調和平均より
　(x+y+z)^3 /(9xyz) = (x+y+z){F_0 + 3(xy+yz+zx)}/(9xyz) ≧ (1/3)(x+y+z)(1/x + 1/y + 1/z) ≧ 3,
これを (p+q) で割る。ここに
　F_0 = (x-y)(x-z) + (y-z)(y-x) + (z-x)(z-y)
　　= (x^2 + y^2 + z^2) - (xy+yz+zx)
　　= (1/2){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2} ≧ 0,

890:１３２人目の素数さん
09/05/11 20:17:25
nを正の整数とする。
(n+2)角形A1A2……AnA(n+1)A(n+2)について、面積をS
正整数kに対して辺AkA(k+1)の長さをx(k)とする。
このとき
∑[k=1_n] {(k^2-k+1)*(x(k))^2} + n*x(n+1)^2 ≧4S
を示せ。

891:１３２人目の素数さん
09/05/11 20:28:43
〔問題895〕
正の実数a,b,cに対して不等式

　a／{(s/3)+2b} + b／{(s/3)+2c} + c／{(s/3)+2a} ≧ 1,

が成立することを示せ。ただし、s = a+b+c.

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:895番)
東大入試作問者スレ１６

　a/{(s/3) +2b} = a/{s +2(b -s/3)} ≧ a{s -2(b -s/3)}/(s^2) = a(5s-6b)/(3s^2),
巡回的にたす。
　(左辺) ≧ {5s^2 -6(ab+bc+ca)}/(3s^2) = (3s^2 +2F_0)/(3s^2) ≧ 1,
ここに
　F_0 = s^2 - 3(ab+bc+ca) = (a-b)(a-c) + (b-c)(b-a) + (c-a)(c-b) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0,

892:１３２人目の素数さん
09/05/11 22:56:21
>>886
つ problem.322
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)

893:１３２人目の素数さん
09/05/12 02:26:44
>>891

　ab+bc+ca ≦ (1/3)s^2,
　f(x) = 1/{(s/3)+2x} は単調減少かつ下に凸。
　(左辺) = a･f(b) + b･f(c) + c･f(a) ≧ s･f((ab+bc+ca)/s) ≧ s･f(s/3) = 1,

894:１３２人目の素数さん
09/05/12 02:34:51
パネェっす

895:１３２人目の素数さん
09/05/13 03:26:07
nを正の整数とする。
(n+2)角形 A1A2……AnA(n+1)A(n+2) について、面積をS,
正整数kに対して、辺AkA(k+1) の長さをx(k)とする。(1≦k≦n+1)
このとき
　(1/2)∑[1≦i<j≦n+1] x_i･x_j ≧ S,
を示せ。

896:１３２人目の素数さん
09/05/13 05:00:00
二年。

897:１３２人目の素数さん
09/05/13 23:27:15
>>895

180度より大きい内角が存在するような図形も考慮するの？

898:１３２人目の素数さん
09/05/16 15:02:41
>>892
Problem 322.
　a+b+c=3 のとき、
　a^2･(b+1)/(a+b+ab) + b^2･(c+1)/(b+c+bc) + c^2･(a+1)/(c+a+ca) ≧ 2,

(略証)
　a+b+c=s とする。
　D = (a+b+ab)/(b+1) + (b+c+bc)/(c+1) + (c+a+ca)/(a+1)
　　= (a+1) -1/(b+1) + (b+1) -1/(c+1) + (c+1) -1/(a+1)
　　= s + 3 -1/(a+1) -1/(b+1) -1/(c+1),
ところで、
　1/(x+1) = 1/{2 + (x-1)} ≧ (1/4){2 - (x-1)} = (3-x)/4,
より
　1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) ≧ (9-s)/4,
あるいは、y=1/(x+1) は下に凸だから、
　1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) ≧ 3/(s/3 +1) = 9/(s+3),
よって
　D ≦ s+3 - (9-s)/4 = (5s+3)/4 = 9/2,　あるいは
　D ≦ s+3 - 9/(s+3) = 9/2,
コーシー不等式より
　(左辺) ≧ s^2 /D ≧ s^2 /{(5s+3)/4} = 2, あるいは
　(左辺) ≧ s^2 /D ≧ s^2 /{(s+3) -9/(s+3)} = 2,

899:１３２人目の素数さん
09/05/16 15:58:00
>>892
Problem 322.
　a,b,c>0, a+b+c=3 のとき、
　a^2･(b+1)/(a+b+ab) + b^2･(c+1)/(b+c+bc) + c^2･(a+1)/(c+a+ca) ≧ 2,

(略証)
　xy ≦ (1/4)(x+y)^2, より
　(左辺) = (a-1) + (a+b)/(a+b+ab) + (b-1) + (b+c)/(b+c+bc) + (c-1) + (c+a)/(c+a+ca)
　　 = s-3 +(a+b)/(a+b+ab) + (b+c)/(b+c+bc) + (c+a)/(c+a+ca)
　　≧ s-3 + 1/{1 + (a+b)/4} + 1/{1 + (b+c)/4} + 1/{1 + (c+a)/4}
　　≧ s-3 + 9/(3 + s/2)　　　　　　　　　　　　(← 相加･調和平均)
　　= 2,

900:１３２人目の素数さん
09/05/16 16:43:25
>>895
凸でない場合は、凸でない部分を折り返すことで
辺の長さの構成を変えずにより面積を大きくできるので
凸の場合を考えればよい。
(n+2)角形を、点A1を端点の一つとする対角線で分割し
それぞれで三角不等式を用いて上からおさえれば示せる。

901:１３２人目の素数さん
09/05/16 18:33:49
>>900
　正解でつ!!

三角形Ａ1ＡjＡ(j+1) の面積は
　(1/2)Ａ1Ａj･x_j･sin(∠Ａ1ＡjＡ(j+1)) ≦ (1/2)Ａ1Ａj･x_j ≦ (1/2){x_1 + x_2 + ･････ + x_(j-1)}x_j
これを j=2 から j=n+1 までたす。
　x_(n+2) を含まないところがミソ。この辺が重なるように2つ並べると･･･

〔系〕
点対称または線対称な2n+2角形の面積を S, 周長を
　L = 2(x_1 + x_2 + ･････ + x_n + x_(n+1)),
とすると、
　{n/(8(n+1))}L^2 ≧ ∑[1≦i<j≦n+1] x_i･x_j ≧ S,

※　等周問題からは　{1/(4π)}L^2 ≧ S,　(等号成立は円のとき)

902:１３２人目の素数さん
09/05/26 03:04:31
a,b,cは正の実数でa+b+c=1を満たす。nを正の整数とするとき
Π(k=0_n) 1/{1+a^(2^k)}{1+b^(2^k)}{1+c^(2^k)} ＞ 8abc
を示せ。

903:１３２人目の素数さん
09/05/26 09:33:40
>>902
難解すぐる…

904:１３２人目の素数さん
09/05/26 21:46:19
>>902
左辺に
　1 + a^(2^k) = {1 - a^(2^(k+1))}/{1 - a^(2^k)}, 等
を代入して
　Π(k=0,n) 1/{1 + a^(2^k)} = (1-a)/{1 - a^(2^(n+1))} > 1-a, 等(0<a,b,c<1)
ここで a+b+c = s とおくと、
　(左辺) - (右辺) > (s-a)(s-b)(s-c) - 8abc
　　= s(ab+bc+ca) - 9abc
　　= a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 ≧ 0,

ハｧハｧ

905:１３２人目の素数さん
09/05/27 01:16:53
Σ(ﾟДﾟ )！

ふ、ふつくしい…

906:１３２人目の素数さん
09/05/27 02:20:23
どの角も鈍角でない三角形ABCの三辺の長さをa,b,cとする。このとき
(1/a^2+1/b^2+1/c^2)(a^2+b^2)≧5
を示せ。

907:１３２人目の素数さん
09/05/27 02:39:42
>>906
a,bを固定すると、c^2が最大のとき左辺は最小。
鈍角が無いからc^2=a^2+b^2が最大値である。

一般性を失うことなくa^2+b^2=1とすると、
左辺=1/a^2+1/b^2+1 なので、
a^2=b^2=1/2のときに最小値を取る。

908:１３２人目の素数さん
09/05/27 07:01:24
>>906
左辺に c^2 がないから、タイプミスかと思っていたぜ…

909:１３２人目の素数さん
09/05/28 01:42:00
>>2の本でお薦めはありますか？

910:１３２人目の素数さん
09/05/28 05:48:50
>>909
全てだ！

911:１３２人目の素数さん
09/05/28 15:20:08
実数x,y,zが、xyz=1,0＜x＜y≦1を満たすとき
z/(y-x)≧4
を示せ。

912:１３２人目の素数さん
09/05/28 15:29:02
xyz=1　なので　z=1/(xy).　これをz/(y-x)≧4 に代入して整理すると、
xy(y-x)≦1/4 を示せばよいことがわかる。
相加相乗平均の関係式より x(y-x)≦y^2/4 なので、
xy(y-x)≦y^3/4≦1/4.

913:１３２人目の素数さん
09/05/28 19:58:50
〔Stirlingの不等式〕
nが自然数のとき、
　√(2π)･n^(n +1/2)･e^(-n) < n! ≦ e･n^(n +1/2)･e^(-n),
を示してくださいです。
できれば代数的に･･･

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:50番)
東大入試作問者スレ１７

914:１３２人目の素数さん
09/05/28 22:08:23
>>913
代数的とは？

915:１３２人目の素数さん
09/05/28 22:50:08
>>914
　ビブンのことはしない、ってことぢゃね？

916:１３２人目の素数さん
09/05/28 23:07:10
解析使わないってことでしょ

917:１３２人目の素数さん
09/05/28 23:42:26
積分による不等式評価もだめかしら。
expをどうやって定義しようか。

918:１３２人目の素数さん
09/05/29 05:18:05
>>913
オイラーの無限解析に書いてあるよとか確認せずに言って見るテスト

919:１３２人目の素数さん
09/05/29 06:10:07
>>918
責任もって確認してくるように！

920:１３２人目の素数さん
09/05/30 23:38:14

ノート派ですか？ルーズリーフですか？

□□□示すべき不等式□□□

（証明）
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・

（証明2）
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・

こんな感じで書いてるんですが、皆さんはどうですか？

921:１３２人目の素数さん
09/05/30 23:56:10
>>920
TeXで書いて、別の証明があったら付け加えて…、の繰り返しだわな… ( ﾟ∀ﾟ)ﾃﾍｯ！

922:１３２人目の素数さん
09/05/31 00:48:23
0＜a，b，cかつa＋b＋c＝6のとき
（a＾a）（b＾b）（c＾c）≧（abc）＾2

923:１３２人目の素数さん
09/05/31 08:50:57
たいしょうせいよりうんたらかんたら
たいすうとってちぇびしぇふ

924:１３２人目の素数さん
09/05/31 10:07:41
>>923
なるほど，上手いね！

925:１３２人目の素数さん
09/05/31 23:08:05
>>906
は C≦90ﾟならおk.

蛇足だが、C>90ﾟも許すと、
　(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)(a^2 + b^2) > 9/2,

(略証)
コーシーより
　(1/a^2 + 1/b^2)(a^2 + b^2) = 4 + (a/b - b/a)^2 ≧ 4,
c<a+b より
　c^2 < (a+b)^2 = 2(a^2 + b^2) - (a-b)^2 ≦ 2(a^2 + b^2),
　(1/c^2)(a^2 + b^2) > 1/2,

926:１３２人目の素数さん
09/06/01 03:22:29
>>920
ルーズリーフに大きく不等式を書いてセクションみたくして
次ページから証明を書けばよい
そうすれば後から追加し放題じゃね？

927:１３２人目の素数さん
09/06/01 14:42:43
>>926
なるほどなー
TeXが使えなかったら、きっとそうしていたね！

928:926
09/06/02 10:42:43
ページの片側だけ使うようにすれば，さらに視認性が上がる(ひっくり返さなくて済む)
ただしページが倍になる．．．

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