不等式への招待 第３� ..

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712:１３２人目の素数さん 08/12/29 18:19:53 [A.435] の拡張　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　>>341 a,b,c が三角形の３辺をなすとき、　 　(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 9, 　等号成立は (a,b,c) = (k,k,k), (2k,k,k), (k,2k,k), (k,k,2k) のとき。 そこで >>672 に習って 　b+c-a = a',　c+a-b = b',　a+b-c = c', a+b+c = a'+b'+c' = s, とおく。上式に 　a = (b'+c')/2 = (s-a')/2, 　b = (c'+a')/2 = (s-b')/2, 　c = (a'+b')/2 = (s-c')/2, を代入すると･･･ [A.435'] (正準形) a',b',c' ≧0 のとき 　6 + 2{a'/(b'+c') + b'/(c'+a') + c'/(a'+b')} ≧ 6{(s-a')/(s+a') + (s-b')/(s+b') + (s-c')/(s+c')} ≧ 9. 　ここに s = a'+b'+c'. 　等号成立は (a',b',c') = (k,k,k), (0,2k,2k), (2k,0,2k), (2k,2k,0) のとき。 【系】 a,b,c ≧0 のとき 　(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9. http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/677

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