不等式への招待 第３� ..

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699:１３２人目の素数さん 08/12/24 12:09:03 >>677 (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) - 9 = Σ(a-b)^2/ab 6(Σa/(b+c)) - 9 = 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c)) より Σ(a-b)^2/ab ≧ 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c)) (a, b, c∈[1, 2]) を証明すればよい. ここで, S[a] = 1/bc - 3/((a+b)(a+c)) S[b] = 1/ca - 3/((b+c)(b+a)) S[c] = 1/ab - 3/((c+a)(c+b)) とおく. また, a≧b≧c とおいても一般性を失わない。 S[a] = (a^2 + ab + ac - 2bc)/(bc(a+b)(a+c)) ≧ 0 (∵ ab≧bc, ac≧bc) S[b] = (ab + b^2 + bc - 2ac)/(ca(b+c)(b+a)) ≧ 0 (∵ ab≧ac; a≦2, y, z≧1 より b+c≧a; よって b(b+c)≧ac) ここで, S[b]+S[a]≧0 は明らかなので, S[b]+S[c]≧0 を証明する. S[b]+S[c] = (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b^3+c^3))/(abc(a+b)(b+c)(c+a)) = (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b+c)(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a)) ≧ (a^2(bc) + a^2(b^2-4bc+c^2) + a^2(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a)) = (2a^2 (b-c)^2)/(abc(a+b)(b+c)(c+a)) ≧ 0 よって SOS より ΣS[a](b-c)^2 ≧ 0. 等号成立は a=b=c or b=c=1, a=2 (cyc).

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