不等式への招待 第３� ..

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664:１３２人目の素数さん 08/11/27 09:56:45 nCrｵﾀ向け �納k=0,n](k+2)*(k+1)*[2k+1]C[k]=？ 665:１３２人目の素数さん 08/11/27 23:22:39 >>661 [751] 微分法を使う。 　g(t) = log(sin(e^t))　とおくと 　g '(t) = (e^t)/tan(e^t) 　は単調減少(*)　 　g "(t) = −(e^t){1 - sin(e^t)cos(e^t)}/{sin(t)}^2 < 0, ∴ f は上に凸。 　log(与式) = f(log(x)) + f(-log(x)) ≦ 2f(0) = log{sin(1)^2} (*) {x/tan(x)} ' = 1/tan(x) - x/{sin(x)^2} = {sin(x)cos(x)-x}/{sin(x)^2} <0, 　　より、x/tan(x) は単調減少。 [763] 無限乗積表示（オイラー積表示）を使う。 sin(x) = x･Π[n=1,∞) {1−(x/nπ)^2}, 　{1−(x/nπ)^2}{1−1/(nπx)^2} = {1−1/(nπ)^2}^2 −(1/nπ)^2 (x−1/x)^2 ≦ {1−1/(nπ)^2}^2, 　等号成立は x=1 のとき, ∴ (与式) ≦ {sin(1)}^2. 666:１３２人目の素数さん 08/11/27 23:24:24 >>664 それ本当に求まるのか？ Mathematicaにやらせてみたら -((2 + n)*(3 + n)*Gamma[5 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[1, 5/2 + n, 3 + n, 4] + 2*Gamma[7 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[2, 7/2 + n, 4 + n, 4] + 8*(7 + 2*n)*Gamma[6 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[3, 9/2 + n, 5 + n, 4])/(2*Gamma[3 + n]) になったぞ。

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