不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

663:１３２人目の素数さん
08/11/26 22:31:04
　　　ｒ;;;;;ノヾ　　　　　　　　>>662
　　　ﾋ‐=r=;'　　　　∬　　　口を慎みたまえ！
　　　'ヽニ/　っ━~~　　　君は不等式王の前にいるのだぞ！
　＿と~,,　 ~,,,ﾉ_　　∀　　　
　　　　ﾐ,,,,/~).　│ ┷┳━　
　￣￣￣.じ'Ｊ￣￣|　┃
　￣￣￣￣￣￣￣　┻

664:１３２人目の素数さん
08/11/27 09:56:45
nCrｵﾀ向け
∑[k=0,n](k+2)*(k+1)*[2k+1]C[k]=？

665:１３２人目の素数さん
08/11/27 23:22:39
>>661

[751] 微分法を使う。
　g(t) = log(sin(e^t))　とおくと
　g '(t) = (e^t)/tan(e^t) 　は単調減少(*)　
　g "(t) = －(e^t){1 - sin(e^t)cos(e^t)}/{sin(t)}^2 < 0,
∴ f は上に凸。
　log(与式) = f(log(x)) + f(-log(x)) ≦ 2f(0) = log{sin(1)^2}

(*) {x/tan(x)} ' = 1/tan(x) - x/{sin(x)^2} = {sin(x)cos(x)-x}/{sin(x)^2} <0,
　　より、x/tan(x) は単調減少。

[763] 無限乗積表示（オイラー積表示）を使う。
sin(x) = x･Π[n=1,∞) {1－(x/nπ)^2},
　{1－(x/nπ)^2}{1－1/(nπx)^2} = {1－1/(nπ)^2}^2 －(1/nπ)^2 (x－1/x)^2 ≦ {1－1/(nπ)^2}^2,
　等号成立は x=1 のとき,
∴ (与式) ≦ {sin(1)}^2.

666:１３２人目の素数さん
08/11/27 23:24:24
>>664
それ本当に求まるのか？
Mathematicaにやらせてみたら
-((2 + n)*(3 + n)*Gamma[5 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[1, 5/2 + n, 3 + n, 4] +
2*Gamma[7 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[2, 7/2 + n, 4 + n, 4] +
8*(7 + 2*n)*Gamma[6 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[3, 9/2 + n, 5 + n, 4])/(2*Gamma[3 + n])
になったぞ。

667:665
08/11/27 23:57:46
>>665 訂正

　f(x) = log(sin(x)) なので、
　log(与式) = f(x) + f(1/x) = g(log(x)) + g(-log(x)) ≦ 2g(0) = 2f(1) = log{sin(1)^2},

668:１３２人目の素数さん
08/11/28 05:13:49
みなさんは不等式の必須手法みたいなのを何で学びましたか？

669:１３２人目の素数さん
08/11/28 23:42:33
>>668
おまえには教えてやらねーよ！

670:１３２人目の素数さん
08/11/29 00:20:54
不等式を制する者は解析を制する。

671:１３２人目の素数さん
08/11/29 12:07:58
△ABC の辺 a、b、c に対して、次式を示せ

　 3abc ≧ (b+c-a)a^2 + (c+a-b)b^2 + (a+b-c)c^2

　　　∧_∧　
　　_ ( ﾟ∀ﾟ)　　　　　　　　　　　　たぶん、出したことないと思う…
　|≡(つc□≡|
　`Ｔ￣∪∪￣Ｔ
ﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞ

672:１３２人目の素数さん
08/11/29 18:50:59
>>664
　(k+2)(k+1) = (2k+3)(2k+2)/3 - (k+1)k/3,

　(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+1,k] = (1/3)(2k+3)(2k+2)*Ｃ[2k+1,k] - (1/3)(2k+1)(2k)*Ｃ[2k-1,k-1]
　　　　　　　　　　　　= (1/3)(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+3,k+1] - (1/3)(k+1)k*Ｃ[2k+1,k],

　(与式) = (1/3)(2n+3)(2n+2)*Ｃ[2n+1,n] = (1/3)(n+2)(n+1)*Ｃ[2n+3,n+1].

>>671
三角不等式の束縛からのがれるため
b+c-a = a' >0,　c+a-b = b' >0,　a+b-c = c' >0,
とおく。条件は a', b', c' >0 だけになった。両辺に
　a = (b'+c')/2,　b = (c'+a')/2,　c = (a'+b')/2,
を代入すれば、
　(左辺) - (右辺) = (3/8)(st-u) - (1/4)(3u+st) = (1/8)(st-9u) ≧0,
いつものように　s = a'+b'+c' = a+b+c,　t = a'b' + b'c' + c'a', u = a'b'c' とおいた。
等号成立は a'=b'=c' すなわち a=b=c のとき。

ハｧハｧ

673:１３２人目の素数さん
08/11/29 19:19:09
>>671

移項したらSchur不等式････
　(左辺) - (右辺) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = F_1 ≧0,
三角条件なくても成立････

674:１３２人目の素数さん
08/11/29 20:11:59
さすが。

675:１３２人目の素数さん
08/11/29 21:13:11
問題を作ったときには
(左辺)-(右辺)=(a-b)^2･(a+b-c)/2+(b-c)^2･(b+c-a)/2+(c-a)^2･(c+a-b)/2
から導いたと思われ

676:671
08/11/29 22:30:45
毎度ながら、100歩前を行くレスに感心。
ありがとうございます。

677:１３２人目の素数さん
08/12/01 20:28:22
1 ≤ a,b,c ≤ 2 のとき
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 6(a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b))

たのもー(　^ิิ,_ゝ^ิ)

678:１３２人目の素数さん
08/12/01 22:14:56
homogeneousなのに何で1<=a,b,c<=2が必要？

679:１３２人目の素数さん
08/12/02 16:40:46
1≦a,b,c≦2がないと問題が成り立たないから

680:１３２人目の素数さん
08/12/02 20:31:05
別にk≦a,b,c≦2kでも良いけど
いずれにせよ或る一定範囲内に三つとも入ってないといけなくて
a=b=1、c=1000とかそういうのはダメってことでしょ。

それぞれa/kとかで置き換えて要らないkを消去したのが問題文と。

681:１３２人目の素数さん
08/12/03 03:15:18
>>677 , 679
　>>341 の [A.435] でつね。

>>394 いわく、
　とりあえず、>>373-374 が解ければ [A.435] が解けることが分かった。

>>576 は微分法（未定乗数法）でそれを解こうとしたようだが････

682:１３２人目の素数さん
08/12/03 11:48:57
もっとすきっとした解法はないもんかねぇ

683:１３２人目の素数さん
08/12/03 19:23:45
>>576 を高校ﾚﾍﾞﾙで解いたのが
>>583-585>>588-589

684:１３２人目の素数さん
08/12/03 23:40:27
>>588
　r-q 平面のグラフが見たい････

685:１３２人目の素数さん
08/12/07 00:24:18
>>679
>>680
誤解してた、すまない。

686:１３２人目の素数さん
08/12/07 04:23:34
1)a,b,cが正の実数のとき
a/(b+c^2)+b/(c+a^2)+c/(a+b^2)≧9/(a+b+c+3)
を示せ

2)a,b,cが相異なる実数のとき
{(4a-3b)/(a-b)}^2+{(4b-3c)/(b-c)}^2+{(4c-3a)/(c-a)}^2≧25
を示せ

3)a,b,cが正の実数のとき
{(b+c-a)^2}/{(b+c)^2+a^2}+{(c+a-b)^2}/{(c+a)^2+b^2}+{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}≧3/5
を示せ(日本数学五輪1997)

687:１３２人目の素数さん
08/12/08 01:45:32
つURLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)

688:１３２人目の素数さん
08/12/08 03:44:10
>>686
(2)(3)は、ともに凸不等式に帰着できた
(1)に苦戦中

689:１３２人目の素数さん
08/12/08 03:46:55
>>686
(3)は公式解答は汚い解法だったんだがエレガントに解けるのかな
俺はｼｭﾜたんで失敗した

690:１３２人目の素数さん
08/12/08 04:58:11
>>686
(3)
Σはcycとして
a+b+c=1とおくと

与式
⇔Σ[(1-2a)^2/{(1-a)^2+a^2}]≧3/5
⇔Σ[1/(2a^2-2a+1)-9/5]≦0
⇔Σ[25/(2a^2-2a+1)-45-18(3a-1)]≦0 (∵Σ(3a-1)=3(a+b+c)-3=0)
⇔-Σ[(3a-1)^2*(6a+1)/{a^2+(1-a)^2}]≦0

a,b,c> 0よりこれは正しい。

691:１３２人目の素数さん
08/12/11 13:39:30
実数上の任意の確率変数 X と、0以上の実数値が値域の関数f,gに関して
E[ f(X)g(X) ] ≦ E[ f(X) ] E[ g(X) ] が成り立つための関数f,gの条件として
∀x,y f(x)≦f(y) → g(x)≧g(y) が十分条件であると予想しているのですが
証明の仕方がわかりません。お願いします。

692:１３２人目の素数さん
08/12/11 14:36:06
>>691
解答PDFを作ってみた。
URLﾘﾝｸ(image02.wiki.livedoor.jp)

693:１３２人目の素数さん
08/12/11 16:39:46
まさかのpdf、ありがとうございます。
自分の頭で理解できるか不安ですが
じっくり読まさせていただきます。

694:１３２人目の素数さん
08/12/11 17:51:33
定理1のX(Y-E[Y])]≧X(x0)(Y-E[Y]) による
E[X(Y-E[Y])]≧E[X(x0)(Y-E[Y])]=0がコツですね。
どうもありがとうございました。

695:１３２人目の素数さん
08/12/18 00:22:39
数蝉２月号は「不等式の世界」
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)

不等式ヲタとしては、買わねばなるまいな…
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

696:１３２人目の素数さん
08/12/18 00:37:29
>>695
このスレの住民が満足できる内容ならいいね。
参考文献に付け加えられるくらいの内容を気盆濡！

697:１３２人目の素数さん
08/12/18 22:53:51
>>588

Q,R を >>589 のようにおくと

(判別式) = 27R^2 - 4(-Q)^3
　= (q-1+2r){4q^2 +(32-4q)r -(11+q)r^2 +2r^3}　　　>>585
　= (q-1+2r){[2q - r(r+4)/4]^2 - (1/16)r(r-8)^3},
∴ r<8 には求める領域はない。

　rを固定したときの q の下限および上限は
　q_min = [r(r+4) - (√r)(r-8)^1.5]/8,
　q_max = min{[r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8, 2r-3}
　　　　= [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8　　　　　(8≦r≦9)
　　　　= 2r-3　　　　(r≧9)
　rが大きいほど細く鋭くなる。　　　　（素手で触るな）

　r>9 のとき q < 2r-3 = (1/6)r(r+1) -(1/6)(r-2)(r-9) < (1/6)r(r+1)
　8<r<9 についても同様。

698:１３２人目の素数さん
08/12/19 22:34:05
>>588, 684, 697
　8<r<9 のときは、
　r-8 < r/9,
　q < [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8 < [r(r+4) + (1/3)r(r-8)]/8 = (1/6)r(r+1),

-------------------------------------

　(2r-3) - q_min = 8(r-9)/{r^2 -12r +24 +(√r)(r-8)^1.5} → 0　(r→∞)

699:１３２人目の素数さん
08/12/24 12:09:03
>>677
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) - 9 = Σ(a-b)^2/ab
6(Σa/(b+c)) - 9 = 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
より
Σ(a-b)^2/ab ≧ 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
(a, b, c∈[1, 2])
を証明すればよい.
ここで,
S[a] = 1/bc - 3/((a+b)(a+c))
S[b] = 1/ca - 3/((b+c)(b+a))
S[c] = 1/ab - 3/((c+a)(c+b))
とおく.
また, a≧b≧c とおいても一般性を失わない。
S[a] = (a^2 + ab + ac - 2bc)/(bc(a+b)(a+c)) ≧ 0
(∵ ab≧bc, ac≧bc)
S[b] = (ab + b^2 + bc - 2ac)/(ca(b+c)(b+a)) ≧ 0
(∵ ab≧ac; a≦2, y, z≧1 より b+c≧a; よって b(b+c)≧ac)
ここで, S[b]+S[a]≧0 は明らかなので, S[b]+S[c]≧0 を証明する.
S[b]+S[c]
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b^3+c^3))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b+c)(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ (a^2(bc) + a^2(b^2-4bc+c^2) + a^2(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (2a^2 (b-c)^2)/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ 0
よって SOS より ΣS[a](b-c)^2 ≧ 0.
等号成立は a=b=c or b=c=1, a=2 (cyc).

700:１３２人目の素数さん
08/12/24 14:12:31
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

701:１３２人目の素数さん
08/12/24 14:30:59
ネ申

702:１３２人目の素数さん
08/12/24 15:50:36
自演乙

703:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:25:07
このスレで自演とか言ってるやつは新参者
自演は初代スレから恒例だ！
もうねアホガドバナナかと… ( ﾟ∀ﾟ)

704:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:40:29
飯島愛死亡だとよ

705:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:49:15
>>704
死因は何？

706:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:52:47
1:春デブリφ ★[sage]
2008/12/24(水) 16:29:31 ID:???0
　元タレント・飯島愛さんが都内のマンションで死亡。

■ソース(日テレニュース24）
URLﾘﾝｸ(www.news24.jp)
※有志によるキャプチャ画像
URLﾘﾝｸ(tvde.web.infoseek.co.jp)
■前スレ(1の立った日時　12/24(水) 16:14:24）
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)

【訃報】飯島愛さん、東京都内のマンションで死亡★２
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)

707:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:59:52
　　／　 ≧ ＼
　／　　 _ノ　　＼
　|　　　（ ●）（●）　＜おっと、スレ違いな発言はそこまでだ！
.　|　　　　（__人__）＿＿＿_
　 |　　　　　｀ ⌒／ ─'　'ー＼
.　 |　　　　　／（ ○）　（○）＼
.　ヽ　　　／　　⌒（n_人__）⌒ ＼
　　ヽ　　　|、　　　　（　　ヨ　　　　|
　　　/　　　`ー─－　　厂　　　／
　　　|　　､＿　　__,,／　　　　＼

708:１３２人目の素数さん
08/12/25 01:24:11
x,y,n∈N,(1/x)+(1/y)<1/n

max{(1/x)+(1/y)}=(n^2+2n+2)/{(n+1)(n^2+n+1)}

709:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:06:44
>>708
なん…だと！

710:１３２人目の素数さん
08/12/28 08:06:19
>>708
どうやったんだよ

711:１３２人目の素数さん
08/12/28 13:22:09
>>678,685
誤解してた、すまない。
三角不等式で十分だった。

>>699 の証明によれば････
bはaとcの間にあるとしても、一般性を失なわない。
　c-a = (c-b) + (b-a) より
(左辺) - (右辺) = S[a](b-c)^2 + S[b](c-a)^2 + S[c](a-b)^2
　　　　　　　　= (S[a]+S[b])(b-c)^2 + 2S[b](c-b)(b-a) + (S[b]+S[c])(a-b)^2,
また　(c-b)(b-a)≧0,
したがって、S[a]+S[b] ≧0, S[b] ≧0, S[b]+S[c] ≧0 を示せばよい。
　S[a] + S[b] = {2(c^2)(a-b)^2 + (a+b-c)[(b+c)a^2 + (c+a)b^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
　S[b] = {b(a+b+c) -2ac} / {ca(a+b)(b+c)}
　　= {2b^2 -Mm + (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)}　　(← {M,m}={a,c}, m≦b≦M とした.)
　　= {b(b+m-M) + (b-m)(b+M)^+ (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)},
　S[b] + S[c] = {2(a^2)(b-c)^2 + (b+c-a)[(c+a)b^2 + (a+b)c^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
これらが負にならないためには、a+b-c≧0, b+c-a≧0 （三角不等式）があれば十分。

712:１３２人目の素数さん
08/12/29 18:19:53

[A.435] の拡張　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　>>341
a,b,c が三角形の３辺をなすとき、　
　(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 9,
　等号成立は (a,b,c) = (k,k,k), (2k,k,k), (k,2k,k), (k,k,2k) のとき。

そこで >>672 に習って
　b+c-a = a',　c+a-b = b',　a+b-c = c', a+b+c = a'+b'+c' = s,
とおく。上式に
　a = (b'+c')/2 = (s-a')/2,
　b = (c'+a')/2 = (s-b')/2,
　c = (a'+b')/2 = (s-c')/2,
を代入すると･･･

[A.435'] (正準形)
a',b',c' ≧0 のとき
　6 + 2{a'/(b'+c') + b'/(c'+a') + c'/(a'+b')} ≧ 6{(s-a')/(s+a') + (s-b')/(s+b') + (s-c')/(s+c')} ≧ 9.
　ここに s = a'+b'+c'.
　等号成立は (a',b',c') = (k,k,k), (0,2k,2k), (2k,0,2k), (2k,2k,0) のとき。

【系】
a,b,c ≧0 のとき
　(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:677番)

713:712
08/12/29 18:24:36
訂正、すまそ。

【系】
a,b,c が三角形の3辺をなすとき
　(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.

714:Shapiro
09/01/03 19:56:03
>>712
　Sh_3(x,y,z) = x/(y+z) + y/(z+x) + z/(x+y) - 3/2,
とおく。

[A.435']
a',b',c' ≧ 0 のとき
　Sh_3(a',b',c')／Sh_3(b'+c', c'+a', a'+b') ≧ 3,

715:１３２人目の素数さん
09/01/16 19:05:31
数セミ2月号出たね

716:１３２人目の素数さん
09/01/16 23:11:26
>>715
うちの田舎は入荷数が少ないので予約注文したんだけど、
まだ連絡が来ないぜ… ('A`)

717:１３２人目の素数さん
09/01/17 23:53:44
>>598 (593,596)

〔問題〕
abc = d^3,　√3 -1 ≦ d ≦ (1+√3)/2 なる正の実数の組(a,b,c)に対して、次を示せ。
　1/{a(b+1)} + 1/{b(c+1)} + 1/{c(a+1)} ≧ 3/{d(d+1)},

(略証)
　abc = … と来たら a=d･z/y, b=d･x/z, c=d･y/x とおく。（これ定石）
ただし x,y,z >0

　(左辺) - (右辺) = (1/d){y/(dx+z) + z/(dy+x) + x/(dz+y) - 3/(d+1)}
　　= {d(d+1)･S -(3d^2 -d-1)･T1 -d(-d^2 -d+3)･T2 -(d+1)(d-1)^2･(3xyz)} / {d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y)},
ここに、S = x^3 + y^3 + z^3,　T1 = yz^2 + zx^2 + xy^2,　T2 = zy^2 + xz^2 + yx^2 とおいた。

・√3 -1 ≦ d < 1.30 のとき
　{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {d(d^2 +2d-2)(S-T1) + d(-d^2 -d+3)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T1-3xyz)} ≧ 0,

・0.77 < d ≦ (1+√3)/2 のとき
　{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {(3d^2 -d-1)(S-T1) + (-2d^2 +2d+1)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T2-3xyz)} ≧ 0,

718:717
09/01/17 23:56:03
>>598

〔補題〕↑ のようにおくとき
　S ≧ T1 ≧ 3xyz,　S ≧ T2 ≧ 3xyz,

(左側)　チェビシェフ不等式から、あるいは
　(y^3 + 2z^3)/3 - yz^2 = (1/3)(y+2z)(y-z)^2 ≧ 0,　　(相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T1 ≧ 0,
　(2y^3 + z^3)/3 - zy^2 = (1/3)(2y+z)(y-z)^2 ≧ 0,　　(相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T2 ≧ 0,

(右側)も　相加・相乗平均。

719:１３２人目の素数さん
09/01/20 00:55:25
>>2に追加

数学セミナー vol.48 no.2_569，日本評論社，2009年2月号

720:１３２人目の素数さん
09/01/28 07:31:59
URLﾘﾝｸ(web.mit.edu)

721:１３２人目の素数さん
09/01/28 13:41:41
>>720 　　　　ﾊｧﾊｧ　　　∩　　　　　　　　　　　不等式と聞ゐちゃぁ
　　　　　　　　　　　　　　 ( ⌒)＿　　 ∩_ _　　　　　黙っちゃゐられねゑ…
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! .＿＿＿　／/,. ノ≧　＼ .i　.,,E）__　　　
　　　　　／ nCr　＼| /　/＼ .／　|/　/ cos ＼　ﾊｧﾊｧ　　　　／/
　　_n 　.|::::＼ .／　　|/　/(●　(● |　ノ＼ .／　|　　　　　　／　/＿＿＿
　（　l　　|::●)　●)　.|　/:::... .ワ ....ノ／(●　(● |　　　　　./ 　／　 Σ　＼
　＼＼ヽ:::::.∀ 　 .ノ　　　　　　／ヽ:::::... .▽....ノ　　n　　 / ∩.|:::: ＼ .／　|
　　　ヽ__￣　　　ノヽ　　　　　 |　￣　　　＼　　（ E） /　.| | |　(●　(●）|＿
　　　　　/ 　　/　　＼　　　　ヽﾌ　　　 / ヽヽ_／／./／ | | ヽ:::::. へ　ノ／

722:１３２人目の素数さん
09/01/30 20:57:27
非等式と不等式の違いはなんですか。

723:１３２人目の素数さん
09/01/30 21:43:48
a,b,c＞0, a+b+c=1 のとき
(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a)≧(41/5)(a/b+b/c+c/a-3)+1000/27

724:１３２人目の素数さん
09/02/05 00:42:33
他スレで見かけたお。

次の等式を証明せよ。
nHr=Σ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }
※右辺のΣの数はr-1個

↓例
8H3=Σ[m=1,8](Σ[l=1,m]l)
5H4=Σ[m=1,5]{Σ[l=1,m](Σ[k=1,l]k)}

面白い問題おしえて～な十五問目
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:99番)

725:１３２人目の素数さん
09/02/07 20:47:34
このスレを見てる人は、もれなくそっちも見てると思

726:１３２人目の素数さん
09/02/07 23:07:15
>>725
分かってないな～チミ
そんなこと百も承知の助さ～
ここに保存しておけば、後で探すときにどのスレだったか困らないだろ～う

727:１３２人目の素数さん
09/02/08 03:05:54
次の不等式は一見シンプルにみえますが、
左辺は対称式でないせいか、(私には)証明がうまくいかないです。

任意の非負実数a,b,cに対して、次が成立する。
{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧ 27(ab+bc+ca)^3

もしよろしければ、どなたかご教授おねがい致します。

728:１３２人目の素数さん
09/02/08 04:40:48
s、t、uでズコバコするといいよ

729:１３２人目の素数さん
09/02/08 09:00:45
>>727
相加相乗から
(a+a+b)/3 ≧ (a*a*b)^(1/3)
2a+b ≧ 3(a^2b)^(1/3)
以下略

730:１３２人目の素数さん
09/02/08 09:01:38
問題見まちがった

731:１３２人目の素数さん
09/02/08 19:32:27
>>727 力づくで解いた

a+b+c=0 のとき題意は明らかなので a+b+c ＞ 0 としてよい
左辺-右辺は同次式なので a+b+c=3 とする
a-1, b-1, c-1 のうち符号が同じ(または片方が 0)のものを
a-1, b-1 としても一般性を失わない
つまり (a-1)(b-1)≧0 とする

a = 1+x, b = 1+y, c = 1-x-y とする
a,b,c≧0 より、 x,y≧-1, x+y≦1　…(1)
(a-1)(b-1)≧0 より、 xy≧0　…(2)
(1)(2) より、 -1≦x,y≦ 1　…(3)

s = x-y, u = x^2+xy+y^2 として
((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
= 9(3-u){3u(3-u) - 2s(3u-s^2)} + s^2(3u-s^2)^2
(3) より 3-u≧0 なので { } の中が非負になることを言えばよい
3u-s^2 = 2x^2+5xy+2y^2 は (2) より非負
s＜0 のとき { } の中は明らかに非負なので、以降
s ≧ 0　…(4)
とする。また (2)(3) より s ≦ 1 …(5)

t = xy として
{ } の中 = -27t^2 + 9t(3-2s-2s^2) + s^2(9-4s-3s^2)　…(6)
(6) で s を一定と見て t を動かす。t の動く範囲は (2)(3)(4) より
0 ≦ t ≦ 1-s
t^2 の係数が負なので、端点の t = 0, 1-s について (6) が
非負になることを確認すればよい
t = 0 のとき (6) が正なのは (4)(5) より明らか
t = 1-s のとき
(6) = 9(1-s)^2 + s^2(5-3s)
これが正なのは (5) より明らか■

732:731
09/02/08 22:58:40
いろいろ間違ってた
× ((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
○ ((a+2b)(b+2c)(c+2a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3

あと、下から1行目と4行目の「正」は「非負」に直しといて

因みに、等号成立の必要条件は
a=b=c ∨ 3-u=0 ∨ s=t=0
なのは議論をたどれば分かる
結局、等号成立条件は
a=b=c か a,b,c のうちふたつ以上が 0 であること

733:１３２人目の素数さん
09/02/08 23:03:07
V

734:１３２人目の素数さん
09/02/09 16:59:31
>>727
x=a+2b, y=b+2c, z=c+2a とおくと、
右辺 = [ (-2/9)(x+y+z)^2 + xy+yz+zx ]^3.

X=[(x^2)/(yz)]^(1/3), Y=[(y^2)/(zx)]^(1/3), Z=[(z^2)/(xy)]^(1/3)
とし、X, Y, Z に関する相加相乗調和平均をそれぞれ A, G(=1), H とすると、
右辺/左辺 = (-2A^2 + 3/H)^3.

735:734
09/02/09 20:55:19
とはしてみたものの、もうだめかもわからんね

736:１３２人目の素数さん
09/02/09 21:01:40
5行で証明できたのかと思って一瞬驚愕した

737:１３２人目の素数さん
09/02/11 22:32:08
>>734-735
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u=abc とおくと　　　　　>>728
　(a+2b)(b+2c)(c+2a) = 3st + (a-b)(b-c)(c-a) = 3st + ⊿,
だから↓を示せればいいのだが。。。

〔補題〕
a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (3t/2s)(s^2 -3t),
ここに、⊿ = (a-b)(b-c)(c-a).

738:１３２人目の素数さん
09/02/12 00:57:10
107 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/11(水) 21:17:45
自然数nについての不等式
(n^n)/(e^(n-1))≦n!≦(n^(n+1))/(e^(n-1))
を証明せよ。
ただしeはネイピアの数

108 名前：１３２人目の素数さん[sage ] 投稿日：2009/02/11(水) 23:35:25
>>107
n=1 のときは等号成立。
n>1 のときは log(1+x) < x を使う。
　k･log(k) - (k-1)log(k-1) -1 = k･log(k) - (k-1){log(k) - log(k/(k-1))} -1
　= log(k) + (k-1)log(1 + 1/(k-1)) -1 < log(k) +1 -1 = log(k),
　(k+1)log(k) - k･log(k-1) -1 = (k+1)log(k) - k{log(k) + log((k-1)/k)} -1
　= log(k) - k･log(1 - 1/k) -1 > log(k) +1 -1 = log(k),
k=2,3,･･･,n についてたす。
　n･log(n) - (n-1) < log(n!) < (n+1)log(n) - (n-1),

739:１３２人目の素数さん
09/02/14 00:12:52
>>737
〔補題〕 a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),

(略証)
min(a,b,c) = m とおき、{a,b,c} = {m, m+x, m+x+y} とする。(x,y≧0)
然らば、　|⊿| = xy(x+y),　s = 3m+2x+y,　t = 3m^2 + 2m(2x+y) + x(x+y),　s^2 -3t = x^2 +xy +y^2,
∴　t(s^2 -3t) - ((√3)/2)s|⊿| = 3m^2･(x^2 +xy +y^2) + m･{4x^3 + 3(1-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} + x(x+y){x - ((√3 -1)/2)y}^2 ≧0,
等号成立は m=0 かつ x/y = (√3 -1)/2 のとき。

>>727
　(左辺) - (右辺) = (3st+⊿)^2 - 27t^3 = 9(t^2)(s^2 -3t) +6st⊿ + ⊿^2
　≧ (9-4√3)(t^2)(s^2 -3t) ≧ 0,

740:１３２人目の素数さん
09/02/21 03:25:55
〔問題〕
n は自然数, N = 3n(2n^2 +1) のとき
　{N + (n^2)/N}^2 < (2n＾2 +1)(3n^2 +1)(6n^2 +1) < {N + 1/(6n)}^2,

(略証)
・左側
　(左辺) = N^2 + 2n^2 + {(n^2)/N}^2 < N^2 +2n^2 +1 = N{N + 1/(3n)} = (中辺),
・右側
　(中辺) = N{N +1/(3n)} < ｛N +1/(6n)}^2,

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:555番)
京大入試作問者スレ①

741:１３２人目の素数さん
09/02/21 03:52:11
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

742:１３２人目の素数さん
09/02/21 18:13:33
不等式に興味が出たんだけど
とりあえずモノグラフ注文してみたよ
まとめwikiの「よく使う不等式」すらわかんないレベルだけどねorz
群とかわかんないし・・・

743:１３２人目の素数さん
09/02/26 13:49:15
>>742
分からないことを自分で調べていけば一生楽しめるぜ

744:１３２人目の素数さん
09/02/26 23:01:51
前スレ49が気になったので注文した…
楽しみだぜ！

(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

745:１３２人目の素数さん
09/03/02 17:46:17
ミラーみれなくね？

746:１３２人目の素数さん
09/03/03 23:52:29
【不等式 | 高校数学】
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)

747:１３２人目の素数さん
09/03/04 00:07:59
>>745
Yahoo ブリーフケースの有料化に伴い，
URLﾘﾝｸ(cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com)
に避難しました。

748:１３２人目の素数さん
09/03/04 00:23:39
>>746
グッジョブ！

749:１３２人目の素数さん
09/03/04 00:32:35
a≧b≧0，c≧d≧0のとき

√（a^2+ab+b^2）+√（c^2+cd+d^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）

750:１３２人目の素数さん
09/03/04 00:47:23
>>749は今月号の大数の宿題。
ネタバレになるから回答しないように。

751:１３２人目の素数さん
09/03/04 01:18:18
>>749
簡単すぎ

752:１３２人目の素数さん
09/03/04 01:38:52
>>749
過去に解いたことがある
入試問題かな？

753:１３２人目の素数さん
09/03/04 03:06:05
>>749
泥沼にはまった予感

754:１３２人目の素数さん
09/03/05 01:59:49
√(x^2)＋√(1－x^2)
の最大値の求め方って何通りありますかね？

755:１３２人目の素数さん
09/03/05 02:21:41
0

756:１３２人目の素数さん
09/03/05 17:02:58
鳥取市の誘致企業リコーマイクロエレクトロニクスにアルバイトに行っていた。
勤務態度不良でリコーのアルバイトをクビ同然で辞めた。

その後、鳥取市のテスコという工場に勤め真面目に働いていた。
「真面目に働いているのはリコーに対する報復（あてつけ？）」という噂でテスコをクビになった。
直後、テスコの社長から雇用保険の書類をとりに来るよう泣きそうな声で電話があった。
噂は嘘だと知ったのだろう。

雇用保険の手続きのため職安に行った。
職安の次長と相談すると、口止めをされた。
職安と会社は連絡を取り合っていたらしい。

しかし噂は狭い鳥取市である程度広がっているようだ。

リコーマイクロエレクトロニクスに電話を掛けた。
「君はうちのような一流企業が組織ぐるみでやったとでも思っているのかね？」
「そんなことはありませんけど」
「じゃあ会社には関係ないじゃないか」

しかし公的機関（職安）も巻き込んだ組織ぐるみの人権侵害の揉み消しである。

757:１３２人目の素数さん
09/03/05 21:51:51
(1) 実数xが-1<x<1,x≠0を満たすとき,次の不等式を示せ.

(1-x)^{1-(1/x)}<(1+x)^(1/x)

(2) 次の不等式を示せ.

0.9999^101<0.99<0.9999^100

758:１３２人目の素数さん
09/03/05 22:02:25
>>757
なんで命令形なの？むかつくんだけど

759:１３２人目の素数さん
09/03/05 22:38:50
>>757-758
今年の東大入試の第５問のコピペだから。

760:１３２人目の素数さん
09/03/05 23:20:42
>>758
消えろ！カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ

761:１３２人目の素数さん
09/03/06 12:53:46
>>757
これに30分もかけなければ今頃俺は

762:１３２人目の素数さん
09/03/07 00:22:41
>>757

(1)　f(x)=log(1-x) は上に凸だから、平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
　x<0 のとき g(x^2) > g(x),
　x>0 のとき g(x^2) < g(x),
よって
　x･g(x^2) < x･g(x),
　f(x^2)/x < f(x),
　(1/x)log(1-x^2) < log(1-x),

763:１３２人目の素数さん
09/03/07 00:43:26
>>757

(1)　f(x)=log(1-x) は上に凸で f(0)=0.
　平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
　x<0 のとき g(x) > g(x^2),
　x>0 のとき g(x) < g(x^2),
よって
　x･g(x) < x･g(x^2),
　f(x) < f(x^2)/x,
　log(1-x) < (1/x)log(1-x^2),
　1-x < (1-x^2)^(1/x),

(2)　(1-x^2)^{1+(1/x)} < 1-x < (1-x^2)^(1/x),
を示す....

764:１３２人目の素数さん
09/03/07 02:06:15
みんな解いた問題って保存してるの？

765:１３２人目の素数さん
09/03/07 02:11:03
>>757を改めて試験中の様にエレガントに解いてみせようとしたら間違いに気づいた。
落ちてそうだから死にたい。

766:１３２人目の素数さん
09/03/07 08:45:08
>>764
最近は時間がなくてのぉ…
このスレを保存するだけで精一杯さ ('A`)

767:１３２人目の素数さん
09/03/07 22:26:28
>>763 (2) の左側

(1) で x→-x として, 1+x = (1-x^2)/(1-x) を使えば出る。

768:１３２人目の素数さん
09/03/08 01:00:22
>>754
　f(x) = |x| + √(1-x^2),
とおく。

(1)　f(x)^2 = 1 + √{4x^2･(1-x^2)} = 1 + √{1 - (1-2x^2)^2} ≦ 2,
等号成立は x = ±1/√2 のとき。

(2)　x=cosθ (0≦θ≦π/2) とおく。
　f(x) = cosθ + sinθ = (√2)sin(θ + π/4) ≦ √2,
等号成立は θ=π/4 のとき。

769:１３２人目の素数さん
09/03/08 16:10:21
コーシー・シュワルツから
(1*|x|+1*√(1-x)^2)^2≦(1+1)(x^2+(1-x^2))=2

770:１３２人目の素数さん
09/03/08 19:05:38
>>757
もし(2)の不等式だけ出たらやっぱ(1)の不等式を示すことに帰着されるんかな

771:１３２人目の素数さん
09/03/08 19:57:44
不等式は嫌いなんだ

772:１３２人目の素数さん
09/03/08 23:43:39
>>771
ありえん！？
一度医者に見てもらったほうがいい…

773:１３２人目の素数さん
09/03/09 00:02:16
この本に出てくる形の不等式って本当にそのまま論文で出版されてんのか？
他の議論をしているときに「たまたま現れました」っていう不等式や、
もっと洗練されたものの特殊ヴァージョンじゃないのか？

774:１３２人目の素数さん
09/03/09 00:15:14
>>773だがさ、蛇足するが、
例えば、(「不等式への招待」)第５章「不等式の作成と証明法」
の例題１の不等式が本当にそのまま論文で出版されているのか、
ということを聞いた訳さ。
ちょっと読みにくかったり曖昧に書かれている箇所がところどころあるんだがな。

775:１３２人目の素数さん
09/03/09 22:50:15
>>757 >>763
(2)
　|x| << 1 のとき、マクローリン展開から
　(1 + 1/x)log(1-x^2) = -x -　　 x^2 -O(x^3),
　　　　　　 log(1-x) = -x -(1/2)x^2 -O(x^3),
　　　(1/x)log(1-x^2) = -x 　　　　　-O(x^3),
･･･ぢゃあダメだろうな。

776:１３２人目の素数さん
09/03/11 00:00:41
xとyはともに正の実数でx+4y=3のとき、1/x+1/yの最小値は。

1文字消して微分したらできたけど全く愉快じゃないので、
かっこいい解法をお願いします。

777:１３２人目の素数さん
09/03/11 00:10:00
(1^(1/2)+4^(1/2))^2<=(x+4y)(1/x+1/y).

778:776
09/03/11 00:33:11
はやっ。
(√(ax),√(bx)) と (1/√x,1/√y) にCauchy-schwarzってことですね。
かっこいいす。ありがとう。

779:１３２人目の素数さん
09/03/11 21:00:44
モノグラフって調和平均とか重みつきとかないよね
受験ではいらないってことか
他の不等式を学びたい場合はどんな本がいい？

780:１３２人目の素数さん
09/03/11 23:00:18
>>779

>>2を読め！

781:１３２人目の素数さん
09/03/11 23:28:00
>746のprime_132ってこのスレの住人？

782:１３２人目の素数さん
09/03/11 23:34:10
あぁ、だがそれ以上は詮索しないでもらいたい

783:１３２人目の素数さん
09/03/13 16:40:42
そろそろ>>749の大数の宿題は〆切？

784:１３２人目の素数さん
09/03/13 20:10:07
URLﾘﾝｸ(books.google.com)

これいいよ

785:１３２人目の素数さん
09/03/13 20:46:55
F(a,b)=√（a^2+ab+b^2）
Fa=(2a+b).5/()^.5=0 a=-.5b
Fb=0 b=-.5a
F(a,b)=(a^2-.5a^2+.25a^2)^.5=(.75)^.5a
a=rcost,b=rsint a>b>0->cost>sint>0
F=r(1+costsint)^.5

786:１３２人目の素数さん
09/03/13 23:45:21
>>783
3/15締め切りです。

787:１３２人目の素数さん
09/03/14 23:52:56
ある直方体の12辺の長さの和を4L、表面積をS、体積をVとする
（1）L、Sが一定のときVのとりうる値を答えよ
（2）L、Vが一定のときSのとりうる値を答えよ
（3）S、Vが一定のときLのとりうる値を答えよ

788:１３２人目の素数さん
09/03/15 00:22:26
>746 から一題･･･

〔問題〕
　0 < x のとき e^x > 3sin(x) を示せ。

URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)

789:１３２人目の素数さん
09/03/15 03:04:09
>>788
グラ…接…

790:１３２人目の素数さん
09/03/15 20:34:14
>>749
後四時間で解禁

791:１３２人目の素数さん
09/03/15 20:56:47
>>749 は問題としては簡単だが，何がしか背景があるのだろう

792:１３２人目の素数さん
09/03/15 20:57:41
120°

793:１３２人目の素数さん
09/03/15 23:03:12
>746 からもう一題･･･（外出だったらスマソ）

〔出題87〕
正数列 a[n] >0 の初項から第n項までの総和を S[n] とおく:
　S[n] = Σ[k=1,n] a[k].
このとき，
　{a[1]/S[n+1]}^(1/n) + ∑[m=1,n+1] {a[m]/(n･S[m])} ≦ 1 + (1/n),

URLﾘﾝｸ(www.casphy.com) 121

794:１３２人目の素数さん
09/03/16 00:04:47
〆切あげ

795:１３２人目の素数さん
09/03/16 00:22:04
>746 から･･･

〔出題95〕
x, yを正の実数とし, x,yの調和平均, 相乗平均, 相加平均, 2乗平均をそれぞれH, G, A, Q とおく.
すなわち,
　H = 2xy/(x+y),　G = √(xy),　A = (x+y)/2,　Q = √{(x^2+y^2)/2}
とおく.
(1)　H ≦ G ≦ A ≦ Q を示せ.
(2)　G-H ≦ Q-A ≦ A-G を示せ。

--------------------------------------------
H,G,A は等比数列だから
　(A+H)/2 ≧ √(AH) = G,
　G-H ≦ A-G,
また G^2, A^2, Q^2 は等差数列で、公差は
　⊿ = Q^2 - A^2 = A^2 - G^2 = (1/4)(x-y)^2 ≧ 0,
　(Q+A)(Q-A) = (A+G)(A-G)　　　　　････ (*)
よって
　G ≦ A ≦ Q,
　Q+A ≧ A+G,
これで (*) を割ると
　Q-A ≦ A-G,
あとは
　G-H ≦ Q-A,
を示せれば･･･
　G^2 - H^2 = (H/G)^2･⊿ = (G/A)^2･⊿ = (H/A)･⊿,

URLﾘﾝｸ(www.casphy.com) 100

796:１３２人目の素数さん
09/03/16 01:18:31
今年の東北大入試問題から

a+b≧cであるとき
a^3+b^3+3abc≧c^3

797:１３２人目の素数さん
09/03/16 01:53:36
それは易しすぎるだろ・・・
湘南工科大レベル

798:１３２人目の素数さん
09/03/16 01:59:18
>>796
3乗の因数分解の公式そのもの。
レベル０
高校入学時の始業式の翌日にやる試験レベル

799:１３２人目の素数さん
09/03/16 02:00:00
ｃ＝０。
ｄ＝０。

ｂ＝０。
ｄ＝０。

800:１３２人目の素数さん
09/03/16 02:55:19
>>796
これはひどい
こんなのが出るのが今の入試は

801:１３２人目の素数さん
09/03/16 02:57:01
もしかして文系学部の問題？

802:１３２人目の素数さん
09/03/16 03:12:29
理系だね、（１）もあったね
URLﾘﾝｸ(www.yozemi.ac.jp)

803:１３２人目の素数さん
09/03/16 03:33:06
>>802
ガセネタかと思ったら、マジかよ！
オ㍗ル

804:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:01:21
おまえら不等式には厳しいなｗ

805:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:02:27
>>797 >>798 >>800 >>801 >>803
勘違いしてないか？そこまで簡単じゃないよ。

806:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:08:35
>>805
アー、アー、キコエマスカー？
どの辺が難しいのかな？

因数分解の公式かな？
それともその後の平方完成の仕方かな？

807:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:10:09
>>796
ウソだろ・・・高1の1学期の中間レベルだと・・・？

808:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:10:12
>>805
Ｆランのお前には難しいのだろう
国立行けるレベルの理系には簡単すぎるよ

809:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:14:48
講評では難易度は標準って書かれてるんだけどな

810:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:16:33
ゆとり的には標準なんじゃないか

811:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:20:19
>>809
そのとおり。
言うほど簡単じゃない。模範解答見ればやさしいけどね。
問い１としての難易度は適切だと思う。
良問かどうかはわかりかねるが、東北大の入試の倍率が３倍だとすると、
この問い１で受験生のうち下３分の１くらいは落とせるんじゃないかな。

812:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:25:08
>>811
どこが難しいのかｋｗｓｋ

813:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:25:12
まず、下１０％くらいは、
a+b>=c　＜＝＞　a^3+b^3+3ab(a+b)>=c^3
として、a+bをｃで置き換えて証明終わり
とする（東北大入試の）受験生はでてくる。
　そういった論理性の欠ける人を落とすのがひとつの目的だと推測

814:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:27:21
>>813
え？

815:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:30:04
（１）は=だから、>>813のとおりにやって良いんだけど、
（２）は不等号だから、だめ。
講評では（１）がヒントになる、と書いてあるけれど、かえって（１）の
おかげで間違える人も１０％（いいすぎか５％）はいると思う。

816:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:32:04
だからいくらなんでも
>>798
>3乗の因数分解の公式そのもの。
>レベル０
>高校入学時の始業式の翌日にやる試験レベル
は言いすぎだろ。

817:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:34:27
>>816
え？高1はじめの中間に出るレベルだけど？

818:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:40:21
その入試問題１－６全部みるとわかるけど、問題１以外は証明問題は
問題５（１）だけで、あとは、値を求めさせる問題。
問題１は、証明がちゃんと書けるか、を見るのがねらいなんじゃないの？
問題１がなかったら、論証がいいかげんで答えを見つけるのが得意な
人だけが入ってきちゃう。
　それに、数学科志望生だけが受けるレベルじゃないからね。

>>817
でも、中間テストでみんなが満点なわけじゃないと思うよ。
しかも公式を習った直後で範囲が狭まっている時に出題すれば
得点率上がるのは当たり前。
君は高１か？予備校の模試受けたら（できれば東北大限定模試）、
各問題の平均点見てみ。
そんなに高くないよ。制限時間内ではね。
問題１としては適当。（６題全部がこれだったらやさしいけどね。）

819:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:42:16
>>817
君の学校は、始業式の翌日に中間テストをやるのか？

820:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:48:50
>>818
そうだね
ごめん

821:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:54:54
今年東北落ちた人か？
河合は標準、駿台はやや易だった

822:１３２人目の素数さん
09/03/16 05:01:08
>>821
＞今年東北落ちた人か？
落ちてない。落ちるほどの学力なら、あぁ、俺には難しいけど、
受かった人にとっては簡単なのかも、、と思って難易度は断定できない。

＞河合は標準、駿台はやや易だった

そうだろ、標準か、やや易、だろ。そんなもんだ。
びっくりするほど易しすぎはしない。入試問題として。

823:１３２人目の素数さん
09/03/16 07:56:31
>>819
>>817のどこに始業式の翌日にやるってかいてあるんだよ

824:１３２人目の素数さん
09/03/16 07:59:47
>>811
真剣な話、どこが難しいのかな？

>>819
入学式の翌日に実力テストをやりましたが何か？
範囲は２次関数の終わりまで。

825:１３２人目の素数さん
09/03/16 08:06:16
そろそろどこか他のところでやってくれ。

826:１３２人目の素数さん
09/03/16 08:40:09
>>811は解けなかっただけだろ

827:１３２人目の素数さん
09/03/16 09:17:11
件の人はa^3 + b^3 + c^3 - 3abcの因数分解の公式知らんのかね。

つうかこのスレは大学入試問題レベルの簡単な問題を
扱うような感じじゃないと思うけど。

828:１３２人目の素数さん
09/03/16 09:21:55
少なくともこのスレ的には対称式に対する標準的な処方箋で解ける問題．
因数分解の公式なんて忘れても，基本対称式で書こうとするだけでいい．

829:１３２人目の素数さん
09/03/16 19:32:17
>>749の正しい問題文は何だろう

830:１３２人目の素数さん
09/03/16 22:31:37
>>795
　G-H ≦ Q-A　を示そう。
　(A-H) = (A^2 -G^2)/A = (Q^2 -G^2)/(2A) = (Q-G){(Q+G)/(2A)},
　(Q-A) - (G-H) = (Q-G) - (A-H) = (Q-G){1-(Q+G)/(2A)} = {(Q-G)/(2A)}{(A-G)-(Q-A)}　･･････ (**)
∴　Q-A は G-H と A-G の間にある(G-H寄り)。

**)　右辺の係数は 0 < (Q-G)/(2A) ≦ (Q+G)/(2A) < 1,

よって
(3)　(Q-A)-(G-H) ≦ (A-G)-(Q-A),

〔問題〕
　3変数(x,y,z) のときは (1) のみが成り立つことを示せ。

831:１３２人目の素数さん
09/03/16 23:39:12
東大入試数学過去問
URLﾘﾝｸ(hwm5.gyao.ne.jp)

京大入試数学過去問
URLﾘﾝｸ(hwm5.gyao.ne.jp)

大学入試数学過去問
URLﾘﾝｸ(www.densu.jp)

いくつかは不等式の問題拾えるんじゃない？

832:１３２人目の素数さん
09/03/16 23:49:27
そんなもん見るよりジャーナル見るほうが有意義だ

833:１３２人目の素数さん
09/03/17 00:00:13
>>830

(1)
　H = 3/(1/x + 1/y + 1/z),　G = (xyz)^(1/3),　A = (x+y+z)/3,　Q = √{(x^2 + y^2 + z^2)/3}, 　
　Q^2 - A^2 = (x^2 +y^2 +z^2)/3 - (1/9)(x+y+z)^2 = (1/9){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2} ≧ 0,
　A^3 - G^3 = {(x+y+z)/3}^3 -xyz = {(x+y+7z)/2}(x-y)^2 + {(7x+y+z)/2}(y-z)^2 + {(x+7y+z)/2}(z-x)^2 ≧ 0,
　(1/H)^3 - (1/G)^3 = {[(1/x)+(1/y)+(1/z)]/3}^3 - 1/(xyz) = {(x'+y'+z')/3}^3 - x'y'z' ≧ 0,
∴　H ≦ G ≦ A ≦ Q,

(2) y=z=1 の場合を考えると
　H = 3x/(1+2x),　G = x^(1/3),　A = (2+x)/3,　Q = √{(2+x^2)/3},
　x<1 のとき　G-H > A-G > Q-A,
　x>1 のとき　G-H < A-G < Q-A,

834:830
09/03/17 00:05:05
>>833
GJ!!

されど、3変数のときはQよりも
　T = {(x^3+y^3+z^3)/3}^(1/3),
使った方が良くね？

835:１３２人目の素数さん
09/03/17 23:05:37
>>830, 833

(2) y=z=1 の場合は････
　0 < x < 0.00415949095310635… のとき、　　　　　　G-H < Q-A < A-G,
　0.00415949095310635… < x < 0.15064425… のとき,　Q-A < G-H < A-G,
　0.15064425… < x < 1 のとき,　　　　　　　　　　　Q-A < A-G < G-H,
　1 < x < 9.33372455･･･のとき、　　　　　　　　　　G-H < Q-A < A-G,
　9.33372455･･･ < x のとき、　　　　　　　　　　　　G-H < A-G < Q-A,
と成増とんねるず。

但し、区間の端点は
0.15064425142615432931841204604911････ = 1/{2cos(π/9)}^3,　x + 3･x^(2/3) -1 =0 の根。
9.3337245536744706772511885807731････ = {(2√3)cos([π-arccos(25/27)]/6) - 1}^3,　x + 3･x^(2/3) -6･x^(1/3) -10 =0 の根。

836:１３２人目の素数さん
09/03/17 23:15:33
a≧b≧0，c≧d≧0のとき

√（a^2+ab+b^2）+√（c^2+cd+d^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）

837:１３２人目の素数さん
09/03/18 03:27:30
a,b,cを実数とする
a+b+c=0のとき
（|a|+|b|+|c|)^2≧2（a^2+b^2+c^2)

838:１３２人目の素数さん
09/03/18 16:53:54
2(a^2+b^2+c^2) = (a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)
=(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)
≦(a^2+b^2+c^2)+2(|ab|+|bc|+|ca|) = (|a|+|b|+|c|)^2

839:835
09/03/18 22:01:22
>>830, >>833,

　0.00415949095310635… は x^3 +3x^(8/3) +3x^(7/3) +(9/2)x^2 +3x^(5/3) +3x^(4/3) +(39/8)x +(33/8)x^(2/3) + (3/4)x^(1/3) -(1/4) =0　の根。

840:１３２人目の素数さん
09/03/19 16:04:37
>>836
チェビシェフの不等式

841:１３２人目の素数さん
09/03/19 22:36:19
>>836
三角不等式

842:１３２人目の素数さん
09/03/19 23:37:37
>>749 >>799 >>829 >>836
a=1,b=1,c=0,d=0.
√（3）≧2.

843:１３２人目の素数さん
09/03/20 00:22:31
a≧b≧0，c≧d≧0のとき

√（a^2+ad+d^2）+√（b^2+bc+c^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）

じゃね？

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