不等式への招待 第３� ..
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63:１３２人目の素数さん 07/06/08 17:07:40 手許にあった論文 a new look at newton's inequalities (結構面白い、webで拾えると思う） によると 18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su≧0は実数解条件でwell-knownだそうだ s^2-3t=(1/2){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2} は理くつ不要だった スレ汚しすまん 64:１３２人目の素数さん 07/06/08 17:13:51 18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4s ＾３ u なんかボロボロorz 65:１３２人目の素数さん 07/06/08 19:30:22 またt^2とか間違いを見つけたので直したの貼り直しときます a,b,c>0に対し、a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=uとおいて (t+a^2+b^2)/(a+b)^2+(t+b^2+c^2)/(b+c)^2+(t+c^2+a^2)/(c+a)^2≧15/4 を示す。これはt+a^2+b^2=t-2ab+(a+b)^2等を使えば (t-2ab)/(a+b)^2+(t-2bc)/(b+c)^2+(t-2ca)/(c+a)^2≧3/4と同値。 左辺=f/((a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2)とすれば、 4f-3(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 =4s(st-u)(s^2-3t)+(18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4s^3u) と基本対称式で書ける。（一応乱数入れてチェックしてみた） ここで、s^2-3t=(1/2)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)≧0...(*)、 st-u=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc ≧3(abc)^(1/3)・3(ab・bc・ca)^(1/3)-abc=8abc>0であり、 D_3=18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4s^3u≧0は ３次方程式x^3-sx^2+tx-u=0が実数解のみを持つ条件で a,b,cがこの方程式の３解だから満たされている 等号条件は(*)よりa=b=cが必要で、このとき実際成立する。
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