不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

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611:１３２人目の素数さん
 08/11/02 10:20:43 
>>593>>598の変形し損ね？

612:１３２人目の素数さん
 08/11/04 04:11:04 
>>600 
次の問いに答えよ。  
（１） xが正の数のとき│log x│≦│x-1│/√x を示せ。  
（２） p, q, r がp + q + r =1を満たす正の数のときp＾2+ q＾2+ r＾2 ≧1/3を示せ。  
（３） a , b, c が相異なる正の数で、√a + √b　+ √c　= 1を満たすとき、  
｛ab/(b - a)｝・ log(b/a) + ｛bc/(c - b)｝・ log(c/b) + ｛ca/(a - c)｝・ log(a/c) ≦　1/3  
を示せ。　　　　　　　　　　　　　（２００７　阪大）

613:１３２人目の素数さん
 08/11/04 10:21:31 
>>612 
誘導なしだったら、いい感じだね

614:１３２人目の素数さん
 08/11/04 20:40:08 
test

615:不等式だけの学会があるらしい
 08/11/04 21:07:44 
lemmma3 
a1≧a2,b1≧b2 -> (a1-a2)(b1-b2)≧0 -> a1*b1+a2*b2≧a1*b2+a2*b1 
 
TH2 
任意の自然数nに対して：a1^n+a2^n+,,,+an^n≧n*a1*a2*,,,*an 
証明) 
n=1:a1≧a1 
n=kの時成立していると仮定しn=k+1で成立する事を示す。 
まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)①と仮定しても一般性を失わない。 
 
a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^(k+1)+a(k+1)^(k+1) 
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*ak +a(k+1)^k*a(k+1) 
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^k*ak  
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k-1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k+1) 
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k+1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k-1) 
(ここまでの不等号は全てlemma3と①による) 
,,,, 
≧(a1^k+a2^k+,,,+ak^k)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1) 
(,,,及び最後の不等号もlemmma3と①による。 
ai^k*ai+a(k+1)^i*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1)≧ai^k*a(k+1)+a(k+1)^(i-1)*ai*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1) 
がやはりlemmma3と①によって成立するので、この事が言える) 
 
≧k*(a1*a2*,,,*ak)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1) 
(この不等号は帰納法の仮定による） 
 
=(k+1)*a1*a2*,,,*ak*a(k+1) 
 
よってTH2が成立。 
 
TH1.TH2において、Ak=ak^nと置いていけば、明らかな相加相乗平均の不等式が現れる。 
 
という事が今年の夏、8/18だか8/19に日本の高校の教師が示された。

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