不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

596:１３２人目の素数さん
08/10/27 09:45:21
釣りじゃないですよ。
この問題の出典は数学検定1級の2次という変なところなのですが、
試験時間が短めで、時間制限を気にしないといけないのです。
もちろん値だけではだめで、論証しないといけません。
なので、『現実的な方法』という言葉を使いました。
そこで皆様の知恵をかりたいのですが、どうでしょうか。

597:１３２人目の素数さん
08/10/27 09:55:56
それのどこが不等式？

598:１３２人目の素数さん
08/10/27 16:59:40
>597さん
a=b=c=2^(1/3)で最小を取ることが予想できるので、
abc=2なる任意に正の実数a,b,cに対して、
次の不等式を示すことになるので、
そういう意味で不等式の問題とみなせると思いました。

1/(a(b+1))＋1/(b(c+1))＋1/(c(a+1)) ≧ 3/(2^(1/3)*(1+2^(1/3)))

599:１３２人目の素数さん
08/10/27 23:10:30
>>596
お前な、順序が間違ってるだろ！
まず、>>596を書いてから、>>593で質問だろ！
情報を小出しにするなとママに教わらなかったのか？

600:１３２人目の素数さん
08/10/29 03:55:59
Σ［k＝1→n］（1／k）＞5
となる最小の整数nを求めよ

a，b，cが相異なる正の数で√a＋√b＋√c＝1を満たすとき
｛ab／（b－a）｝log（b／a）＋｛bc／（c－ b）｝log（c／b）＋｛ca／（a－c）｝log（a／c）≦1／3
を示せ

601:１３２人目の素数さん
08/10/29 04:24:00
Σ［k＝1→n］（1／k）= log(n)＋γ＋O(1/n) に注意すると、
だいたいn=[e^(5-γ)]＝83 とわかる。
答えはn=83

602:１３２人目の素数さん
08/10/29 19:49:32
Σ［k＝1→n］（1／k）＞4
となる最小の整数nを求めよ

これだと高校生でも何とかできるか

603:１３２人目の素数さん
08/10/29 21:34:14
それの改良問題。
[Σ［k＝1→n]（1／k)] = [e^(5-γ)]
を満たさない正整数nは無限に存在するか。
ただし、γはオイラー定数とし、
[x]はxの整数部分を表すとする。

これだと愚直に計算機使うだけじゃ無理。

604:１３２人目の素数さん
08/10/29 21:40:55
>603
問題ミス。
Σ［k＝1→n］（1／k）＞m を満たす最小の整数nが、
n = [e^(m-γ)] とならない正整数mは無限に存在するか。

605:１３２人目の素数さん
08/10/29 23:24:13
>>600
S_82 = 5 -　 971061970808803141778039548955447 / D_5,
S_83 = 5 + 16703434187251287967291034353582814 / (D_5 * 83),
D_5 = 2^6 * 3^4 * 5^2 * 7^2 *11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79,

>>602
S_30 = 4 - 11675421053 / D_4,
S_31 = 4 + 1967151510157 / (D_4 * 31),
D_4 = 2^4 * 3^3 * 5^2 *7*11*13*17*19*23*29,

S_11 = 3 - 2221 / D_3,
S_12 = 3 + 89 / D_3,
D_3 = 2^3 * 3^2 * 5*7*11,

S_3 = 2 - 1/D_2,
S_4 = 2 + 1/(D_2*2),
D_2 = 2 * 3,

606:592
08/10/29 23:35:18
>>592 の訂正, ｽﾏｿ.

　(左辺) = a/(A+3t) + b/(B+3t) + c/(C+3t) = (3us + 8t^2)s/(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3).

607:１３２人目の素数さん
08/10/31 21:53:26
>>600

↓の補題に x=√(a/b), √(b/c), √(c/a) を代入してたす。
　　(左辺) < √(ab) + √(bc) + √(ca) < (1/3)(√a + √b + √c)^2,

〔補題〕
x>0, x≠1 のとき
　{x/(x^2 -1)}log(x^2) < 1,
(略証)
　f(x) = x -(1/x) -2log(x),
とおくと、f(1) =0,
平均値の定理より
　{f(x)-f(1)}/(x-1) = f '(ξ) = (1 - 1/ξ)^2 >0,　　　(ξは1とxの中間にある)
これに x/(x+1) を掛ける。

ハｧハｧ

608:１３２人目の素数さん
08/10/31 22:19:48
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

609:１３２人目の素数さん
08/11/02 04:23:18
正の実数x,y,zに対して次を示せ。
(xy)^3/(x^3+1)＋(yz)^3/(y^3+1)＋(zx)^3/(z^3+1) ≧ 6/{xyz(1＋xyz)}
できる神いる？

610:１３２人目の素数さん
08/11/02 06:46:30
>>609
x=y=z=1のときとか成り立たないんだが・・・
なんか間違えてねーか？

611:１３２人目の素数さん
08/11/02 10:20:43
>>593 >>598の変形し損ね？

612:１３２人目の素数さん
08/11/04 04:11:04
>>600
次の問いに答えよ。
（１） xが正の数のとき│log x│≦│x-1│/√x を示せ。
（２） p, q, r がp + q + r =1を満たす正の数のときp＾2+ q＾2+ r＾2 ≧1/3を示せ。
（３） a , b, c が相異なる正の数で、√a + √b　+ √c　= 1を満たすとき、
｛ab/(b - a)｝・ log(b/a) + ｛bc/(c - b)｝・ log(c/b) + ｛ca/(a - c)｝・ log(a/c) ≦　1/3
を示せ。　　　　　　　　　　　　　（２００７　阪大）

613:１３２人目の素数さん
08/11/04 10:21:31
>>612
誘導なしだったら、いい感じだね

614:１３２人目の素数さん
08/11/04 20:40:08
test

615:不等式だけの学会があるらしい
08/11/04 21:07:44
lemmma3
a1≧a2,b1≧b2 -> (a1-a2)(b1-b2)≧0 -> a1*b1+a2*b2≧a1*b2+a2*b1

TH2
任意の自然数nに対して：a1^n+a2^n+,,,+an^n≧n*a1*a2*,,,*an
証明)
n=1:a1≧a1
n=kの時成立していると仮定しn=k+1で成立する事を示す。
まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)①と仮定しても一般性を失わない。

a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^(k+1)+a(k+1)^(k+1)
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*ak +a(k+1)^k*a(k+1)
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^k*ak
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k-1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k+1)
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k+1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k-1)
(ここまでの不等号は全てlemma3と①による)
,,,,
≧(a1^k+a2^k+,,,+ak^k)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
(,,,及び最後の不等号もlemmma3と①による。
ai^k*ai+a(k+1)^i*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1)≧ai^k*a(k+1)+a(k+1)^(i-1)*ai*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1)
がやはりlemmma3と①によって成立するので、この事が言える)

≧k*(a1*a2*,,,*ak)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
(この不等号は帰納法の仮定による）

=(k+1)*a1*a2*,,,*ak*a(k+1)

よってTH2が成立。

TH1.TH2において、Ak=ak^nと置いていけば、明らかな相加相乗平均の不等式が現れる。

という事が今年の夏、8/18だか8/19に日本の高校の教師が示された。

616:１３２人目の素数さん
08/11/04 21:11:03
>>615
>>437

617:不等式だけの学会があるらしい
08/11/04 21:19:36
日本の高校の教師によって示された。

俺はまず、ハーディーにあたってみたが、あの不等式の本ではもう少し一般化した式が
もう少し、めんどくさく示されており、ハーディーとリトルウッドの明晰でわかりやすいスタイルの中には入らない。

次に「天書の証明」にあたったが、コーシーがほんの一歩、めんどくさい証明をしており、
これが、美しい部類の物として、「載っていた」

シンプルであり、アルゴリズムの様な、簡単な、美しい証明だと思う。

「日本の高校の先生が「天書」から証明を盗んできた。」

618:１３２人目の素数さん
08/11/05 00:00:11
>>617
「天書の証明」は、数ヲタとして持っておいたほうがいいですか？
本棚に飾っておいたほうがいいですか？
てか、オヌヌメですか？

最近、本を買っていないので何か買いたい気分です( ﾟ∀ﾟ)

619:１３２人目の素数さん
08/11/05 00:27:11
>>618
あれは持っておいて損はない。
俺は日本語版（第２版）と原書（第３版）を両方買った。

620:１３２人目の素数さん
08/11/05 00:31:41
アルゴリズムの様な、簡単な、美しい証明

のアルゴリズムのようなっていう比喩が全く意味が分からん

621:１３２人目の素数さん
08/11/05 00:47:21
>>620
俺は分かるぞ。手続きが明らかになる構成的証明だということだと思う。
相加平均と相乗平均という，全く形が異なるものの間を一気に飛ぶのではなく，
相加平均が，１つずつ項を入れ替えてゆくことで少しずつ小さくなってゆき，
やがて相乗平均に至るという，途中経過が明らかになる証明だ，という意味だろう。
俺も全く同感だ。

622:１３２人目の素数さん
08/11/05 05:24:54
x,y,z≧0,x+y+z=1のとき
xy+yz+zx-2xyzの最大値、最小値を求めよ

ところで質問なんですが
任意の整数nに対して
n^2+an+b≧0
となるようなa,bの条件出すこと出来ますか？

623:１３２人目の素数さん
08/11/05 07:24:12
>>622
(1-2x)(1-2y)(1-2z)を展開すればわかる。

a^2-4b≦0

624:１３２人目の素数さん
08/11/05 07:32:47
すまん。整数だったな。
0<a^2-b≦1これも必要かな……。

625:１３２人目の素数さん
08/11/06 20:53:25
基本対称式を使った初心者でも何とか解ける不等式を教えてください。

626:１３２人目の素数さん
08/11/06 23:19:08

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ
　くく　へﾍﾉ ←>>625

627:１３２人目の素数さん
08/11/07 00:08:42
>>625
x_1, ……, x_n を正の数とする。
これらの相加平均を A，
これらの二乗平均平方根を M ( =√{((x_1)^2+……+(x_n)^2)/n} )，
これらから作られる２次の基本対称式を S (=x_1x_2+……) とおく。

このとき，A≧M*n^{S/{n(n-1)M^2}-1/2} が成り立つことを示せ。（出典：Part2-847）

--------------
x_1, ……, x_n を正の数とする。
これらから作られる k 次の基本対称式を e_k とおき，
A_k=(e_k / C[n,k])^(1/k) とおく（C[n,k]は二項係数）。
このとき，
A_1≧A_2≧……≧A_n
が成り立つことを示せ。（出典：マクローリンの不等式）

628:１３２人目の素数さん
08/11/07 19:37:45
>>620
>>621さんに付け加える事は何もないですが、要はlemma3がサブルーチンで、この証明ではほとんどが
このサブルーチンで片がついているのです。プログラムでも、すっきりした簡単なメインルーチンと
もし、サブルーチン一つでかなりな複雑な事柄が片付けば、それは「美しいプログラム」だと
思います。
　要はわかりやすく、読みやすい。と言う事かなと思います。話はむずかしくではなく、簡単でわかりやすい
方が「美しい」と思います。あなたが例えば、人様のノートをテスト前にコピーさせてもらった場合、要約もすばらしく、
論点も明確なノートなら、やはり、「美しい」と思うのではないでしょうか？
それと同じだと思います。

629:>>615訂正
08/11/07 19:53:16
「まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)①と仮定しても一般性を失わない。」の位置がおかいかったようです。
n=1の前に、
「まず、a1≧a2≧,,,≧an①と仮定しても一般性を失わない。」が正しいです。

630:１３２人目の素数さん
08/11/07 20:07:16
反応がないのは>>437で既出だからだよ>>615くん
どこの山から出てきたんだ？

631:１３２人目の素数さん
08/11/07 20:09:40
単発スレ立てる厨房よりはマシじゃね？

632:１３２人目の素数さん
08/11/07 23:55:05
>>630-631
少し黙ってろ！

633:１３２人目の素数さん
08/11/08 03:26:54
a，b，cは自然数で
（1/a)＋（2/b)＋（3/c)＜1
を満たすとき
（1/a)＋（2/b)＋（3/c)の最大値を求めよ

f（a）＝∫［0→π/4］｜sinx－a cosx｜dx
の最小値を求めよ

x≧0において
f’（x）＞0，∫［0→x］ f（t）dt≧x
ならば，x＞0においてf（x）＞1を示せ

634:１３２人目の素数さん
08/11/08 03:32:44
>>633

f（a）＝∫［0→π/4］｜sinx－a cosx｜dx
の最小値を求めよ

不等式では、ない。これ去年、代ゼミに通ってた友人が持ってきたテキストにあったな。

635:１３２人目の素数さん
08/11/08 09:53:36
>>634
それは東工大の過去問だな。sinx=t と置換すれば ∫|f(t)-a|dt の形になるので，はみ出し削り論法で終わり。

636:１３２人目の素数さん
08/11/08 20:04:09
>>633 (上)
　1-(1/1332),
(a,b,c) = (37,9,4) のとき.

>>633 (中)
　f(a)　=　1 - (1+a)/√2,　　　　　　　(a≦0)
　　　　= -1 - (1+a)/√2 +2√(1+a^2),　(0≦a≦1)
　　　　= -1 + (1+a)/√2,　　　　　　　(a≧1)

637:１３２人目の素数さん
08/11/08 22:43:41
>>636
それf(a)求めただけやん(笑)

638:１３２人目の素数さん
08/11/08 23:55:39
>>637
具体的に書けるから自明すぎてつまらないと言うメッセージなのかもしれない

639:１３２人目の素数さん
08/11/09 01:17:19
>>638
おまいはテレパスか！

640:１３２人目の素数さん
08/11/09 02:10:10
>>636
上教えてちょ

641:636
08/11/09 21:47:35
>>637
　f '(a) = 0 から a = 1/√7, 最小値は
　f(a) = -1 + (√7 -1)/√2 = 0.16372191220042316839103000405343･･･

642:１３２人目の素数さん
08/11/09 22:10:22
>>633 (下)

部分積分を使うらしい･･･
　∫[0→x] f(t)dt = [ t･f(t) ](t=0→x) - ∫[0→x] t･f'(t)dt < [ t･f(t) ](t=0→x) = x･f(x).

643:１３２人目の素数さん
08/11/09 23:17:35
その部分積分は名古屋大かどっかの問題にあったな
解いたことがある。もう忘れてたけど。

644:ヘルマンワイル先生生誕記念カキコ
08/11/09 23:48:18
≧≦

645:446
08/11/10 23:33:38
>>642
g'(x)≧0 かつ ∫[0→x] g(x)≧0 と同値だから lim[x→0] g(x)≧0 が自然に言えて解決．

646:１３２人目の素数さん
08/11/11 08:00:00
1/37+2/9+3/4=1331/1332.
1/31+2/3+3/10=929/930.
1/5+2/41+3/4=819/820.
1/38+2/9+3/4=683/684.
1/15+2/11+3/4=659/660.

647:１３２人目の素数さん
08/11/13 03:04:12
不等式のノート作ってる方とかいます？

648:１３２人目の素数さん
08/11/13 06:56:52
>>647
名前を書かれると無性に不等式を証明したくなるとか？

649:１３２人目の素数さん
08/11/13 13:03:58
>>647
てふでまとめていますが何か？

650:１３２人目の素数さん
08/11/14 07:59:40
>>649
もううｐせざるを得ないだろう

651:１３２人目の素数さん
08/11/14 10:04:11
B5サイズで50枚以上になるからなぁ…、断るッ！

652:１３２人目の素数さん
08/11/18 23:21:51
【(2nCn)/(n+1)】カタラン数【(2n)!/(n+1)!n!】より

64 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/03(木) 18:20:39
〔不等式064〕
　C[2m,m] = (4^m)/√(mπ) * exp(-1/8m + O(1/m^3)) ～ (4^m)/√(mπ) *(1 - 1/(8m) + …),

(略証)
スターリングの不等式
　(n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n) -1/(360n^3) < log(n!) < (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n),
を
　log(C[2m,m]) = log((2m)!) -2log(m!),
に代入する。
　(2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) -1/(2880m^3) < log(C[2m,m]) < (2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) +1/(180m^3),

65 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/20(日) 20:24:33
大学への数学１月号の宿題を解いたつわものはいる？
　lim[n→∞) {(1/2^(2n -1/2))*C[4n,2n]/C[2n,n]}^(2n)

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:113番)
さくらスレ２３５

66 名前：スターリング[sage] 投稿日：2008/01/20(日) 20:34:06
>65

log(n!) = (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) + 1/(12n) -1/(360n^3) +O(1/n^5),

log(C[2n,n]) = log((2n)!) - 2*log(n!)
　= 2log(2)*n -(1/2)log(nπ) -1/(8n) +1/(192n^3) +O(1/n^5),

log(与式) = -(2n -1/2)log(2) +log(C[4n,2n]) -log(C[2n,n])
　= {1/(16n) -O(1/n^3)}*(2n)
　= (1/8) - O(1/n^2) → 1/8,　　(n→∞)

653:１３２人目の素数さん
08/11/18 23:56:52
〔問題202〕
任意の正の整数mに対して不等式
　|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| > (m/2) + (1/4) - 1/|4sin(a)|.

(略証)
|sin(ka)| ≧ {sin(ka)}^2 = {1 - cos(2ka)}/2 = (1/2) - 2cos(2ka)sin(a)/(4sin(a)) = (1/2) - {sin((2k+1)a)-sin((2k-1)a)}/(4sin(a)),
k=1,2,･･･,m について和をとる。

　ｽﾚﾘﾝｸ(math板:202番)

654:１３２人目の素数さん
08/11/19 00:26:14
任意の正の整数mに対して不等式
　|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| < √{m[(m/2) + (1/4) + 1/|4sin(a)|]}.
が成り立つ。
　
(略証)
　(左辺) ≦ √{mΣ[k=1,m] sin(ka)^2} = √{m[(m/2) - (sin((2m+1)a)-sin(a))/4sin(a) ]}

655:１３２人目の素数さん
08/11/19 16:36:21
なんだこのスレｗｗｗｗ
おもすれーｗｗｗうぇｗｗｗｗ

656:１３２人目の素数さん
08/11/19 22:37:59
>>653-654
ワイルの一様分布定理から、

〔補題〕 a/π≠整数ならば、
　(左辺)/m → (1/π)∫[0,π] sin(x)dx = 2/π.　　(m→∞)

657:656
08/11/20 22:30:32
訂正
〔補題〕 a/π ≠有理数ならば、

658:１３２人目の素数さん
08/11/24 20:12:49
f(x)=x^2-2mx+m+6　とする。

(1) すべてのxの値に対してf(x)≧0となる
　　定数mの値の範囲は-2≦m≦3である。

(2) 0≦x≦8のすべてのxの値に対してf(x)>0となる
　　定数mの値の範囲は-6<m<3である。

これを証明してください。

659:１３２人目の素数さん
08/11/24 22:18:03
>>658
お前は勉強をやめた方がいい。

660:１３２人目の素数さん
08/11/24 23:23:19
>>658
荒ら砂！
質問は質問スレに池！

661:１３２人目の素数さん
08/11/26 01:34:42
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:700番)

1/π<x<πの時、
sinx･sin(1/x)の最大値を求めよ

662:１３２人目の素数さん
08/11/26 21:32:47
うるさい。

663:１３２人目の素数さん
08/11/26 22:31:04
　　　ｒ;;;;;ノヾ　　　　　　　　>>662
　　　ﾋ‐=r=;'　　　　∬　　　口を慎みたまえ！
　　　'ヽニ/　っ━~~　　　君は不等式王の前にいるのだぞ！
　＿と~,,　 ~,,,ﾉ_　　∀　　　
　　　　ﾐ,,,,/~).　│ ┷┳━　
　￣￣￣.じ'Ｊ￣￣|　┃
　￣￣￣￣￣￣￣　┻

664:１３２人目の素数さん
08/11/27 09:56:45
nCrｵﾀ向け
∑[k=0,n](k+2)*(k+1)*[2k+1]C[k]=？

665:１３２人目の素数さん
08/11/27 23:22:39
>>661

[751] 微分法を使う。
　g(t) = log(sin(e^t))　とおくと
　g '(t) = (e^t)/tan(e^t) 　は単調減少(*)　
　g "(t) = －(e^t){1 - sin(e^t)cos(e^t)}/{sin(t)}^2 < 0,
∴ f は上に凸。
　log(与式) = f(log(x)) + f(-log(x)) ≦ 2f(0) = log{sin(1)^2}

(*) {x/tan(x)} ' = 1/tan(x) - x/{sin(x)^2} = {sin(x)cos(x)-x}/{sin(x)^2} <0,
　　より、x/tan(x) は単調減少。

[763] 無限乗積表示（オイラー積表示）を使う。
sin(x) = x･Π[n=1,∞) {1－(x/nπ)^2},
　{1－(x/nπ)^2}{1－1/(nπx)^2} = {1－1/(nπ)^2}^2 －(1/nπ)^2 (x－1/x)^2 ≦ {1－1/(nπ)^2}^2,
　等号成立は x=1 のとき,
∴ (与式) ≦ {sin(1)}^2.

666:１３２人目の素数さん
08/11/27 23:24:24
>>664
それ本当に求まるのか？
Mathematicaにやらせてみたら
-((2 + n)*(3 + n)*Gamma[5 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[1, 5/2 + n, 3 + n, 4] +
2*Gamma[7 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[2, 7/2 + n, 4 + n, 4] +
8*(7 + 2*n)*Gamma[6 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[3, 9/2 + n, 5 + n, 4])/(2*Gamma[3 + n])
になったぞ。

667:665
08/11/27 23:57:46
>>665 訂正

　f(x) = log(sin(x)) なので、
　log(与式) = f(x) + f(1/x) = g(log(x)) + g(-log(x)) ≦ 2g(0) = 2f(1) = log{sin(1)^2},

668:１３２人目の素数さん
08/11/28 05:13:49
みなさんは不等式の必須手法みたいなのを何で学びましたか？

669:１３２人目の素数さん
08/11/28 23:42:33
>>668
おまえには教えてやらねーよ！

670:１３２人目の素数さん
08/11/29 00:20:54
不等式を制する者は解析を制する。

671:１３２人目の素数さん
08/11/29 12:07:58
△ABC の辺 a、b、c に対して、次式を示せ

　 3abc ≧ (b+c-a)a^2 + (c+a-b)b^2 + (a+b-c)c^2

　　　∧_∧　
　　_ ( ﾟ∀ﾟ)　　　　　　　　　　　　たぶん、出したことないと思う…
　|≡(つc□≡|
　`Ｔ￣∪∪￣Ｔ
ﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞ

672:１３２人目の素数さん
08/11/29 18:50:59
>>664
　(k+2)(k+1) = (2k+3)(2k+2)/3 - (k+1)k/3,

　(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+1,k] = (1/3)(2k+3)(2k+2)*Ｃ[2k+1,k] - (1/3)(2k+1)(2k)*Ｃ[2k-1,k-1]
　　　　　　　　　　　　= (1/3)(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+3,k+1] - (1/3)(k+1)k*Ｃ[2k+1,k],

　(与式) = (1/3)(2n+3)(2n+2)*Ｃ[2n+1,n] = (1/3)(n+2)(n+1)*Ｃ[2n+3,n+1].

>>671
三角不等式の束縛からのがれるため
b+c-a = a' >0,　c+a-b = b' >0,　a+b-c = c' >0,
とおく。条件は a', b', c' >0 だけになった。両辺に
　a = (b'+c')/2,　b = (c'+a')/2,　c = (a'+b')/2,
を代入すれば、
　(左辺) - (右辺) = (3/8)(st-u) - (1/4)(3u+st) = (1/8)(st-9u) ≧0,
いつものように　s = a'+b'+c' = a+b+c,　t = a'b' + b'c' + c'a', u = a'b'c' とおいた。
等号成立は a'=b'=c' すなわち a=b=c のとき。

ハｧハｧ

673:１３２人目の素数さん
08/11/29 19:19:09
>>671

移項したらSchur不等式････
　(左辺) - (右辺) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = F_1 ≧0,
三角条件なくても成立････

674:１３２人目の素数さん
08/11/29 20:11:59
さすが。

675:１３２人目の素数さん
08/11/29 21:13:11
問題を作ったときには
(左辺)-(右辺)=(a-b)^2･(a+b-c)/2+(b-c)^2･(b+c-a)/2+(c-a)^2･(c+a-b)/2
から導いたと思われ

676:671
08/11/29 22:30:45
毎度ながら、100歩前を行くレスに感心。
ありがとうございます。

677:１３２人目の素数さん
08/12/01 20:28:22
1 ≤ a,b,c ≤ 2 のとき
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 6(a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b))

たのもー(　^ิิ,_ゝ^ิ)

678:１３２人目の素数さん
08/12/01 22:14:56
homogeneousなのに何で1<=a,b,c<=2が必要？

679:１３２人目の素数さん
08/12/02 16:40:46
1≦a,b,c≦2がないと問題が成り立たないから

680:１３２人目の素数さん
08/12/02 20:31:05
別にk≦a,b,c≦2kでも良いけど
いずれにせよ或る一定範囲内に三つとも入ってないといけなくて
a=b=1、c=1000とかそういうのはダメってことでしょ。

それぞれa/kとかで置き換えて要らないkを消去したのが問題文と。

681:１３２人目の素数さん
08/12/03 03:15:18
>>677 , 679
　>>341 の [A.435] でつね。

>>394 いわく、
　とりあえず、>>373-374 が解ければ [A.435] が解けることが分かった。

>>576 は微分法（未定乗数法）でそれを解こうとしたようだが････

682:１３２人目の素数さん
08/12/03 11:48:57
もっとすきっとした解法はないもんかねぇ

683:１３２人目の素数さん
08/12/03 19:23:45
>>576 を高校ﾚﾍﾞﾙで解いたのが
>>583-585>>588-589

684:１３２人目の素数さん
08/12/03 23:40:27
>>588
　r-q 平面のグラフが見たい････

685:１３２人目の素数さん
08/12/07 00:24:18
>>679
>>680
誤解してた、すまない。

686:１３２人目の素数さん
08/12/07 04:23:34
1)a,b,cが正の実数のとき
a/(b+c^2)+b/(c+a^2)+c/(a+b^2)≧9/(a+b+c+3)
を示せ

2)a,b,cが相異なる実数のとき
{(4a-3b)/(a-b)}^2+{(4b-3c)/(b-c)}^2+{(4c-3a)/(c-a)}^2≧25
を示せ

3)a,b,cが正の実数のとき
{(b+c-a)^2}/{(b+c)^2+a^2}+{(c+a-b)^2}/{(c+a)^2+b^2}+{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}≧3/5
を示せ(日本数学五輪1997)

687:１３２人目の素数さん
08/12/08 01:45:32
つURLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)

688:１３２人目の素数さん
08/12/08 03:44:10
>>686
(2)(3)は、ともに凸不等式に帰着できた
(1)に苦戦中

689:１３２人目の素数さん
08/12/08 03:46:55
>>686
(3)は公式解答は汚い解法だったんだがエレガントに解けるのかな
俺はｼｭﾜたんで失敗した

690:１３２人目の素数さん
08/12/08 04:58:11
>>686
(3)
Σはcycとして
a+b+c=1とおくと

与式
⇔Σ[(1-2a)^2/{(1-a)^2+a^2}]≧3/5
⇔Σ[1/(2a^2-2a+1)-9/5]≦0
⇔Σ[25/(2a^2-2a+1)-45-18(3a-1)]≦0 (∵Σ(3a-1)=3(a+b+c)-3=0)
⇔-Σ[(3a-1)^2*(6a+1)/{a^2+(1-a)^2}]≦0

a,b,c> 0よりこれは正しい。

691:１３２人目の素数さん
08/12/11 13:39:30
実数上の任意の確率変数 X と、0以上の実数値が値域の関数f,gに関して
E[ f(X)g(X) ] ≦ E[ f(X) ] E[ g(X) ] が成り立つための関数f,gの条件として
∀x,y f(x)≦f(y) → g(x)≧g(y) が十分条件であると予想しているのですが
証明の仕方がわかりません。お願いします。

692:１３２人目の素数さん
08/12/11 14:36:06
>>691
解答PDFを作ってみた。
URLﾘﾝｸ(image02.wiki.livedoor.jp)

693:１３２人目の素数さん
08/12/11 16:39:46
まさかのpdf、ありがとうございます。
自分の頭で理解できるか不安ですが
じっくり読まさせていただきます。

694:１３２人目の素数さん
08/12/11 17:51:33
定理1のX(Y-E[Y])]≧X(x0)(Y-E[Y]) による
E[X(Y-E[Y])]≧E[X(x0)(Y-E[Y])]=0がコツですね。
どうもありがとうございました。

695:１３２人目の素数さん
08/12/18 00:22:39
数蝉２月号は「不等式の世界」
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)

不等式ヲタとしては、買わねばなるまいな…
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

696:１３２人目の素数さん
08/12/18 00:37:29
>>695
このスレの住民が満足できる内容ならいいね。
参考文献に付け加えられるくらいの内容を気盆濡！

697:１３２人目の素数さん
08/12/18 22:53:51
>>588

Q,R を >>589 のようにおくと

(判別式) = 27R^2 - 4(-Q)^3
　= (q-1+2r){4q^2 +(32-4q)r -(11+q)r^2 +2r^3}　　　>>585
　= (q-1+2r){[2q - r(r+4)/4]^2 - (1/16)r(r-8)^3},
∴ r<8 には求める領域はない。

　rを固定したときの q の下限および上限は
　q_min = [r(r+4) - (√r)(r-8)^1.5]/8,
　q_max = min{[r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8, 2r-3}
　　　　= [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8　　　　　(8≦r≦9)
　　　　= 2r-3　　　　(r≧9)
　rが大きいほど細く鋭くなる。　　　　（素手で触るな）

　r>9 のとき q < 2r-3 = (1/6)r(r+1) -(1/6)(r-2)(r-9) < (1/6)r(r+1)
　8<r<9 についても同様。

698:１３２人目の素数さん
08/12/19 22:34:05
>>588, 684, 697
　8<r<9 のときは、
　r-8 < r/9,
　q < [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8 < [r(r+4) + (1/3)r(r-8)]/8 = (1/6)r(r+1),

-------------------------------------

　(2r-3) - q_min = 8(r-9)/{r^2 -12r +24 +(√r)(r-8)^1.5} → 0　(r→∞)

699:１３２人目の素数さん
08/12/24 12:09:03
>>677
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) - 9 = Σ(a-b)^2/ab
6(Σa/(b+c)) - 9 = 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
より
Σ(a-b)^2/ab ≧ 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
(a, b, c∈[1, 2])
を証明すればよい.
ここで,
S[a] = 1/bc - 3/((a+b)(a+c))
S[b] = 1/ca - 3/((b+c)(b+a))
S[c] = 1/ab - 3/((c+a)(c+b))
とおく.
また, a≧b≧c とおいても一般性を失わない。
S[a] = (a^2 + ab + ac - 2bc)/(bc(a+b)(a+c)) ≧ 0
(∵ ab≧bc, ac≧bc)
S[b] = (ab + b^2 + bc - 2ac)/(ca(b+c)(b+a)) ≧ 0
(∵ ab≧ac; a≦2, y, z≧1 より b+c≧a; よって b(b+c)≧ac)
ここで, S[b]+S[a]≧0 は明らかなので, S[b]+S[c]≧0 を証明する.
S[b]+S[c]
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b^3+c^3))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b+c)(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ (a^2(bc) + a^2(b^2-4bc+c^2) + a^2(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (2a^2 (b-c)^2)/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ 0
よって SOS より ΣS[a](b-c)^2 ≧ 0.
等号成立は a=b=c or b=c=1, a=2 (cyc).

700:１３２人目の素数さん
08/12/24 14:12:31
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

701:１３２人目の素数さん
08/12/24 14:30:59
ネ申

702:１３２人目の素数さん
08/12/24 15:50:36
自演乙

703:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:25:07
このスレで自演とか言ってるやつは新参者
自演は初代スレから恒例だ！
もうねアホガドバナナかと… ( ﾟ∀ﾟ)

704:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:40:29
飯島愛死亡だとよ

705:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:49:15
>>704
死因は何？

706:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:52:47
1:春デブリφ ★[sage]
2008/12/24(水) 16:29:31 ID:???0
　元タレント・飯島愛さんが都内のマンションで死亡。

■ソース(日テレニュース24）
URLﾘﾝｸ(www.news24.jp)
※有志によるキャプチャ画像
URLﾘﾝｸ(tvde.web.infoseek.co.jp)
■前スレ(1の立った日時　12/24(水) 16:14:24）
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)

【訃報】飯島愛さん、東京都内のマンションで死亡★２
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)

707:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:59:52
　　／　 ≧ ＼
　／　　 _ノ　　＼
　|　　　（ ●）（●）　＜おっと、スレ違いな発言はそこまでだ！
.　|　　　　（__人__）＿＿＿_
　 |　　　　　｀ ⌒／ ─'　'ー＼
.　 |　　　　　／（ ○）　（○）＼
.　ヽ　　　／　　⌒（n_人__）⌒ ＼
　　ヽ　　　|、　　　　（　　ヨ　　　　|
　　　/　　　`ー─－　　厂　　　／
　　　|　　､＿　　__,,／　　　　＼

708:１３２人目の素数さん
08/12/25 01:24:11
x,y,n∈N,(1/x)+(1/y)<1/n

max{(1/x)+(1/y)}=(n^2+2n+2)/{(n+1)(n^2+n+1)}

709:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:06:44
>>708
なん…だと！

710:１３２人目の素数さん
08/12/28 08:06:19
>>708
どうやったんだよ

711:１３２人目の素数さん
08/12/28 13:22:09
>>678,685
誤解してた、すまない。
三角不等式で十分だった。

>>699 の証明によれば････
bはaとcの間にあるとしても、一般性を失なわない。
　c-a = (c-b) + (b-a) より
(左辺) - (右辺) = S[a](b-c)^2 + S[b](c-a)^2 + S[c](a-b)^2
　　　　　　　　= (S[a]+S[b])(b-c)^2 + 2S[b](c-b)(b-a) + (S[b]+S[c])(a-b)^2,
また　(c-b)(b-a)≧0,
したがって、S[a]+S[b] ≧0, S[b] ≧0, S[b]+S[c] ≧0 を示せばよい。
　S[a] + S[b] = {2(c^2)(a-b)^2 + (a+b-c)[(b+c)a^2 + (c+a)b^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
　S[b] = {b(a+b+c) -2ac} / {ca(a+b)(b+c)}
　　= {2b^2 -Mm + (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)}　　(← {M,m}={a,c}, m≦b≦M とした.)
　　= {b(b+m-M) + (b-m)(b+M)^+ (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)},
　S[b] + S[c] = {2(a^2)(b-c)^2 + (b+c-a)[(c+a)b^2 + (a+b)c^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
これらが負にならないためには、a+b-c≧0, b+c-a≧0 （三角不等式）があれば十分。

712:１３２人目の素数さん
08/12/29 18:19:53

[A.435] の拡張　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　>>341
a,b,c が三角形の３辺をなすとき、　
　(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 9,
　等号成立は (a,b,c) = (k,k,k), (2k,k,k), (k,2k,k), (k,k,2k) のとき。

そこで >>672 に習って
　b+c-a = a',　c+a-b = b',　a+b-c = c', a+b+c = a'+b'+c' = s,
とおく。上式に
　a = (b'+c')/2 = (s-a')/2,
　b = (c'+a')/2 = (s-b')/2,
　c = (a'+b')/2 = (s-c')/2,
を代入すると･･･

[A.435'] (正準形)
a',b',c' ≧0 のとき
　6 + 2{a'/(b'+c') + b'/(c'+a') + c'/(a'+b')} ≧ 6{(s-a')/(s+a') + (s-b')/(s+b') + (s-c')/(s+c')} ≧ 9.
　ここに s = a'+b'+c'.
　等号成立は (a',b',c') = (k,k,k), (0,2k,2k), (2k,0,2k), (2k,2k,0) のとき。

【系】
a,b,c ≧0 のとき
　(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:677番)

713:712
08/12/29 18:24:36
訂正、すまそ。

【系】
a,b,c が三角形の3辺をなすとき
　(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.

714:Shapiro
09/01/03 19:56:03
>>712
　Sh_3(x,y,z) = x/(y+z) + y/(z+x) + z/(x+y) - 3/2,
とおく。

[A.435']
a',b',c' ≧ 0 のとき
　Sh_3(a',b',c')／Sh_3(b'+c', c'+a', a'+b') ≧ 3,

715:１３２人目の素数さん
09/01/16 19:05:31
数セミ2月号出たね

716:１３２人目の素数さん
09/01/16 23:11:26
>>715
うちの田舎は入荷数が少ないので予約注文したんだけど、
まだ連絡が来ないぜ… ('A`)

717:１３２人目の素数さん
09/01/17 23:53:44
>>598 (593,596)

〔問題〕
abc = d^3,　√3 -1 ≦ d ≦ (1+√3)/2 なる正の実数の組(a,b,c)に対して、次を示せ。
　1/{a(b+1)} + 1/{b(c+1)} + 1/{c(a+1)} ≧ 3/{d(d+1)},

(略証)
　abc = … と来たら a=d･z/y, b=d･x/z, c=d･y/x とおく。（これ定石）
ただし x,y,z >0

　(左辺) - (右辺) = (1/d){y/(dx+z) + z/(dy+x) + x/(dz+y) - 3/(d+1)}
　　= {d(d+1)･S -(3d^2 -d-1)･T1 -d(-d^2 -d+3)･T2 -(d+1)(d-1)^2･(3xyz)} / {d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y)},
ここに、S = x^3 + y^3 + z^3,　T1 = yz^2 + zx^2 + xy^2,　T2 = zy^2 + xz^2 + yx^2 とおいた。

・√3 -1 ≦ d < 1.30 のとき
　{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {d(d^2 +2d-2)(S-T1) + d(-d^2 -d+3)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T1-3xyz)} ≧ 0,

・0.77 < d ≦ (1+√3)/2 のとき
　{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {(3d^2 -d-1)(S-T1) + (-2d^2 +2d+1)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T2-3xyz)} ≧ 0,

718:717
09/01/17 23:56:03
>>598

〔補題〕↑ のようにおくとき
　S ≧ T1 ≧ 3xyz,　S ≧ T2 ≧ 3xyz,

(左側)　チェビシェフ不等式から、あるいは
　(y^3 + 2z^3)/3 - yz^2 = (1/3)(y+2z)(y-z)^2 ≧ 0,　　(相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T1 ≧ 0,
　(2y^3 + z^3)/3 - zy^2 = (1/3)(2y+z)(y-z)^2 ≧ 0,　　(相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T2 ≧ 0,

(右側)も　相加・相乗平均。

719:１３２人目の素数さん
09/01/20 00:55:25
>>2に追加

数学セミナー vol.48 no.2_569，日本評論社，2009年2月号

720:１３２人目の素数さん
09/01/28 07:31:59
URLﾘﾝｸ(web.mit.edu)

721:１３２人目の素数さん
09/01/28 13:41:41
>>720 　　　　ﾊｧﾊｧ　　　∩　　　　　　　　　　　不等式と聞ゐちゃぁ
　　　　　　　　　　　　　　 ( ⌒)＿　　 ∩_ _　　　　　黙っちゃゐられねゑ…
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! .＿＿＿　／/,. ノ≧　＼ .i　.,,E）__　　　
　　　　　／ nCr　＼| /　/＼ .／　|/　/ cos ＼　ﾊｧﾊｧ　　　　／/
　　_n 　.|::::＼ .／　　|/　/(●　(● |　ノ＼ .／　|　　　　　　／　/＿＿＿
　（　l　　|::●)　●)　.|　/:::... .ワ ....ノ／(●　(● |　　　　　./ 　／　 Σ　＼
　＼＼ヽ:::::.∀ 　 .ノ　　　　　　／ヽ:::::... .▽....ノ　　n　　 / ∩.|:::: ＼ .／　|
　　　ヽ__￣　　　ノヽ　　　　　 |　￣　　　＼　　（ E） /　.| | |　(●　(●）|＿
　　　　　/ 　　/　　＼　　　　ヽﾌ　　　 / ヽヽ_／／./／ | | ヽ:::::. へ　ノ／

722:１３２人目の素数さん
09/01/30 20:57:27
非等式と不等式の違いはなんですか。

723:１３２人目の素数さん
09/01/30 21:43:48
a,b,c＞0, a+b+c=1 のとき
(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a)≧(41/5)(a/b+b/c+c/a-3)+1000/27

724:１３２人目の素数さん
09/02/05 00:42:33
他スレで見かけたお。

次の等式を証明せよ。
nHr=Σ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }
※右辺のΣの数はr-1個

↓例
8H3=Σ[m=1,8](Σ[l=1,m]l)
5H4=Σ[m=1,5]{Σ[l=1,m](Σ[k=1,l]k)}

面白い問題おしえて～な十五問目
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:99番)

725:１３２人目の素数さん
09/02/07 20:47:34
このスレを見てる人は、もれなくそっちも見てると思

726:１３２人目の素数さん
09/02/07 23:07:15
>>725
分かってないな～チミ
そんなこと百も承知の助さ～
ここに保存しておけば、後で探すときにどのスレだったか困らないだろ～う

727:１３２人目の素数さん
09/02/08 03:05:54
次の不等式は一見シンプルにみえますが、
左辺は対称式でないせいか、(私には)証明がうまくいかないです。

任意の非負実数a,b,cに対して、次が成立する。
{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧ 27(ab+bc+ca)^3

もしよろしければ、どなたかご教授おねがい致します。

728:１３２人目の素数さん
09/02/08 04:40:48
s、t、uでズコバコするといいよ

729:１３２人目の素数さん
09/02/08 09:00:45
>>727
相加相乗から
(a+a+b)/3 ≧ (a*a*b)^(1/3)
2a+b ≧ 3(a^2b)^(1/3)
以下略

730:１３２人目の素数さん
09/02/08 09:01:38
問題見まちがった

731:１３２人目の素数さん
09/02/08 19:32:27
>>727 力づくで解いた

a+b+c=0 のとき題意は明らかなので a+b+c ＞ 0 としてよい
左辺-右辺は同次式なので a+b+c=3 とする
a-1, b-1, c-1 のうち符号が同じ(または片方が 0)のものを
a-1, b-1 としても一般性を失わない
つまり (a-1)(b-1)≧0 とする

a = 1+x, b = 1+y, c = 1-x-y とする
a,b,c≧0 より、 x,y≧-1, x+y≦1　…(1)
(a-1)(b-1)≧0 より、 xy≧0　…(2)
(1)(2) より、 -1≦x,y≦ 1　…(3)

s = x-y, u = x^2+xy+y^2 として
((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
= 9(3-u){3u(3-u) - 2s(3u-s^2)} + s^2(3u-s^2)^2
(3) より 3-u≧0 なので { } の中が非負になることを言えばよい
3u-s^2 = 2x^2+5xy+2y^2 は (2) より非負
s＜0 のとき { } の中は明らかに非負なので、以降
s ≧ 0　…(4)
とする。また (2)(3) より s ≦ 1 …(5)

t = xy として
{ } の中 = -27t^2 + 9t(3-2s-2s^2) + s^2(9-4s-3s^2)　…(6)
(6) で s を一定と見て t を動かす。t の動く範囲は (2)(3)(4) より
0 ≦ t ≦ 1-s
t^2 の係数が負なので、端点の t = 0, 1-s について (6) が
非負になることを確認すればよい
t = 0 のとき (6) が正なのは (4)(5) より明らか
t = 1-s のとき
(6) = 9(1-s)^2 + s^2(5-3s)
これが正なのは (5) より明らか■

732:731
09/02/08 22:58:40
いろいろ間違ってた
× ((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
○ ((a+2b)(b+2c)(c+2a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3

あと、下から1行目と4行目の「正」は「非負」に直しといて

因みに、等号成立の必要条件は
a=b=c ∨ 3-u=0 ∨ s=t=0
なのは議論をたどれば分かる
結局、等号成立条件は
a=b=c か a,b,c のうちふたつ以上が 0 であること

733:１３２人目の素数さん
09/02/08 23:03:07
V

734:１３２人目の素数さん
09/02/09 16:59:31
>>727
x=a+2b, y=b+2c, z=c+2a とおくと、
右辺 = [ (-2/9)(x+y+z)^2 + xy+yz+zx ]^3.

X=[(x^2)/(yz)]^(1/3), Y=[(y^2)/(zx)]^(1/3), Z=[(z^2)/(xy)]^(1/3)
とし、X, Y, Z に関する相加相乗調和平均をそれぞれ A, G(=1), H とすると、
右辺/左辺 = (-2A^2 + 3/H)^3.

735:734
09/02/09 20:55:19
とはしてみたものの、もうだめかもわからんね

736:１３２人目の素数さん
09/02/09 21:01:40
5行で証明できたのかと思って一瞬驚愕した

737:１３２人目の素数さん
09/02/11 22:32:08
>>734-735
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u=abc とおくと　　　　　>>728
　(a+2b)(b+2c)(c+2a) = 3st + (a-b)(b-c)(c-a) = 3st + ⊿,
だから↓を示せればいいのだが。。。

〔補題〕
a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (3t/2s)(s^2 -3t),
ここに、⊿ = (a-b)(b-c)(c-a).

738:１３２人目の素数さん
09/02/12 00:57:10
107 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/11(水) 21:17:45
自然数nについての不等式
(n^n)/(e^(n-1))≦n!≦(n^(n+1))/(e^(n-1))
を証明せよ。
ただしeはネイピアの数

108 名前：１３２人目の素数さん[sage ] 投稿日：2009/02/11(水) 23:35:25
>>107
n=1 のときは等号成立。
n>1 のときは log(1+x) < x を使う。
　k･log(k) - (k-1)log(k-1) -1 = k･log(k) - (k-1){log(k) - log(k/(k-1))} -1
　= log(k) + (k-1)log(1 + 1/(k-1)) -1 < log(k) +1 -1 = log(k),
　(k+1)log(k) - k･log(k-1) -1 = (k+1)log(k) - k{log(k) + log((k-1)/k)} -1
　= log(k) - k･log(1 - 1/k) -1 > log(k) +1 -1 = log(k),
k=2,3,･･･,n についてたす。
　n･log(n) - (n-1) < log(n!) < (n+1)log(n) - (n-1),

739:１３２人目の素数さん
09/02/14 00:12:52
>>737
〔補題〕 a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),

(略証)
min(a,b,c) = m とおき、{a,b,c} = {m, m+x, m+x+y} とする。(x,y≧0)
然らば、　|⊿| = xy(x+y),　s = 3m+2x+y,　t = 3m^2 + 2m(2x+y) + x(x+y),　s^2 -3t = x^2 +xy +y^2,
∴　t(s^2 -3t) - ((√3)/2)s|⊿| = 3m^2･(x^2 +xy +y^2) + m･{4x^3 + 3(1-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} + x(x+y){x - ((√3 -1)/2)y}^2 ≧0,
等号成立は m=0 かつ x/y = (√3 -1)/2 のとき。

>>727
　(左辺) - (右辺) = (3st+⊿)^2 - 27t^3 = 9(t^2)(s^2 -3t) +6st⊿ + ⊿^2
　≧ (9-4√3)(t^2)(s^2 -3t) ≧ 0,

740:１３２人目の素数さん
09/02/21 03:25:55
〔問題〕
n は自然数, N = 3n(2n^2 +1) のとき
　{N + (n^2)/N}^2 < (2n＾2 +1)(3n^2 +1)(6n^2 +1) < {N + 1/(6n)}^2,

(略証)
・左側
　(左辺) = N^2 + 2n^2 + {(n^2)/N}^2 < N^2 +2n^2 +1 = N{N + 1/(3n)} = (中辺),
・右側
　(中辺) = N{N +1/(3n)} < ｛N +1/(6n)}^2,

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:555番)
京大入試作問者スレ①

741:１３２人目の素数さん
09/02/21 03:52:11
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

742:１３２人目の素数さん
09/02/21 18:13:33
不等式に興味が出たんだけど
とりあえずモノグラフ注文してみたよ
まとめwikiの「よく使う不等式」すらわかんないレベルだけどねorz
群とかわかんないし・・・

743:１３２人目の素数さん
09/02/26 13:49:15
>>742
分からないことを自分で調べていけば一生楽しめるぜ

744:１３２人目の素数さん
09/02/26 23:01:51
前スレ49が気になったので注文した…
楽しみだぜ！

(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

745:１３２人目の素数さん
09/03/02 17:46:17
ミラーみれなくね？

746:１３２人目の素数さん
09/03/03 23:52:29
【不等式 | 高校数学】
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)

747:１３２人目の素数さん
09/03/04 00:07:59
>>745
Yahoo ブリーフケースの有料化に伴い，
URLﾘﾝｸ(cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com)
に避難しました。

748:１３２人目の素数さん
09/03/04 00:23:39
>>746
グッジョブ！

749:１３２人目の素数さん
09/03/04 00:32:35
a≧b≧0，c≧d≧0のとき

√（a^2+ab+b^2）+√（c^2+cd+d^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）

750:１３２人目の素数さん
09/03/04 00:47:23
>>749は今月号の大数の宿題。
ネタバレになるから回答しないように。

751:１３２人目の素数さん
09/03/04 01:18:18
>>749
簡単すぎ

752:１３２人目の素数さん
09/03/04 01:38:52
>>749
過去に解いたことがある
入試問題かな？

753:１３２人目の素数さん
09/03/04 03:06:05
>>749
泥沼にはまった予感

754:１３２人目の素数さん
09/03/05 01:59:49
√(x^2)＋√(1－x^2)
の最大値の求め方って何通りありますかね？

755:１３２人目の素数さん
09/03/05 02:21:41
0

756:１３２人目の素数さん
09/03/05 17:02:58
鳥取市の誘致企業リコーマイクロエレクトロニクスにアルバイトに行っていた。
勤務態度不良でリコーのアルバイトをクビ同然で辞めた。

その後、鳥取市のテスコという工場に勤め真面目に働いていた。
「真面目に働いているのはリコーに対する報復（あてつけ？）」という噂でテスコをクビになった。
直後、テスコの社長から雇用保険の書類をとりに来るよう泣きそうな声で電話があった。
噂は嘘だと知ったのだろう。

雇用保険の手続きのため職安に行った。
職安の次長と相談すると、口止めをされた。
職安と会社は連絡を取り合っていたらしい。

しかし噂は狭い鳥取市である程度広がっているようだ。

リコーマイクロエレクトロニクスに電話を掛けた。
「君はうちのような一流企業が組織ぐるみでやったとでも思っているのかね？」
「そんなことはありませんけど」
「じゃあ会社には関係ないじゃないか」

しかし公的機関（職安）も巻き込んだ組織ぐるみの人権侵害の揉み消しである。

757:１３２人目の素数さん
09/03/05 21:51:51
(1) 実数xが-1<x<1,x≠0を満たすとき,次の不等式を示せ.

(1-x)^{1-(1/x)}<(1+x)^(1/x)

(2) 次の不等式を示せ.

0.9999^101<0.99<0.9999^100

758:１３２人目の素数さん
09/03/05 22:02:25
>>757
なんで命令形なの？むかつくんだけど

759:１３２人目の素数さん
09/03/05 22:38:50
>>757-758
今年の東大入試の第５問のコピペだから。

760:１３２人目の素数さん
09/03/05 23:20:42
>>758
消えろ！カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ

761:１３２人目の素数さん
09/03/06 12:53:46
>>757
これに30分もかけなければ今頃俺は

762:１３２人目の素数さん
09/03/07 00:22:41
>>757

(1)　f(x)=log(1-x) は上に凸だから、平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
　x<0 のとき g(x^2) > g(x),
　x>0 のとき g(x^2) < g(x),
よって
　x･g(x^2) < x･g(x),
　f(x^2)/x < f(x),
　(1/x)log(1-x^2) < log(1-x),

763:１３２人目の素数さん
09/03/07 00:43:26
>>757

(1)　f(x)=log(1-x) は上に凸で f(0)=0.
　平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
　x<0 のとき g(x) > g(x^2),
　x>0 のとき g(x) < g(x^2),
よって
　x･g(x) < x･g(x^2),
　f(x) < f(x^2)/x,
　log(1-x) < (1/x)log(1-x^2),
　1-x < (1-x^2)^(1/x),

(2)　(1-x^2)^{1+(1/x)} < 1-x < (1-x^2)^(1/x),
を示す....

764:１３２人目の素数さん
09/03/07 02:06:15
みんな解いた問題って保存してるの？

765:１３２人目の素数さん
09/03/07 02:11:03
>>757を改めて試験中の様にエレガントに解いてみせようとしたら間違いに気づいた。
落ちてそうだから死にたい。

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