不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

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589:１３２人目の素数さん
 08/10/20 04:57:18 
>>583  
　t - {(r-2)/3} = T,  
とおいて 2次の項を消すと、 
　t^3 - (r-2)t^2 + qt - r = T^3 + QT - R,  
ここに、Q = q -3{(r-2)/3}^2, R = r - q{(r-2)/3} + 2{(r-2)/3}^3,  
  
・3つの実根をもつから 
　Q <0,　R^2 < 4(-Q/3)^3,  
  
・解が t≧1 だから   
　(t-1)^3 -(r-5)(t-1)^2 + (q-2r+7)(t-1) + (q-2r-3) =0,  
の解がすべて t-1≧0.  
根と係数の関係より  
　r-5 ≧0,　q-2r+7 ≧0,　q-2r+3 ≦0,

590:１３２人目の素数さん
 08/10/20 05:37:48 
>>341  
  
A.436. Prove that |{n√2} - {n√3}| > 1/(7n^3),  
　for every positive integer n.  
 
(略証)  
0 ≦ {x} <1 より |t| <1, また、k = [n√3] - [n√2] とおくと　　　(← ガウスの記号)  
　t = {n√2} - {n√3}  
　　= n√2 - [n√2] - n√3 + [n√3]  
　　= k - (√3 -√2)n                                        (k∈N)  
　　= ((k^2 -5n^2) + (2√6)n^2) / (k + (√3 -√2)n)  
　　= ((k^2 -5n^2)^2 -24n^4) / ((k - (√3 +√2)n)(k + (√3 -√2)n)(k + (√3 +√2)n))  
　　= (k^4 - 10(kn)^2 + n^4) / ((t -2√2･n)(t +2(√3 -√2)n)(t +2√3･n)),  
　分母は0でない整数。 
  
・ n≧20 のとき  
　|t -2√2･n| < 2√2･n + 1 ≦ (2√2 + 1/20)n,  
　t +2(√3 -√2)n < 2(√3 -√2)n + 1 ≦ (2(√3 -√2) + 1/20)n,  
　t +2√3･n < 2√3･n +1 ≦ (2√3 + 1/20)n,  
　辺々掛けて  
　|分母| < 6.9356560324845688673761191952915･･･ * n^3,  
　より成立。  
  
・n≦20 のとき、  
　(左辺) ≧ (√3 -√2)/n^3 > 1/(√10･n^3) > 1/(7n^3).

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