不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

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57:１３２人目の素数さん
 07/06/07 21:52:14 
>51 上  
  
[A.422]  
Let x_1,x_2,…,x_n,x_(n+1) be positive real numbers with x_1+x_2+…+x_n = x_(n+1). 
Prove that  
　Σ[i=1,n] √{x_i[x_(n+1) - x_i]} ≦ √{ Σ[i=1,n] x_(n+1)[x_(n+1) - x_i]},  
(略解)  
(左辺) ≦ (1/n){Σ[i=1,n] √x_i)}{Σ[j=1,n] √(x_{n+1} - x_j)}　　(← 逆順序積 ≦ 乱順序積)  
　　≦ √{Σ[i=1,n] x_i}･√{Σ[j=1,n] (x_{n+1} - x_j)}　　　　　　　(← コーシー)  
　　= √(x_{n+1})･√{Σ[j=1,n] (x_{n+1} - x_j)}  
　　= √{Σ[j=1,n] x_{n+1}[x_{n+1} - x_j]}  
　　= (右辺).  
  
[B.3989]  
　a,b,c are positive real numbers, such that a^2 +b^2 +c^2 +abc = 4.  
　Prove that a+b+c ≦ 3.  
(略解)  
　1-a,1-b,1-c のうち2つは同符号、よって (1-b)(1-c) ≧0 としてもよい。 
　3(3-a-b-c) + (a^2 +b^2 +c^2 +abc -4)  
　= (1/2)(2-a-b)^2 + (1/2)(2-b-c)^2 + (1/2)(2-c-a)^2 -(1-a)(1-b)(1-c)  
　= (1/4)(3-2c-a)^2 + (1/4)(3-2b-a)^2 + (1/2)(1-a)^2 + a(1-b)(1-c)  
　≧ a(1-b)(1-c).  
  
[C.892]  
Prove that if x,y,z are positive real numbers and xyz=1, the values of the expressions  
　 1/(1+x+xy),　y/(1+y+yz),　xz/(1+z+xz)  
cannot all be greater than 1/3.  
(略解)  
　 1/(1+x+xy) = yz/(1+y+yz) =　z/(1+z+xz),  
　xy/(1+x+xy) =　y/(1+y+yz) =　1/(1+z+xz),  
　 x/(1+x+xy) =　1/(1+y+yz) = xz/(1+z+xz),  
辺々たす.

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