不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

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566:１３２人目の素数さん
 08/10/05 04:43:19 
arctan のTaylor 展開（Gregory-Leibnitz級数）を使う方法もあり 
これはかなり色んな亜種があってMachin-like formulaと呼ばれている。 
π/4 = 4arctan(1/5) - arctan(1/239) が本家Machinだけど、これ以外にいろいろあって 
π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/7) とか π/4 = 5arctan(1/7) + arctan(3/79) はEulerによる。 
Eulerは後者を使って一時間で20桁計算したらしい。ただしEulerは暗算の達人だったので 
自分も出来るなどとはあまり思わないほうが良いかも。 
ただarctanを使って上から評価はきちんと厳密にやると面倒。ほぼ等比級数のスピードで収束。 
 
Ramanujanの9801公式とかChudnovsky兄弟の公式なんてのもあって 
これはきちんと証明されたのはつい最近のこと。厳密な上からの評価には向かなさそう。 
計算機で計算する場合は算術幾何平均を利用した 
Gauss-Legendre algorithm(Brent-Salamin algorithm) 
とかBorwein's algorithmとかいうのも使われる。 
 
円周率の公式と計算法 
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/pi04.pdf 
 
イロモノとしてはBBP公式なんていう、16進数表記での n 桁目を 
 n-1 桁までを計算せず直接に計算できるような公式や、 
Buffon's needleと言って針を等間隔の縞模様にたくさん 
確率計算から近似的にπを求める、というのもある。 
統計的に処理できれば、これでも科学的には実験で値を測定したことになる。 
数学的には却下だが。 
 
残りの参考サイト 
円周率の公式集 暫定版 
http://www.pluto.ai.kyutech.ac.jp/plt/matumoto/pi_small/ 
http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Pi_algorithms 
http://en.wikipedia.org/wiki/Pi 記事内のリンクも参照。 
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2

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