不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

561:１３２人目の素数さん
08/10/04 20:39:17
〔問題096〕
連続函数f(x): R→R に対して、以下の2つの方程式(1)～(4)を考える。
　f(x) = x　　… (1)
　f(f(x)) = x　　… (2)
　f(f(f(x))) = x　　… (3)
　f(f(f(f(x)))) = x　　… (4)
方程式(1)が実数解を持たないならば、方程式(2)～(4)も実数解を持たないことを示せ。

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:096番), 104, 118
京都大学入試作問者スレ①

562:１３２人目の素数さん
08/10/04 20:41:28
>>561 スレ違いっぽいが･････

(略証)
　f(x) - x = g(x) とおくと (1) は
　g(x) = 0,
題意により、g はすべての実数xで連続。もし
　g(a) ≦ 0 ≦ g(b),
なる a,b があったと仮定すれば、中間値の定理により、(1)が実数解をもつ。
これは題意に反する。
∴　g(x) は定符号。

題意より f(0) ≠ 0,
f(0) < 0 のとき g(x) <0,
　x > f(x) > f(f(x)) > f(f(f(x))) > …
f(0) > 0 のとき g(x) >0,
　x < f(x) < f(f(x)) < f(f(f(x))) < …

563:１３２人目の素数さん
08/10/04 23:49:07
>>557
評価がかなりｼﾋﾞｱなんで､手計算だとその方法では無理。

564:１３２人目の素数さん
08/10/05 00:26:53
>>562
関数方程式ヲタもいるから、okokよん！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

565:１３２人目の素数さん
08/10/05 04:42:02
e のほうはTaylor展開の収束がやたら速いから
十数桁ならすぐ計算できる。（解析概論に例題として載ってる）

だからこの問題は要するに
π を誤差 0.00 001/400・5 = 1/200,000,000 ・100% 程度で
上から評価せよという問題とほぼ同義。11桁くらい正しく出ればうまくいく。

2^n 角形による近似は誤差が約 1/2 倍で小さくなっていくだけだから
1 桁進むのに 3.3 回くらい掛かる。 30 回程度は計算しないといけないので
一日じゃ無理そう。じゃあ不可能なのかというとそうでもなくて
1579年にVièteが外接正 393216 角形の周長から π ＜ 3.1415926537 を導出している。
1596-1610年にはLudolph van Ceulenが正 32212254720 ( = 60・2^29 ) 角形の周長から
32（35？）桁まで正しく計算している。独逸では彼の業績を記念して円周率をLudolph数とも言う。
和算家の村松茂清が同じ方法で七桁正しく計算している。Archimedesから続く伝統的方法で
中国人は劉徽のalgorithmというらしい。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
# 建部賢弘は正1024角形を用いて42桁まで求めたとか書いてあるけど
# これは42桁まで正しかったんだろうか？だとするとかなり工夫を凝らした方法のはずだが。

で、もっと早く求めたいなら色んな方法があるが、
θ ＜ (2sin θ + tan θ)/3 を使うSnell（Ludolphの弟子）の方法（1621）ってのがあって、
Huygensはこれを改良して正六角形だけで π ＜ 3.1415926538 まで出している。
これ系を使うのが一番賢いかな。

566:１３２人目の素数さん
08/10/05 04:43:19
arctan のTaylor 展開（Gregory-Leibnitz級数）を使う方法もあり
これはかなり色んな亜種があってMachin-like formulaと呼ばれている。
π/4 = 4arctan(1/5) - arctan(1/239) が本家Machinだけど、これ以外にいろいろあって
π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/7) とか π/4 = 5arctan(1/7) + arctan(3/79) はEulerによる。
Eulerは後者を使って一時間で20桁計算したらしい。ただしEulerは暗算の達人だったので
自分も出来るなどとはあまり思わないほうが良いかも。
ただarctanを使って上から評価はきちんと厳密にやると面倒。ほぼ等比級数のスピードで収束。

Ramanujanの9801公式とかChudnovsky兄弟の公式なんてのもあって
これはきちんと証明されたのはつい最近のこと。厳密な上からの評価には向かなさそう。
計算機で計算する場合は算術幾何平均を利用した
Gauss-Legendre algorithm(Brent-Salamin algorithm)
とかBorwein's algorithmとかいうのも使われる。

円周率の公式と計算法
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)

イロモノとしてはBBP公式なんていう、16進数表記での n 桁目を
n-1 桁までを計算せず直接に計算できるような公式や、
Buffon's needleと言って針を等間隔の縞模様にたくさん
確率計算から近似的にπを求める、というのもある。
統計的に処理できれば、これでも科学的には実験で値を測定したことになる。
数学的には却下だが。

残りの参考サイト
円周率の公式集暫定版
URLﾘﾝｸ(www.pluto.ai.kyutech.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) 記事内のリンクも参照。
Wikipedia項目ﾘﾝｸ

567:１３２人目の素数さん
08/10/05 15:38:02
全面的に数値計算するのは題意に反してるんだが。
と思ったが>>410には書いてないか。数検の方にはなるべく数値計算せずに、と書いてある

568:１３２人目の素数さん
08/10/05 17:33:57
綺麗には出て来ないと思うけどなあ。
だから「なるべく」と数値計算が少ない解答を
高く評価するという表現に止めてあるわけで。

Snellの公式改良してsinやtanのTaylor展開使ったら
数値計算は少なくて済むと思う。

569:１３２人目の素数さん
08/10/05 18:00:03
>>410は数値計算しないで示すことができるの？
もしできても普通思いつきもしないようなことするんだろうな(人´Ａ`;)

570:１３２人目の素数さん
08/10/06 20:05:15
>>410 のもとの問題文は↓(>>430)

円周率をπ、自然対数の底をeとするとき
　　π^4+π^5≒e^6　　(400余りの数値で小数点以下4けたまで同じ)
で、しかも右辺が僅かに大きいことがコンピュータによる数値計算で知られています。
　数値計算をせずに
　　π^4+π^5＜e^6
であることを理論的に証明しなさい。

571:KingMind ◆KWqQaULLTg
08/10/06 20:54:56
Reply:>>570 数値計算もまた誤差の評価で成り立っている。

572:１３２人目の素数さん
08/10/06 23:59:10
>>570
論理的になら証明できるんだけど、残念！

573:１３２人目の素数さん
08/10/07 00:09:55
>>570
いかにもエレ解な問題だな

574:１３２人目の素数さん
08/10/07 01:17:05
これなんで自然に出て来なさそうかというと、
π^4+π^5≒e^6
ってのは偶然近いだけで、別に
深い数学的事実の表れとかじゃないからなんだよなあ、

575:１３２人目の素数さん
08/10/08 01:17:31
>>534
URLﾘﾝｸ(www3.tokai.or.jp)
最後の2つを参照、作成時刻にも注目

576:１３２人目の素数さん
08/10/09 21:33:02
>373-374 , 394
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:121番)

f(x) = 6/(1-x) - 1/x とおくと、
　(左辺) = f(a) + f(b) + f(c),
(a,b,c)の変域は、平面a+b+c=1上の a=1/2, b=1/2, c=1/2 を辺とする正三角形（但し頂点は除く）

・境界上の極大
　6/x + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},
　1/x + 1/(0.5-x) = 8 + (1-4x)^2 /{x(1-2x)},
より、辺 c=1/2 では
　(左辺) = f(a) + f(1/2 - a) + f(1/2) = 18 - (1-4a)^2 {7+(1-4a)^2}/{4a(1-a)(1+2a)(1-2a)} ≦ 18,
等号成立は (a,b,c) = (1/4,1/4,1/2) のとき。

・内部の極大
生姜ないから、微分法を使おう。
束縛条件（a+b+c=1）があるので、ラグランジュの未定乗数λを使う。
　I(a,b,c;λ) = f(a) + f(b) + f(c) - λ(a+b+c-1),
　∂I/∂a = ∂I/∂b = ∂I/∂c = 0　から
　f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ,　　f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
∴　(a,b,c; λ) = (1/3, 1/3, 1/3; 45/2) で極大値 18 をとる。

なお、この極大と境界上の極大(1/4,1/4,1/2)の間の鞍点（峠点）↓も解ではあるが、これらは捨てる。
　(a,b,c; λ) = (0.279000307274921, 0.279000307274921, 0.441999385450158, 24.3886725897975)

しかし･････後味わるいな。

577:576
08/10/09 21:47:21
・境界上の極大
　6/(1-x) + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},

578:１３２人目の素数さん
08/10/10 00:57:08
後味の悪さってのは、やはり、中高生でも分かる解法じゃないからだろうな

579:１３２人目の素数さん
08/10/11 00:16:10
ド田舎に住んでいるんだけど、近所の大学にAMMが置かれなくなってネタがたりねぇ…

580:576
08/10/13 04:25:00
>>　f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ,
を解くところを補足しとく。
　f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
　f "(x) = 12/(1-x)^3 - 2/(x^3),
∴　{x - 1/[1+6^(1/3)]}*f "(x) ≧ 0,
∴　区間 (0,1/2] で、f '(x) が等しいxは高々2個しかない。
∴　極値では、a,b,c のうちの2つは一致する。
a=b, c=1-2a としてよい。このとき
　(左辺) = 2f(a) + f(1-2a)
　　= 2{6/(1-a) -1/a} + 6/(2a) - 1/(1-2a)
　　= (1+8a-21a^2)/{a(1-a)(1-2a)}
　　= 18 - (4a-1)(3a-1)^2 /{a(1-a)(1-2a)}
　　≦ 18,　　　　　(1/4 ≦ a ≦ 1/2).
等号成立は a=1/4 と 1/3 のみ。

なお、a=0.279000307274921･･･には極小（鞍点、峠点）がある。

581:１３２人目の素数さん
08/10/18 06:28:12
>>341
A.435. Prove
　(a+b+c)*(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)},
where 1≦a,b,c≦2.

(略解)　　　　　　　　　　　　　　　(>>394 を参照)
>>373-374 から,
　6/(b+c) - 1/a + 6/(c+a) - 1/b + 6/(a+b) - 1/c ≦ 18/(a+b+c),
両辺に a+b+c を掛けて,
　6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} - (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≦ 0,

582:１３２人目の素数さん
08/10/18 08:19:15
>>341

B.4021
a_k = 1 + b_k,　b_k≧0 とおくと
　(左辺) = (b_1 +2)(b_2 +2)(b_3 +2)･････(b_n +2) ≧ (b のn～2次の項) + 2^(n-1)･(b_1 + b_2 + ･････ + b_n) + 2^n
　　　≧ {2^(n-1)}{b_1 + b_2 + ･････ + b_n +2) = (右辺).

A.433　A.436　A.439　A.447 は解答付き。

583:１３２人目の素数さん
08/10/19 00:12:38
>>373-374 を何とか高校ﾚﾍﾞﾙで解けないか頑張ってみて
次の問題に帰着され所までいって挫折した。
より遠ざかった感もあり．．．

t に関する実係数3次方程式 t^3 - (r-2)t^2 + qt - r＝0 が全て1以上の実数解を3個持てば､
r(r+1)≧6q が成り立つ。

584:583
08/10/19 00:45:17
4 r^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0、r≧5、q≧2 r-7 ならば
r (r+1)≧6 q が成り立てば良いか．．．駄目だ．．．

585:584
08/10/19 00:46:41
× 4 r^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0
○ 4 q^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0

586:１３２人目の素数さん
08/10/19 07:23:26
〆切過ぎたから今月の大数の宿題

a_1=2，a_(n+1)={1+(2+√3)a_n}/{(2+√3)-a_n}

a_n<5を示せ

587:１３２人目の素数さん
08/10/19 11:54:01
>586
　a_(n+1) = (2-√3 + a_n)/{1 - (2-√3)a_n}
　　　= {tan(π/12) + a_n}/{1 - tan(π/12)a_n},
∴　a_n = tan(α + (n-1)π/12),
ここに α = arctan(a_1), a_n は周期12をもつ。
　a_(n+6) = -1/a_n.
∴　はじめの6項を求めれば分かる。

588:583-585
08/10/19 15:08:21
多投スマ祖。

q≦2 r - 3 を忘れてた。
4 q^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3 ≦ 0 を q について解いて、
r-q 平面でグラフ書いて領域で責めたら何とかなった。

589:１３２人目の素数さん
08/10/20 04:57:18
>>583
　t - {(r-2)/3} = T,
とおいて 2次の項を消すと、
　t^3 - (r-2)t^2 + qt - r = T^3 + QT - R,
ここに、Q = q -3{(r-2)/3}^2, R = r - q{(r-2)/3} + 2{(r-2)/3}^3,

・3つの実根をもつから
　Q <0,　R^2 < 4(-Q/3)^3,

・解が t≧1 だから
　(t-1)^3 -(r-5)(t-1)^2 + (q-2r+7)(t-1) + (q-2r-3) =0,
の解がすべて t-1≧0.
根と係数の関係より
　r-5 ≧0,　q-2r+7 ≧0,　q-2r+3 ≦0,

590:１３２人目の素数さん
08/10/20 05:37:48
>>341

A.436. Prove that |{n√2} - {n√3}| > 1/(7n^3),
　for every positive integer n.

(略証)
0 ≦ {x} <1 より |t| <1, また、k = [n√3] - [n√2] とおくと　　　(← ガウスの記号)
　t = {n√2} - {n√3}
　　= n√2 - [n√2] - n√3 + [n√3]
　　= k - (√3 -√2)n (k∈N)
　　= ((k^2 -5n^2) + (2√6)n^2) / (k + (√3 -√2)n)
　　= ((k^2 -5n^2)^2 -24n^4) / ((k - (√3 +√2)n)(k + (√3 -√2)n)(k + (√3 +√2)n))
　　= (k^4 - 10(kn)^2 + n^4) / ((t -2√2･n)(t +2(√3 -√2)n)(t +2√3･n)),
　分母は0でない整数。

・ n≧20 のとき
　|t -2√2･n| < 2√2･n + 1 ≦ (2√2 + 1/20)n,
　t +2(√3 -√2)n < 2(√3 -√2)n + 1 ≦ (2(√3 -√2) + 1/20)n,
　t +2√3･n < 2√3･n +1 ≦ (2√3 + 1/20)n,
　辺々掛けて
　|分母| < 6.9356560324845688673761191952915･･･ * n^3,
　より成立。

・n≦20 のとき、
　(左辺) ≧ (√3 -√2)/n^3 > 1/(√10･n^3) > 1/(7n^3).

591:１３２人目の素数さん
08/10/20 23:06:03
>590
　分子は0でない整数。

>>565
Snellの方法の略証
相加･相乗平均より
　{ cos(x) + cos(x) + 1/cos(x)^2 }/3 > 1,
これをxで積分する。 [0<x<θ]

592:１３２人目の素数さん
08/10/27 01:28:31
>>341

B.4049. a,b,c are positive real numbers, such that ab+bc+ca=t. Prove that
　　　a/(a^2 -bc+3t) + b/(b^2 -ca+3t) + c/(c^2 -ab+3t) ≧ 1/(a+b+c),

(略証)
　a+b+c =s, abc =u とおく。
　(左辺) - (右辺) = 2{us^3 + (s^2 -4t)t^2} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s}　　････(*)
　　= 2{u(s^4 -9t^2) + (s^3 -4st +9u)t^2} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s^2}
　　= 2{u(s^2 +3t)F_0 + t^2･F_1} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s^2}
　　≧ 0,
ここで Schur の不等式　F_0 = s^2 -3t ≧0,　F_1 = s^3 -4st +9u ≧0 を使った。

(*) a^2 -bc =A, b^2 -ca =B, c^2 -ab =C とおくと
　S = A + B + C = s^2 -3t,
　T = AB + BC + CA = -t(s^2 -3t),
　U = ABC = us^3 - t^3,
　(左辺) = a/(A+3t) + b/(B+3t) + c/(C+3t)
　　= (aBC + AbC + ABc +9st^2)) / (U +3tT +9t^2･S +27t^3)
　　= 2{us^3 + (s^2 -4t)t^2}/{(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s}.

593:１３２人目の素数さん
08/10/27 02:43:50
次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
30分以内に確実にやって下さいと要請されたらどうするかっていうこと。

[問題]
abc=2なる正の実数a,b,cの組に対して、次の式の最小値を求めよ
1/(a(b+1))＋1/(b(c+1))＋1/(c(a+1))

594:１３２人目の素数さん
08/10/27 08:44:05
>>593
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？

新手の釣り師か？

595:１３２人目の素数さん
08/10/27 09:34:46
計算機で解けば？

596:１３２人目の素数さん
08/10/27 09:45:21
釣りじゃないですよ。
この問題の出典は数学検定1級の2次という変なところなのですが、
試験時間が短めで、時間制限を気にしないといけないのです。
もちろん値だけではだめで、論証しないといけません。
なので、『現実的な方法』という言葉を使いました。
そこで皆様の知恵をかりたいのですが、どうでしょうか。

597:１３２人目の素数さん
08/10/27 09:55:56
それのどこが不等式？

598:１３２人目の素数さん
08/10/27 16:59:40
>597さん
a=b=c=2^(1/3)で最小を取ることが予想できるので、
abc=2なる任意に正の実数a,b,cに対して、
次の不等式を示すことになるので、
そういう意味で不等式の問題とみなせると思いました。

1/(a(b+1))＋1/(b(c+1))＋1/(c(a+1)) ≧ 3/(2^(1/3)*(1+2^(1/3)))

599:１３２人目の素数さん
08/10/27 23:10:30
>>596
お前な、順序が間違ってるだろ！
まず、>>596を書いてから、>>593で質問だろ！
情報を小出しにするなとママに教わらなかったのか？

600:１３２人目の素数さん
08/10/29 03:55:59
Σ［k＝1→n］（1／k）＞5
となる最小の整数nを求めよ

a，b，cが相異なる正の数で√a＋√b＋√c＝1を満たすとき
｛ab／（b－a）｝log（b／a）＋｛bc／（c－ b）｝log（c／b）＋｛ca／（a－c）｝log（a／c）≦1／3
を示せ

601:１３２人目の素数さん
08/10/29 04:24:00
Σ［k＝1→n］（1／k）= log(n)＋γ＋O(1/n) に注意すると、
だいたいn=[e^(5-γ)]＝83 とわかる。
答えはn=83

602:１３２人目の素数さん
08/10/29 19:49:32
Σ［k＝1→n］（1／k）＞4
となる最小の整数nを求めよ

これだと高校生でも何とかできるか

603:１３２人目の素数さん
08/10/29 21:34:14
それの改良問題。
[Σ［k＝1→n]（1／k)] = [e^(5-γ)]
を満たさない正整数nは無限に存在するか。
ただし、γはオイラー定数とし、
[x]はxの整数部分を表すとする。

これだと愚直に計算機使うだけじゃ無理。

604:１３２人目の素数さん
08/10/29 21:40:55
>603
問題ミス。
Σ［k＝1→n］（1／k）＞m を満たす最小の整数nが、
n = [e^(m-γ)] とならない正整数mは無限に存在するか。

605:１３２人目の素数さん
08/10/29 23:24:13
>>600
S_82 = 5 -　 971061970808803141778039548955447 / D_5,
S_83 = 5 + 16703434187251287967291034353582814 / (D_5 * 83),
D_5 = 2^6 * 3^4 * 5^2 * 7^2 *11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79,

>>602
S_30 = 4 - 11675421053 / D_4,
S_31 = 4 + 1967151510157 / (D_4 * 31),
D_4 = 2^4 * 3^3 * 5^2 *7*11*13*17*19*23*29,

S_11 = 3 - 2221 / D_3,
S_12 = 3 + 89 / D_3,
D_3 = 2^3 * 3^2 * 5*7*11,

S_3 = 2 - 1/D_2,
S_4 = 2 + 1/(D_2*2),
D_2 = 2 * 3,

606:592
08/10/29 23:35:18
>>592 の訂正, ｽﾏｿ.

　(左辺) = a/(A+3t) + b/(B+3t) + c/(C+3t) = (3us + 8t^2)s/(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3).

607:１３２人目の素数さん
08/10/31 21:53:26
>>600

↓の補題に x=√(a/b), √(b/c), √(c/a) を代入してたす。
　　(左辺) < √(ab) + √(bc) + √(ca) < (1/3)(√a + √b + √c)^2,

〔補題〕
x>0, x≠1 のとき
　{x/(x^2 -1)}log(x^2) < 1,
(略証)
　f(x) = x -(1/x) -2log(x),
とおくと、f(1) =0,
平均値の定理より
　{f(x)-f(1)}/(x-1) = f '(ξ) = (1 - 1/ξ)^2 >0,　　　(ξは1とxの中間にある)
これに x/(x+1) を掛ける。

ハｧハｧ

608:１３２人目の素数さん
08/10/31 22:19:48
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

609:１３２人目の素数さん
08/11/02 04:23:18
正の実数x,y,zに対して次を示せ。
(xy)^3/(x^3+1)＋(yz)^3/(y^3+1)＋(zx)^3/(z^3+1) ≧ 6/{xyz(1＋xyz)}
できる神いる？

610:１３２人目の素数さん
08/11/02 06:46:30
>>609
x=y=z=1のときとか成り立たないんだが・・・
なんか間違えてねーか？

611:１３２人目の素数さん
08/11/02 10:20:43
>>593 >>598の変形し損ね？

612:１３２人目の素数さん
08/11/04 04:11:04
>>600
次の問いに答えよ。
（１） xが正の数のとき│log x│≦│x-1│/√x を示せ。
（２） p, q, r がp + q + r =1を満たす正の数のときp＾2+ q＾2+ r＾2 ≧1/3を示せ。
（３） a , b, c が相異なる正の数で、√a + √b　+ √c　= 1を満たすとき、
｛ab/(b - a)｝・ log(b/a) + ｛bc/(c - b)｝・ log(c/b) + ｛ca/(a - c)｝・ log(a/c) ≦　1/3
を示せ。　　　　　　　　　　　　　（２００７　阪大）

613:１３２人目の素数さん
08/11/04 10:21:31
>>612
誘導なしだったら、いい感じだね

614:１３２人目の素数さん
08/11/04 20:40:08
test

615:不等式だけの学会があるらしい
08/11/04 21:07:44
lemmma3
a1≧a2,b1≧b2 -> (a1-a2)(b1-b2)≧0 -> a1*b1+a2*b2≧a1*b2+a2*b1

TH2
任意の自然数nに対して：a1^n+a2^n+,,,+an^n≧n*a1*a2*,,,*an
証明)
n=1:a1≧a1
n=kの時成立していると仮定しn=k+1で成立する事を示す。
まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)①と仮定しても一般性を失わない。

a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^(k+1)+a(k+1)^(k+1)
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*ak +a(k+1)^k*a(k+1)
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^k*ak
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k-1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k+1)
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k+1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k-1)
(ここまでの不等号は全てlemma3と①による)
,,,,
≧(a1^k+a2^k+,,,+ak^k)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
(,,,及び最後の不等号もlemmma3と①による。
ai^k*ai+a(k+1)^i*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1)≧ai^k*a(k+1)+a(k+1)^(i-1)*ai*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1)
がやはりlemmma3と①によって成立するので、この事が言える)

≧k*(a1*a2*,,,*ak)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
(この不等号は帰納法の仮定による）

=(k+1)*a1*a2*,,,*ak*a(k+1)

よってTH2が成立。

TH1.TH2において、Ak=ak^nと置いていけば、明らかな相加相乗平均の不等式が現れる。

という事が今年の夏、8/18だか8/19に日本の高校の教師が示された。

616:１３２人目の素数さん
08/11/04 21:11:03
>>615
>>437

617:不等式だけの学会があるらしい
08/11/04 21:19:36
日本の高校の教師によって示された。

俺はまず、ハーディーにあたってみたが、あの不等式の本ではもう少し一般化した式が
もう少し、めんどくさく示されており、ハーディーとリトルウッドの明晰でわかりやすいスタイルの中には入らない。

次に「天書の証明」にあたったが、コーシーがほんの一歩、めんどくさい証明をしており、
これが、美しい部類の物として、「載っていた」

シンプルであり、アルゴリズムの様な、簡単な、美しい証明だと思う。

「日本の高校の先生が「天書」から証明を盗んできた。」

618:１３２人目の素数さん
08/11/05 00:00:11
>>617
「天書の証明」は、数ヲタとして持っておいたほうがいいですか？
本棚に飾っておいたほうがいいですか？
てか、オヌヌメですか？

最近、本を買っていないので何か買いたい気分です( ﾟ∀ﾟ)

619:１３２人目の素数さん
08/11/05 00:27:11
>>618
あれは持っておいて損はない。
俺は日本語版（第２版）と原書（第３版）を両方買った。

620:１３２人目の素数さん
08/11/05 00:31:41
アルゴリズムの様な、簡単な、美しい証明

のアルゴリズムのようなっていう比喩が全く意味が分からん

621:１３２人目の素数さん
08/11/05 00:47:21
>>620
俺は分かるぞ。手続きが明らかになる構成的証明だということだと思う。
相加平均と相乗平均という，全く形が異なるものの間を一気に飛ぶのではなく，
相加平均が，１つずつ項を入れ替えてゆくことで少しずつ小さくなってゆき，
やがて相乗平均に至るという，途中経過が明らかになる証明だ，という意味だろう。
俺も全く同感だ。

622:１３２人目の素数さん
08/11/05 05:24:54
x,y,z≧0,x+y+z=1のとき
xy+yz+zx-2xyzの最大値、最小値を求めよ

ところで質問なんですが
任意の整数nに対して
n^2+an+b≧0
となるようなa,bの条件出すこと出来ますか？

623:１３２人目の素数さん
08/11/05 07:24:12
>>622
(1-2x)(1-2y)(1-2z)を展開すればわかる。

a^2-4b≦0

624:１３２人目の素数さん
08/11/05 07:32:47
すまん。整数だったな。
0<a^2-b≦1これも必要かな……。

625:１３２人目の素数さん
08/11/06 20:53:25
基本対称式を使った初心者でも何とか解ける不等式を教えてください。

626:１３２人目の素数さん
08/11/06 23:19:08

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ
　くく　へﾍﾉ ←>>625

627:１３２人目の素数さん
08/11/07 00:08:42
>>625
x_1, ……, x_n を正の数とする。
これらの相加平均を A，
これらの二乗平均平方根を M ( =√{((x_1)^2+……+(x_n)^2)/n} )，
これらから作られる２次の基本対称式を S (=x_1x_2+……) とおく。

このとき，A≧M*n^{S/{n(n-1)M^2}-1/2} が成り立つことを示せ。（出典：Part2-847）

--------------
x_1, ……, x_n を正の数とする。
これらから作られる k 次の基本対称式を e_k とおき，
A_k=(e_k / C[n,k])^(1/k) とおく（C[n,k]は二項係数）。
このとき，
A_1≧A_2≧……≧A_n
が成り立つことを示せ。（出典：マクローリンの不等式）

628:１３２人目の素数さん
08/11/07 19:37:45
>>620
>>621さんに付け加える事は何もないですが、要はlemma3がサブルーチンで、この証明ではほとんどが
このサブルーチンで片がついているのです。プログラムでも、すっきりした簡単なメインルーチンと
もし、サブルーチン一つでかなりな複雑な事柄が片付けば、それは「美しいプログラム」だと
思います。
　要はわかりやすく、読みやすい。と言う事かなと思います。話はむずかしくではなく、簡単でわかりやすい
方が「美しい」と思います。あなたが例えば、人様のノートをテスト前にコピーさせてもらった場合、要約もすばらしく、
論点も明確なノートなら、やはり、「美しい」と思うのではないでしょうか？
それと同じだと思います。

629:>>615訂正
08/11/07 19:53:16
「まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)①と仮定しても一般性を失わない。」の位置がおかいかったようです。
n=1の前に、
「まず、a1≧a2≧,,,≧an①と仮定しても一般性を失わない。」が正しいです。

630:１３２人目の素数さん
08/11/07 20:07:16
反応がないのは>>437で既出だからだよ>>615くん
どこの山から出てきたんだ？

631:１３２人目の素数さん
08/11/07 20:09:40
単発スレ立てる厨房よりはマシじゃね？

632:１３２人目の素数さん
08/11/07 23:55:05
>>630-631
少し黙ってろ！

633:１３２人目の素数さん
08/11/08 03:26:54
a，b，cは自然数で
（1/a)＋（2/b)＋（3/c)＜1
を満たすとき
（1/a)＋（2/b)＋（3/c)の最大値を求めよ

f（a）＝∫［0→π/4］｜sinx－a cosx｜dx
の最小値を求めよ

x≧0において
f’（x）＞0，∫［0→x］ f（t）dt≧x
ならば，x＞0においてf（x）＞1を示せ

634:１３２人目の素数さん
08/11/08 03:32:44
>>633

f（a）＝∫［0→π/4］｜sinx－a cosx｜dx
の最小値を求めよ

不等式では、ない。これ去年、代ゼミに通ってた友人が持ってきたテキストにあったな。

635:１３２人目の素数さん
08/11/08 09:53:36
>>634
それは東工大の過去問だな。sinx=t と置換すれば ∫|f(t)-a|dt の形になるので，はみ出し削り論法で終わり。

636:１３２人目の素数さん
08/11/08 20:04:09
>>633 (上)
　1-(1/1332),
(a,b,c) = (37,9,4) のとき.

>>633 (中)
　f(a)　=　1 - (1+a)/√2,　　　　　　　(a≦0)
　　　　= -1 - (1+a)/√2 +2√(1+a^2),　(0≦a≦1)
　　　　= -1 + (1+a)/√2,　　　　　　　(a≧1)

637:１３２人目の素数さん
08/11/08 22:43:41
>>636
それf(a)求めただけやん(笑)

638:１３２人目の素数さん
08/11/08 23:55:39
>>637
具体的に書けるから自明すぎてつまらないと言うメッセージなのかもしれない

639:１３２人目の素数さん
08/11/09 01:17:19
>>638
おまいはテレパスか！

640:１３２人目の素数さん
08/11/09 02:10:10
>>636
上教えてちょ

641:636
08/11/09 21:47:35
>>637
　f '(a) = 0 から a = 1/√7, 最小値は
　f(a) = -1 + (√7 -1)/√2 = 0.16372191220042316839103000405343･･･

642:１３２人目の素数さん
08/11/09 22:10:22
>>633 (下)

部分積分を使うらしい･･･
　∫[0→x] f(t)dt = [ t･f(t) ](t=0→x) - ∫[0→x] t･f'(t)dt < [ t･f(t) ](t=0→x) = x･f(x).

643:１３２人目の素数さん
08/11/09 23:17:35
その部分積分は名古屋大かどっかの問題にあったな
解いたことがある。もう忘れてたけど。

644:ヘルマンワイル先生生誕記念カキコ
08/11/09 23:48:18
≧≦

645:446
08/11/10 23:33:38
>>642
g'(x)≧0 かつ ∫[0→x] g(x)≧0 と同値だから lim[x→0] g(x)≧0 が自然に言えて解決．

646:１３２人目の素数さん
08/11/11 08:00:00
1/37+2/9+3/4=1331/1332.
1/31+2/3+3/10=929/930.
1/5+2/41+3/4=819/820.
1/38+2/9+3/4=683/684.
1/15+2/11+3/4=659/660.

647:１３２人目の素数さん
08/11/13 03:04:12
不等式のノート作ってる方とかいます？

648:１３２人目の素数さん
08/11/13 06:56:52
>>647
名前を書かれると無性に不等式を証明したくなるとか？

649:１３２人目の素数さん
08/11/13 13:03:58
>>647
てふでまとめていますが何か？

650:１３２人目の素数さん
08/11/14 07:59:40
>>649
もううｐせざるを得ないだろう

651:１３２人目の素数さん
08/11/14 10:04:11
B5サイズで50枚以上になるからなぁ…、断るッ！

652:１３２人目の素数さん
08/11/18 23:21:51
【(2nCn)/(n+1)】カタラン数【(2n)!/(n+1)!n!】より

64 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/03(木) 18:20:39
〔不等式064〕
　C[2m,m] = (4^m)/√(mπ) * exp(-1/8m + O(1/m^3)) ～ (4^m)/√(mπ) *(1 - 1/(8m) + …),

(略証)
スターリングの不等式
　(n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n) -1/(360n^3) < log(n!) < (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n),
を
　log(C[2m,m]) = log((2m)!) -2log(m!),
に代入する。
　(2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) -1/(2880m^3) < log(C[2m,m]) < (2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) +1/(180m^3),

65 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/20(日) 20:24:33
大学への数学１月号の宿題を解いたつわものはいる？
　lim[n→∞) {(1/2^(2n -1/2))*C[4n,2n]/C[2n,n]}^(2n)

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:113番)
さくらスレ２３５

66 名前：スターリング[sage] 投稿日：2008/01/20(日) 20:34:06
>65

log(n!) = (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) + 1/(12n) -1/(360n^3) +O(1/n^5),

log(C[2n,n]) = log((2n)!) - 2*log(n!)
　= 2log(2)*n -(1/2)log(nπ) -1/(8n) +1/(192n^3) +O(1/n^5),

log(与式) = -(2n -1/2)log(2) +log(C[4n,2n]) -log(C[2n,n])
　= {1/(16n) -O(1/n^3)}*(2n)
　= (1/8) - O(1/n^2) → 1/8,　　(n→∞)

653:１３２人目の素数さん
08/11/18 23:56:52
〔問題202〕
任意の正の整数mに対して不等式
　|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| > (m/2) + (1/4) - 1/|4sin(a)|.

(略証)
|sin(ka)| ≧ {sin(ka)}^2 = {1 - cos(2ka)}/2 = (1/2) - 2cos(2ka)sin(a)/(4sin(a)) = (1/2) - {sin((2k+1)a)-sin((2k-1)a)}/(4sin(a)),
k=1,2,･･･,m について和をとる。

　ｽﾚﾘﾝｸ(math板:202番)

654:１３２人目の素数さん
08/11/19 00:26:14
任意の正の整数mに対して不等式
　|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| < √{m[(m/2) + (1/4) + 1/|4sin(a)|]}.
が成り立つ。
　
(略証)
　(左辺) ≦ √{mΣ[k=1,m] sin(ka)^2} = √{m[(m/2) - (sin((2m+1)a)-sin(a))/4sin(a) ]}

655:１３２人目の素数さん
08/11/19 16:36:21
なんだこのスレｗｗｗｗ
おもすれーｗｗｗうぇｗｗｗｗ

656:１３２人目の素数さん
08/11/19 22:37:59
>>653-654
ワイルの一様分布定理から、

〔補題〕 a/π≠整数ならば、
　(左辺)/m → (1/π)∫[0,π] sin(x)dx = 2/π.　　(m→∞)

657:656
08/11/20 22:30:32
訂正
〔補題〕 a/π ≠有理数ならば、

658:１３２人目の素数さん
08/11/24 20:12:49
f(x)=x^2-2mx+m+6　とする。

(1) すべてのxの値に対してf(x)≧0となる
　　定数mの値の範囲は-2≦m≦3である。

(2) 0≦x≦8のすべてのxの値に対してf(x)>0となる
　　定数mの値の範囲は-6<m<3である。

これを証明してください。

659:１３２人目の素数さん
08/11/24 22:18:03
>>658
お前は勉強をやめた方がいい。

660:１３２人目の素数さん
08/11/24 23:23:19
>>658
荒ら砂！
質問は質問スレに池！

661:１３２人目の素数さん
08/11/26 01:34:42
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:700番)

1/π<x<πの時、
sinx･sin(1/x)の最大値を求めよ

662:１３２人目の素数さん
08/11/26 21:32:47
うるさい。

663:１３２人目の素数さん
08/11/26 22:31:04
　　　ｒ;;;;;ノヾ　　　　　　　　>>662
　　　ﾋ‐=r=;'　　　　∬　　　口を慎みたまえ！
　　　'ヽニ/　っ━~~　　　君は不等式王の前にいるのだぞ！
　＿と~,,　 ~,,,ﾉ_　　∀　　　
　　　　ﾐ,,,,/~).　│ ┷┳━　
　￣￣￣.じ'Ｊ￣￣|　┃
　￣￣￣￣￣￣￣　┻

664:１３２人目の素数さん
08/11/27 09:56:45
nCrｵﾀ向け
∑[k=0,n](k+2)*(k+1)*[2k+1]C[k]=？

665:１３２人目の素数さん
08/11/27 23:22:39
>>661

[751] 微分法を使う。
　g(t) = log(sin(e^t))　とおくと
　g '(t) = (e^t)/tan(e^t) 　は単調減少(*)　
　g "(t) = －(e^t){1 - sin(e^t)cos(e^t)}/{sin(t)}^2 < 0,
∴ f は上に凸。
　log(与式) = f(log(x)) + f(-log(x)) ≦ 2f(0) = log{sin(1)^2}

(*) {x/tan(x)} ' = 1/tan(x) - x/{sin(x)^2} = {sin(x)cos(x)-x}/{sin(x)^2} <0,
　　より、x/tan(x) は単調減少。

[763] 無限乗積表示（オイラー積表示）を使う。
sin(x) = x･Π[n=1,∞) {1－(x/nπ)^2},
　{1－(x/nπ)^2}{1－1/(nπx)^2} = {1－1/(nπ)^2}^2 －(1/nπ)^2 (x－1/x)^2 ≦ {1－1/(nπ)^2}^2,
　等号成立は x=1 のとき,
∴ (与式) ≦ {sin(1)}^2.

666:１３２人目の素数さん
08/11/27 23:24:24
>>664
それ本当に求まるのか？
Mathematicaにやらせてみたら
-((2 + n)*(3 + n)*Gamma[5 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[1, 5/2 + n, 3 + n, 4] +
2*Gamma[7 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[2, 7/2 + n, 4 + n, 4] +
8*(7 + 2*n)*Gamma[6 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[3, 9/2 + n, 5 + n, 4])/(2*Gamma[3 + n])
になったぞ。

667:665
08/11/27 23:57:46
>>665 訂正

　f(x) = log(sin(x)) なので、
　log(与式) = f(x) + f(1/x) = g(log(x)) + g(-log(x)) ≦ 2g(0) = 2f(1) = log{sin(1)^2},

668:１３２人目の素数さん
08/11/28 05:13:49
みなさんは不等式の必須手法みたいなのを何で学びましたか？

669:１３２人目の素数さん
08/11/28 23:42:33
>>668
おまえには教えてやらねーよ！

670:１３２人目の素数さん
08/11/29 00:20:54
不等式を制する者は解析を制する。

671:１３２人目の素数さん
08/11/29 12:07:58
△ABC の辺 a、b、c に対して、次式を示せ

　 3abc ≧ (b+c-a)a^2 + (c+a-b)b^2 + (a+b-c)c^2

　　　∧_∧　
　　_ ( ﾟ∀ﾟ)　　　　　　　　　　　　たぶん、出したことないと思う…
　|≡(つc□≡|
　`Ｔ￣∪∪￣Ｔ
ﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞ

672:１３２人目の素数さん
08/11/29 18:50:59
>>664
　(k+2)(k+1) = (2k+3)(2k+2)/3 - (k+1)k/3,

　(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+1,k] = (1/3)(2k+3)(2k+2)*Ｃ[2k+1,k] - (1/3)(2k+1)(2k)*Ｃ[2k-1,k-1]
　　　　　　　　　　　　= (1/3)(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+3,k+1] - (1/3)(k+1)k*Ｃ[2k+1,k],

　(与式) = (1/3)(2n+3)(2n+2)*Ｃ[2n+1,n] = (1/3)(n+2)(n+1)*Ｃ[2n+3,n+1].

>>671
三角不等式の束縛からのがれるため
b+c-a = a' >0,　c+a-b = b' >0,　a+b-c = c' >0,
とおく。条件は a', b', c' >0 だけになった。両辺に
　a = (b'+c')/2,　b = (c'+a')/2,　c = (a'+b')/2,
を代入すれば、
　(左辺) - (右辺) = (3/8)(st-u) - (1/4)(3u+st) = (1/8)(st-9u) ≧0,
いつものように　s = a'+b'+c' = a+b+c,　t = a'b' + b'c' + c'a', u = a'b'c' とおいた。
等号成立は a'=b'=c' すなわち a=b=c のとき。

ハｧハｧ

673:１３２人目の素数さん
08/11/29 19:19:09
>>671

移項したらSchur不等式････
　(左辺) - (右辺) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = F_1 ≧0,
三角条件なくても成立････

674:１３２人目の素数さん
08/11/29 20:11:59
さすが。

675:１３２人目の素数さん
08/11/29 21:13:11
問題を作ったときには
(左辺)-(右辺)=(a-b)^2･(a+b-c)/2+(b-c)^2･(b+c-a)/2+(c-a)^2･(c+a-b)/2
から導いたと思われ

676:671
08/11/29 22:30:45
毎度ながら、100歩前を行くレスに感心。
ありがとうございます。

677:１３２人目の素数さん
08/12/01 20:28:22
1 ≤ a,b,c ≤ 2 のとき
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 6(a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b))

たのもー(　^ิิ,_ゝ^ิ)

678:１３２人目の素数さん
08/12/01 22:14:56
homogeneousなのに何で1<=a,b,c<=2が必要？

679:１３２人目の素数さん
08/12/02 16:40:46
1≦a,b,c≦2がないと問題が成り立たないから

680:１３２人目の素数さん
08/12/02 20:31:05
別にk≦a,b,c≦2kでも良いけど
いずれにせよ或る一定範囲内に三つとも入ってないといけなくて
a=b=1、c=1000とかそういうのはダメってことでしょ。

それぞれa/kとかで置き換えて要らないkを消去したのが問題文と。

681:１３２人目の素数さん
08/12/03 03:15:18
>>677 , 679
　>>341 の [A.435] でつね。

>>394 いわく、
　とりあえず、>>373-374 が解ければ [A.435] が解けることが分かった。

>>576 は微分法（未定乗数法）でそれを解こうとしたようだが････

682:１３２人目の素数さん
08/12/03 11:48:57
もっとすきっとした解法はないもんかねぇ

683:１３２人目の素数さん
08/12/03 19:23:45
>>576 を高校ﾚﾍﾞﾙで解いたのが
>>583-585>>588-589

684:１３２人目の素数さん
08/12/03 23:40:27
>>588
　r-q 平面のグラフが見たい････

685:１３２人目の素数さん
08/12/07 00:24:18
>>679
>>680
誤解してた、すまない。

686:１３２人目の素数さん
08/12/07 04:23:34
1)a,b,cが正の実数のとき
a/(b+c^2)+b/(c+a^2)+c/(a+b^2)≧9/(a+b+c+3)
を示せ

2)a,b,cが相異なる実数のとき
{(4a-3b)/(a-b)}^2+{(4b-3c)/(b-c)}^2+{(4c-3a)/(c-a)}^2≧25
を示せ

3)a,b,cが正の実数のとき
{(b+c-a)^2}/{(b+c)^2+a^2}+{(c+a-b)^2}/{(c+a)^2+b^2}+{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}≧3/5
を示せ(日本数学五輪1997)

687:１３２人目の素数さん
08/12/08 01:45:32
つURLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)

688:１３２人目の素数さん
08/12/08 03:44:10
>>686
(2)(3)は、ともに凸不等式に帰着できた
(1)に苦戦中

689:１３２人目の素数さん
08/12/08 03:46:55
>>686
(3)は公式解答は汚い解法だったんだがエレガントに解けるのかな
俺はｼｭﾜたんで失敗した

690:１３２人目の素数さん
08/12/08 04:58:11
>>686
(3)
Σはcycとして
a+b+c=1とおくと

与式
⇔Σ[(1-2a)^2/{(1-a)^2+a^2}]≧3/5
⇔Σ[1/(2a^2-2a+1)-9/5]≦0
⇔Σ[25/(2a^2-2a+1)-45-18(3a-1)]≦0 (∵Σ(3a-1)=3(a+b+c)-3=0)
⇔-Σ[(3a-1)^2*(6a+1)/{a^2+(1-a)^2}]≦0

a,b,c> 0よりこれは正しい。

691:１３２人目の素数さん
08/12/11 13:39:30
実数上の任意の確率変数 X と、0以上の実数値が値域の関数f,gに関して
E[ f(X)g(X) ] ≦ E[ f(X) ] E[ g(X) ] が成り立つための関数f,gの条件として
∀x,y f(x)≦f(y) → g(x)≧g(y) が十分条件であると予想しているのですが
証明の仕方がわかりません。お願いします。

692:１３２人目の素数さん
08/12/11 14:36:06
>>691
解答PDFを作ってみた。
URLﾘﾝｸ(image02.wiki.livedoor.jp)

693:１３２人目の素数さん
08/12/11 16:39:46
まさかのpdf、ありがとうございます。
自分の頭で理解できるか不安ですが
じっくり読まさせていただきます。

694:１３２人目の素数さん
08/12/11 17:51:33
定理1のX(Y-E[Y])]≧X(x0)(Y-E[Y]) による
E[X(Y-E[Y])]≧E[X(x0)(Y-E[Y])]=0がコツですね。
どうもありがとうございました。

695:１３２人目の素数さん
08/12/18 00:22:39
数蝉２月号は「不等式の世界」
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)

不等式ヲタとしては、買わねばなるまいな…
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

696:１３２人目の素数さん
08/12/18 00:37:29
>>695
このスレの住民が満足できる内容ならいいね。
参考文献に付け加えられるくらいの内容を気盆濡！

697:１３２人目の素数さん
08/12/18 22:53:51
>>588

Q,R を >>589 のようにおくと

(判別式) = 27R^2 - 4(-Q)^3
　= (q-1+2r){4q^2 +(32-4q)r -(11+q)r^2 +2r^3}　　　>>585
　= (q-1+2r){[2q - r(r+4)/4]^2 - (1/16)r(r-8)^3},
∴ r<8 には求める領域はない。

　rを固定したときの q の下限および上限は
　q_min = [r(r+4) - (√r)(r-8)^1.5]/8,
　q_max = min{[r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8, 2r-3}
　　　　= [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8　　　　　(8≦r≦9)
　　　　= 2r-3　　　　(r≧9)
　rが大きいほど細く鋭くなる。　　　　（素手で触るな）

　r>9 のとき q < 2r-3 = (1/6)r(r+1) -(1/6)(r-2)(r-9) < (1/6)r(r+1)
　8<r<9 についても同様。

698:１３２人目の素数さん
08/12/19 22:34:05
>>588, 684, 697
　8<r<9 のときは、
　r-8 < r/9,
　q < [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8 < [r(r+4) + (1/3)r(r-8)]/8 = (1/6)r(r+1),

-------------------------------------

　(2r-3) - q_min = 8(r-9)/{r^2 -12r +24 +(√r)(r-8)^1.5} → 0　(r→∞)

699:１３２人目の素数さん
08/12/24 12:09:03
>>677
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) - 9 = Σ(a-b)^2/ab
6(Σa/(b+c)) - 9 = 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
より
Σ(a-b)^2/ab ≧ 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
(a, b, c∈[1, 2])
を証明すればよい.
ここで,
S[a] = 1/bc - 3/((a+b)(a+c))
S[b] = 1/ca - 3/((b+c)(b+a))
S[c] = 1/ab - 3/((c+a)(c+b))
とおく.
また, a≧b≧c とおいても一般性を失わない。
S[a] = (a^2 + ab + ac - 2bc)/(bc(a+b)(a+c)) ≧ 0
(∵ ab≧bc, ac≧bc)
S[b] = (ab + b^2 + bc - 2ac)/(ca(b+c)(b+a)) ≧ 0
(∵ ab≧ac; a≦2, y, z≧1 より b+c≧a; よって b(b+c)≧ac)
ここで, S[b]+S[a]≧0 は明らかなので, S[b]+S[c]≧0 を証明する.
S[b]+S[c]
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b^3+c^3))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b+c)(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ (a^2(bc) + a^2(b^2-4bc+c^2) + a^2(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (2a^2 (b-c)^2)/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ 0
よって SOS より ΣS[a](b-c)^2 ≧ 0.
等号成立は a=b=c or b=c=1, a=2 (cyc).

700:１３２人目の素数さん
08/12/24 14:12:31
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

701:１３２人目の素数さん
08/12/24 14:30:59
ネ申

702:１３２人目の素数さん
08/12/24 15:50:36
自演乙

703:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:25:07
このスレで自演とか言ってるやつは新参者
自演は初代スレから恒例だ！
もうねアホガドバナナかと… ( ﾟ∀ﾟ)

704:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:40:29
飯島愛死亡だとよ

705:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:49:15
>>704
死因は何？

706:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:52:47
1:春デブリφ ★[sage]
2008/12/24(水) 16:29:31 ID:???0
　元タレント・飯島愛さんが都内のマンションで死亡。

■ソース(日テレニュース24）
URLﾘﾝｸ(www.news24.jp)
※有志によるキャプチャ画像
URLﾘﾝｸ(tvde.web.infoseek.co.jp)
■前スレ(1の立った日時　12/24(水) 16:14:24）
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)

【訃報】飯島愛さん、東京都内のマンションで死亡★２
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)

707:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:59:52
　　／　 ≧ ＼
　／　　 _ノ　　＼
　|　　　（ ●）（●）　＜おっと、スレ違いな発言はそこまでだ！
.　|　　　　（__人__）＿＿＿_
　 |　　　　　｀ ⌒／ ─'　'ー＼
.　 |　　　　　／（ ○）　（○）＼
.　ヽ　　　／　　⌒（n_人__）⌒ ＼
　　ヽ　　　|、　　　　（　　ヨ　　　　|
　　　/　　　`ー─－　　厂　　　／
　　　|　　､＿　　__,,／　　　　＼

708:１３２人目の素数さん
08/12/25 01:24:11
x,y,n∈N,(1/x)+(1/y)<1/n

max{(1/x)+(1/y)}=(n^2+2n+2)/{(n+1)(n^2+n+1)}

709:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:06:44
>>708
なん…だと！

710:１３２人目の素数さん
08/12/28 08:06:19
>>708
どうやったんだよ

711:１３２人目の素数さん
08/12/28 13:22:09
>>678,685
誤解してた、すまない。
三角不等式で十分だった。

>>699 の証明によれば････
bはaとcの間にあるとしても、一般性を失なわない。
　c-a = (c-b) + (b-a) より
(左辺) - (右辺) = S[a](b-c)^2 + S[b](c-a)^2 + S[c](a-b)^2
　　　　　　　　= (S[a]+S[b])(b-c)^2 + 2S[b](c-b)(b-a) + (S[b]+S[c])(a-b)^2,
また　(c-b)(b-a)≧0,
したがって、S[a]+S[b] ≧0, S[b] ≧0, S[b]+S[c] ≧0 を示せばよい。
　S[a] + S[b] = {2(c^2)(a-b)^2 + (a+b-c)[(b+c)a^2 + (c+a)b^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
　S[b] = {b(a+b+c) -2ac} / {ca(a+b)(b+c)}
　　= {2b^2 -Mm + (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)}　　(← {M,m}={a,c}, m≦b≦M とした.)
　　= {b(b+m-M) + (b-m)(b+M)^+ (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)},
　S[b] + S[c] = {2(a^2)(b-c)^2 + (b+c-a)[(c+a)b^2 + (a+b)c^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
これらが負にならないためには、a+b-c≧0, b+c-a≧0 （三角不等式）があれば十分。

712:１３２人目の素数さん
08/12/29 18:19:53

[A.435] の拡張　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　>>341
a,b,c が三角形の３辺をなすとき、　
　(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 9,
　等号成立は (a,b,c) = (k,k,k), (2k,k,k), (k,2k,k), (k,k,2k) のとき。

そこで >>672 に習って
　b+c-a = a',　c+a-b = b',　a+b-c = c', a+b+c = a'+b'+c' = s,
とおく。上式に
　a = (b'+c')/2 = (s-a')/2,
　b = (c'+a')/2 = (s-b')/2,
　c = (a'+b')/2 = (s-c')/2,
を代入すると･･･

[A.435'] (正準形)
a',b',c' ≧0 のとき
　6 + 2{a'/(b'+c') + b'/(c'+a') + c'/(a'+b')} ≧ 6{(s-a')/(s+a') + (s-b')/(s+b') + (s-c')/(s+c')} ≧ 9.
　ここに s = a'+b'+c'.
　等号成立は (a',b',c') = (k,k,k), (0,2k,2k), (2k,0,2k), (2k,2k,0) のとき。

【系】
a,b,c ≧0 のとき
　(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:677番)

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