不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

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523:１３２人目の素数さん
 08/09/15 22:49:30 
>>521 
>>ヘロンの公式 
どっかの馬鹿が勝手につけた名前は重要ではない

524:１３２人目の素数さん
 08/09/16 15:30:46 
For distinct real numbers $a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$ such that $a < b < c < d < e < f$ and $abcdef = - 6$, let 
\[ 
M = (a^{12} + 58a^8 + 193a^4 + 36)(b^{12} + 58b^8 + 193b^4 + 36)(c^{12} + 58c^8 + 193c^4 + 36)(d^{12} + 58d^8 + 193d^4 + 36)(e^{12} + 58e^8 + 193e^4 + 36)(f^{12} + 58f^8 + 193f^4 + 36) 
\] 
 
\[ 
N = 64(a^8 + 12a^4 + 11)(b^8 + 12b^4 + 11)(c^8 + 12c^4 + 11)(d^8 + 12d^4 + 1)(e^8 + 12e^4 + 11)(f^8 + 12f^4 + 11) 
\] 
. 
 
Prove the following inequality. 
\[ 
\sqrt [8]{\frac {M}{N}}\geq 6. 
\]

525:１３２人目の素数さん
 08/09/16 21:58:34 
>>523 
そりゃ定理名や式の名前は重要ではないけど、 
名前が付いてなきゃ呼びづらいだろ。

526:１３２人目の素数さん
 08/09/17 00:56:06 
>>522  
  
(上) コーシーの不等式より  
　∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx * ∫[0→1] 1/{1+(x^2)(e^x)} dx ≧ {∫[0→1] dx}^2 = 1,  
　∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx = [ x + (x^2 -2x+2)(e^x) ](0→1) = e-1,  
  
(中)  
　f(x) = x･log(x) とおく。 
　f "(x) = 1/x >0 だから、fは下に凸。 
　f(x) + f(y) + f(z) ≧ 3f((x+y+z)/3) = 3f(1/3) = log(1/3).  
この真数をとる。

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