不等式への招待 第３� ..

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516:１３２人目の素数さん 08/09/13 18:31:11 >>513 ヒント：2倍して1を足せ 517:１３２人目の素数さん 08/09/14 07:01:32 >>513 次の恒等式を考える。　　(11倍角公式) 　cos(11t) = T_11(cos(t)), ここに　T_11(x) = 1024x^11 -2816x^9 +2816x^7 -1232x^5 +220x^3 -11x, T_11(x) -1 = (x-1)(32x^5 +16x^4 -32x^3 -12x^2 +6x+1)^2 = (x-1)p(x)^2, ∴　cos(θ), cos(2θ), cos(3θ), cos(4θ), cos(5θ) は T_11(x)-1=0, x≠1 の根、すなわち p(x)=0 の根。 ∴　1/cos(θ), 1/cos(2θ), 1/cos(3θ), 1/cos(4θ), 1/cos(5θ) は p(1/t)=0 の根。 　(t^5)p(1/t) = t^5 +6t^4 -12t^3 -32t^2 +16t +32, 根と係数の関係より、 　(与式) = -6. 518:１３２人目の素数さん 08/09/15 11:17:09 >498 >>121-122 519:１３２人目の素数さん 08/09/15 12:15:13 >>497 左辺に 第二余弦定理　cos(A) = (b^2 +c^2 -a^2)/(2bc), etc. を代入してゴリゴリ計算する. 　(左辺) = 1 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(2abc) = 1 + 4(s-a)(s-b)(s-c)/(abc) = 1 + 4(S^2)/(abcs) = 1 + (r/R) = (右辺), ここで、s=(a+b+c)/2, Sは△ABCの面積, r=S/s, R=abc/(4S)　を使った。

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