不等式への招待 第３� ..

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492:１３２人目の素数さん 08/09/07 01:12:43 A+B+C=π　π＞A≧B≧C＞0　として cos(A)+cos(B)+cos(C)-1 =cos(A)+cos(B)-cos(B+C)-1 =2*cos(（A+B)/2)*cos((A-B)/2)-2*cos^2((A+B)/2) =2*cos((A+B)/2)*{cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2)} =2*sin((A+B)/2)*{(-2)*sin(A/2)*sin(-B/2)} =4*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)>0 log(cos(A)+cos(B)+cos(C)-1) =log(4)+log(sin(A/2))+log(sin(B/2))+log(sin(C/2)) ≦log(4)+3*log( sin( (A/2+B/2+C/2)/3 ) )　(∵log(sin(x)) は0<x<π/2で上に凸) =log(4)+3*log(sin(π/6))=log(1/2) log(x)の単調増加性から　cos(A)+cos(B)+cos(C)-1≦1/2 以上から　1<cos(A)+cos(B)+cos(C)≦3/2 493:１３２人目の素数さん 08/09/07 01:15:39 >>487 cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1 が成り立つ[*]ので， 示すべき不等式は 0<sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ 1/8 と同値。 sin(A/2)>0などより，左側の不等号は明らか。 右側は，まずは相加相乗平均により sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ ( { sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 )^3 さらに，凸不等式より { sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 ≦ sin((A+B+C)/6) = 1/2 なので，sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ (1/2)^3 = 1/8 となり示せた。 [*]の証明は，C=π-(A+B)を左辺に代入して和積，倍角公式で変形するだけ。

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