不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

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483:１３２人目の素数さん
 08/08/30 00:56:27 
うわwww　偶然だげと481とかぶった。481で引用されているのが益田塾サイトにある 
問題とその解答ですね。

484:１３２人目の素数さん
 08/08/30 01:12:12 
ちょっと長めに引用しておきます 
 
「通常の平均はすでに述べたようにウエイト付き平均の特別な場合である。 
一方、通約可能なウエイトつき平均は, 通常の平均に帰着することができる。 
実際、同次性によりウエイトはすべて整数であるとしてよく、さらに(ry」 
これ読むと、ウエイトが有理数って意味なんかなと(深く考えずに)思っていたんですが 
ググってもよくわからずで。

485:１３２人目の素数さん
 08/09/06 06:57:59 
>>456,476  
  
f(t) = exp{-1/(t^2)} とおく。 
f^(k)(t) = {(2/t^3)^k - 3･2^(k-2)･k(k-1)/t^(3k-2) + ･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/[12t^(k+4))] + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^(k+2)} exp{-1/(t^2)} 
　　= {(2/t^2)^k - (3/2)k(k-1) (2/t^2)^(k-1) + ･･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/(12t^4) + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^2} (1/t^k) exp{-1/(t^2)}  
　　= P_k(1/t^2) (1/t^k) exp{-1/(t^2)},  
ここに P_k はk次の多項式で  
　P_k(x) = (2x)^k -(3/2)k(k-1) (2x)^(k-1) + ････････ + (-1)^k [(k-1)(k+6)(k+1)!/12] x^2 + (-1)^(k-1) (k+1)! x,  
ところで、 
f^(k)(t) (t^k) exp{a/(t^2)} = P_k(1/t^2) exp{-(1-a)/(t^2)} = P_k(x) exp{-(1-a)x},　　　　(a=4/81 or 4/9)  
これの絶対値が (2^k)(k!) 以下であることを示す。 
  
〔補題〕 a<1, j>0 ならば  
　(x^j)exp{-(1-a)x} ≦ {j/[(1-a)e]}^j,　　　　等号成立は x=j/(1-a) のとき。

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