不等式への招待 第３� ..
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481:１３２人目の素数さん 08/08/27 07:48:32 ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/937-945 より。 937 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 19:55:34 a,b,cをabc=1を満たす正の実数とする。次の不等式を示せ。 (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≦1 945 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 22:40:11 abc=1 とあるから当然、 a=y/z, b=z/x, c=x/y と置くんだろうな。 （左辺) = {(y-z+x)/z}{(z-x+y)/x}{(x-y+z)/y} 題意より、-x+y+z, x-y+z, x+y-z のいづれか2つの和は正だから、 正でないのは高々１つだけ。 ・1つが正でない場合、明らかに成り立つ。 ・3つとも正の場合、 相乗・相加平均より √{(x-y+z)(y-z+x)} = √{x^2 - (y-z)^2} ≦ x, √{(y-z+x)(z-x+y)} = √{y^2 - (z-x)^2} ≦ y, √{(z-x+y)(x-y+z)} = √{z^2 - (x-y)^2} ≦ z, 辺々掛けて (x-y+z)(y-z+x)(z-x+y) ≦ xyz, 482:１３２人目の素数さん 08/08/30 00:54:44 >>478, 480さん レスありがとうございます。 「不等式」のほうです 例えば、p15に「通約可能なウエイト付き平均」と「通約可能でないウエイト付き平均」の 話が出てきます 「また、通約可能でないウエイト付き平均は、通常の平均の中のある種の極限とみなす」 などと書いてあります。 それと、話は違うのですが、これは益田塾のなかの問題ですが、 abc=1(a,b,cは正)で、abcについての対称式である不等式を a=x/y, b=y/z, c=z/xとおいて一般性を失わず、として書き換えて解く論法っていうのは 一般的な方法なんですか?
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