不等式への招待 第３� ..
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466:１３２人目の素数さん 08/08/22 21:43:06 f(θ) =log (cosθ)^(cosθ) -log (sinθ)^(sinθ) を微分したら単調性は自明。 多分 0 < θ < π/4 の条件はもっと弱くできると思う。 467:466 08/08/22 21:45:36 最後の1行は勘違い。 468:466 08/08/22 21:49:54 全部勘違いだ～ 469:１３２人目の素数さん 08/08/23 00:41:31 >>460(1)解説よろ 470:１３２人目の素数さん 08/08/23 07:00:51 >>458 0≦t≦1 とする。 f(t) = (1/2)log(1+t^2) + log(1/√2)･t, とおくと f(0) = f(1) = 0, f "(t) = (1-t^2)/(1+t^2)^2 ≧0, f(t) ≦ 0 (0≦t≦1) t=tanθ とおいて log(cosθ) ≧ tanθ･log(1/√2), cos(x) >0 を掛けて cosθ･log(cosθ) ≧ sinθ･log(1/√2) ≧ sinθ･log(sinθ), (0<θ≦π/4) 471:１３２人目の素数さん 08/08/23 07:36:55 >>460(1) ,>>469 (左辺) - (右辺) = a1･x1(1-x1) + a2･x2(1-x2) + a3･x3(1-x3) = a1･x1(x2+x3) + a2･x2(x3+x1) + a3･x3(x1+x2) = (a1+a2)x1･x2 + (a2+a3)x2･x3 +(a3+a1)x3･x1 ≧0, >>460(2) 2x=u^2, y=v^2 とおく。 (k^2)(u^2 + v^2) - (u/√2 + v)^2 = (k^2 -1/2)u^2 -(√2)uv + (k^2 -1)v^2, が常に≧0である条件は相異なる2実根をもたないこと。 判別式 D' ≦0, D' = 1/2 - (k^2 -1/2)(k^2-1) = (k^2)(3/2 - k^2), k ≧ √(3/2),
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