不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

451:１３２人目の素数さん
08/08/21 00:38:27
>>433
用意しといた解答書いておく

sin(π/12) ＞ (π/12) - (1/6)(π/12)^3
tan(π/12) ＞ (π/12) + (1/3)(π/12)^3
より
8sin(π/12) + 4tan(π/12) ＞ π　　…(*)

一方
sin(π/12) = (√6 - √2)/4
tan(π/12) = 2 - √3
より
√2 + √3 - (8sin(π/12) + 4tan(π/12))
= √2 + √3 - (2√6 - 2√2 + 8 - 4√3)
= (√2-1)^2 (2-√3)^2 (√3-√2)
これは明らかに正なので
√2 + √3 ＞ 8sin(π/12) + 4tan(π/12)　　…(**)

(*)(**) より
√2 + √3 ＞ π

452:１３２人目の素数さん
08/08/21 00:43:24
>>451
神過ぎる！

453:１３２人目の素数さん
08/08/21 01:53:34
>>452
thx
今、こんなの見つけた
URLﾘﾝｸ(www2.ocn.ne.jp)
簡単な証明あったら、カッコ悪いと思ったけど、大丈夫だった

454:１３２人目の素数さん
08/08/21 03:13:45
>>451

sin(π/12) ＞ (π/12) - (1/6)(π/12)^3
tan(π/12) ＞ (π/12) + (1/3)(π/12)^3

これはどこから沸いてきた。

455:１３２人目の素数さん
08/08/21 04:03:37
3 次のTaylor展開を用いた不等式でしょ。

456:１３２人目の素数さん
08/08/21 18:36:37
ｋ∈N、ｔ≠0 のとき、

｜(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝｜≦ ｛(2^k・k! / (｜ｔ｜^k)｝ exp｛-4/(81t^2)｝

を示せ。

457:１３２人目の素数さん
08/08/21 22:17:40
>>445
　f(x) = ax^2 +bx +c,
　f '(x) = 2ax +b,
を与式の両辺に代入する。
奇数次の項は積分すれば0である（計算するには及ばない）。
(左辺) = ∫[-1,1](1-x^2){(2ax)^2 + b^2}dx = (16/15)a^2 + (4/3)b^2,
(右辺) = 6∫[-1,1]{(a^2)x^4 +(2ac+b^2)x^2 +c^2}dx = (12/5)a^2 + 4(2ac+b^2) + 12c^2
　　　= (16/15)a^2 + 4b^2 + (4/3)(a+3c)^2
　　　≧ (16/15)a^2 + 4b^2,

458:１３２人目の素数さん
08/08/21 22:39:41
0<θ<π/4のとき不等式
(cosθ)^(cosθ)＞(sinθ)^(sinθ)
を示せ。

459:１３２人目の素数さん
08/08/21 23:30:30
>>458
この範囲において
cosθ＞sinθ
よって不等式は明らか

460:１３２人目の素数さん
08/08/22 01:40:53
x1,x2,x3,a1,a2,a3は実数。
x1≧0,x2≧0,x3≧0、
a1+a2≧0,a2+a3≧0,a1+a3≧0とする。
x1+x2+x3=1のとき、
a1x1+a2x2+a3x3≧a1(x1)^2+a2(x2)^2+a3(x3)^2を示せ。
(2)正の実数x,yに対し
√x＋√y≦k√(2x+y)が成り立つような実数kの最小値を点と直線の距離公式を用いて求めよ。

461:１３２人目の素数さん
08/08/22 07:16:47
>>460
学校の宿題は自分で考えましょうね

462:１３２人目の素数さん
08/08/22 07:30:01
>>459
ｘ＾ｘは単調増加ではない。

463:１３２人目の素数さん
08/08/22 11:48:30
>>462
ですよね

464:１３２人目の素数さん
08/08/22 17:44:47
cosxと(sinx)^tanxのグラフを書いて・・・
力技過ぎるか

465:１３２人目の素数さん
08/08/22 18:17:06
対数とって考えてみるか・・・

466:１３２人目の素数さん
08/08/22 21:43:06
f(θ) =log (cosθ)^(cosθ) -log (sinθ)^(sinθ)
を微分したら単調性は自明。
多分 0 < θ < π/4 の条件はもっと弱くできると思う。

467:466
08/08/22 21:45:36
最後の1行は勘違い。

468:466
08/08/22 21:49:54
全部勘違いだ～

469:１３２人目の素数さん
08/08/23 00:41:31
>>460(1)解説よろ

470:１３２人目の素数さん
08/08/23 07:00:51
>>458

0≦t≦1 とする。
　f(t) = (1/2)log(1+t^2) + log(1/√2)･t,
とおくと
　f(0) = f(1) = 0,
　f "(t) = (1-t^2)/(1+t^2)^2 ≧0,
　f(t) ≦ 0　　　　　　　　　　　　(0≦t≦1)
t=tanθ とおいて
　log(cosθ) ≧ tanθ･log(1/√2),
cos(x) >0 を掛けて
　cosθ･log(cosθ) ≧ sinθ･log(1/√2) ≧ sinθ･log(sinθ),　(0<θ≦π/4)

471:１３２人目の素数さん
08/08/23 07:36:55
>>460(1) ,>>469
(左辺) - (右辺) = a1･x1(1-x1) + a2･x2(1-x2) + a3･x3(1-x3)
　　= a1･x1(x2+x3) + a2･x2(x3+x1) + a3･x3(x1+x2)
　　= (a1+a2)x1･x2 + (a2+a3)x2･x3 +(a3+a1)x3･x1 ≧0,

>>460(2)
　2x=u^2, y=v^2 とおく。
　(k^2)(u^2 + v^2) - (u/√2 + v)^2 = (k^2 -1/2)u^2 -(√2)uv + (k^2 -1)v^2,
が常に≧0である条件は相異なる2実根をもたないこと。
判別式 D' ≦0,
　D' = 1/2 - (k^2 -1/2)(k^2-1) = (k^2)(3/2 - k^2),
　k ≧ √(3/2),

472:１３２人目の素数さん
08/08/23 09:16:09
>>470
見事な攻撃だ、たけちゃんまん。
ｆ（ｔ）≧ｇ（ｔ）を示すより、ｆ（ｔ）≧ｈ（ｔ）かつｈ（ｔ）≧ｇ（ｔ）を示す方が簡単なｈ（ｔ）を作ってくる眼力には脱毛だぁ

473:１３２人目の素数さん
08/08/23 21:54:54
>>454

　f(x) = sin(x) - x + (1/6)x^3,
とおくと
　f '"(x) = -cos(x) +1 ≧ 0,
これと f "(0) =0 から,
　x･f "(x) = x{-sin(x) +x} > 0,
これと f '(0) =0 から,
　f '(x) = cos(x) -1 +(1/2)x^2 > 0,
これと f(0) =0 から,
　x･f(x) > 0,

　{tan(x) - x} ' = 1/cos(x)^2 -1 = tan(x)^2 > 0,
と tan(0) -0 =0 から
　x･{tan(x)-x} > 0,　　(|x|<π/2)

　g(x) = tan(x) -x -(1/3)x^3
とおくと
　g '(x) = 1/cos(x)^2 -1 -x^2 = tan(x)^2 - x^2 >0　　(|x|<π/2)
これと g(0) =0 から
　x･g(x) >0,

474:１３２人目の素数さん
08/08/23 23:55:48
>>473
マクローリンの３次＋剰余項で自明でないの。

475:１３２人目の素数さん
08/08/24 00:10:03
>>474
ええじゃん。

476:１３２人目の素数さん
08/08/24 00:14:25
誰か>>456をお願いします

477:１３２人目の素数さん
08/08/24 03:29:33
通約可能って意味を教えてくんなませ
はーでぃの本でいきなりつまったwww

478:１３２人目の素数さん
08/08/25 01:52:02
>>477
ネタ？
何ページ？

479:１３２人目の素数さん
08/08/26 22:46:19
>>456って右辺は｛(2^k・k! / (｜ｔ｜^k)｝ exp｛-4/(9t^2)｝にならないかな？
勿論 exp｛-4/(9t^2)｝ ≦ exp｛-4/(81t^2)｝なんだけど。
おらの勘違い？

480:１３２人目の素数さん
08/08/26 23:05:21
>>477
通約可能ってのは例えば 4/6 が = 2/3 と直せたり
(x^2 - 1)/(x^2 + 2x - 3) が
= [(x + 1)(x - 1)]/[(x - 1)(x + 3)] = (x + 1)/(x + 3) と直せたりするように
分母分子に共通の因子があることだけど。

そういう意味で言ってるの？
もしかして不等式の専門書では通約可能という言葉を
難しい意味で使うのかな、とも思ってレス控えてたけど。

Hardyの本って「不等式」のこと？もしかして「数論入門」のほう？

481:１３２人目の素数さん
08/08/27 07:48:32
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:937-945番) より。

937 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 19:55:34
a,b,cをabc=1を満たす正の実数とする。次の不等式を示せ。
　(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≦1

945 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 22:40:11
　abc=1 とあるから当然、 a=y/z, b=z/x, c=x/y と置くんだろうな。
（左辺) = {(y-z+x)/z}{(z-x+y)/x}{(x-y+z)/y}

題意より、-x+y+z, x-y+z, x+y-z のいづれか2つの和は正だから、
　正でないのは高々１つだけ。
・1つが正でない場合、明らかに成り立つ。
・3つとも正の場合、相乗・相加平均より
　√{(x-y+z)(y-z+x)} = √{x^2 - (y-z)^2} ≦ x,
　√{(y-z+x)(z-x+y)} = √{y^2 - (z-x)^2} ≦ y,
　√{(z-x+y)(x-y+z)} = √{z^2 - (x-y)^2} ≦ z,
辺々掛けて
　(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y) ≦ xyz,

482:１３２人目の素数さん
08/08/30 00:54:44
>>478, 480さん
レスありがとうございます。
「不等式」のほうです
例えば、p15に「通約可能なウエイト付き平均」と「通約可能でないウエイト付き平均」の
話が出てきます

「また、通約可能でないウエイト付き平均は、通常の平均の中のある種の極限とみなす」
などと書いてあります。

それと、話は違うのですが、これは益田塾のなかの問題ですが、
abc=1(a,b,cは正)で、abcについての対称式である不等式を
a=x/y, b=y/z, c=z/xとおいて一般性を失わず、として書き換えて解く論法っていうのは
一般的な方法なんですか?

483:１３２人目の素数さん
08/08/30 00:56:27
うわwww　偶然だげと481とかぶった。481で引用されているのが益田塾サイトにある
問題とその解答ですね。

484:１３２人目の素数さん
08/08/30 01:12:12
ちょっと長めに引用しておきます

「通常の平均はすでに述べたようにウエイト付き平均の特別な場合である。
一方、通約可能なウエイトつき平均は, 通常の平均に帰着することができる。
実際、同次性によりウエイトはすべて整数であるとしてよく、さらに(ry」
これ読むと、ウエイトが有理数って意味なんかなと(深く考えずに)思っていたんですが
ググってもよくわからずで。

485:１３２人目の素数さん
08/09/06 06:57:59
>>456,476

f(t) = exp{-1/(t^2)} とおく。
f^(k)(t) = {(2/t^3)^k - 3･2^(k-2)･k(k-1)/t^(3k-2) + ･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/[12t^(k+4))] + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^(k+2)} exp{-1/(t^2)}
　　= {(2/t^2)^k - (3/2)k(k-1) (2/t^2)^(k-1) + ･･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/(12t^4) + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^2} (1/t^k) exp{-1/(t^2)}
　　= P_k(1/t^2) (1/t^k) exp{-1/(t^2)},
ここに P_k はk次の多項式で
　P_k(x) = (2x)^k -(3/2)k(k-1) (2x)^(k-1) + ････････ + (-1)^k [(k-1)(k+6)(k+1)!/12] x^2 + (-1)^(k-1) (k+1)! x,
ところで、
f^(k)(t) (t^k) exp{a/(t^2)} = P_k(1/t^2) exp{-(1-a)/(t^2)} = P_k(x) exp{-(1-a)x},　　　　(a=4/81 or 4/9)
これの絶対値が (2^k)(k!) 以下であることを示す。

〔補題〕 a<1, j>0 ならば
　(x^j)exp{-(1-a)x} ≦ {j/[(1-a)e]}^j,　　　　等号成立は x=j/(1-a) のとき。

486:１３２人目の素数さん
08/09/06 15:45:53
>>485
流石不等式スレ、恐れ入ります。
実は元ネタがあって、コーシーの積分公式より

(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝＝（k!/2πi）∫[exp｛-1/(z^2)｝/(z-ｔ)^(ｋ+1)] dz

487:１３２人目の素数さん
08/09/06 18:52:13
1＜cosA＋cosB＋cosC≦3/2
を示す巧い方法ありますかね？

488:１３２人目の素数さん
08/09/06 18:56:09
>>487
成り立たないだろ

489:１３２人目の素数さん
08/09/06 20:16:27
記号から考えて、A≧0，B≧0，C≧0，A＋B＋C＝πが仮定されているのではなかろうか。
凸不等式とか使えばなんとかなるんじゃね。

490:１３２人目の素数さん
08/09/06 20:47:20
(0,π)でcos xは凸関数でも凹関数でもないからなあ。
とりあえず、A≧B≧Cを仮定して、
f(B,C)=cosB+cosC-cos(B+C)を、0＜C≦π/3、C≦B≦(π-C)/2の範囲で
偏微分でゴリゴリやれば、示せるが。

491:１３２人目の素数さん
08/09/06 21:03:58
それはウマい方法じゃないだろｗ

492:１３２人目の素数さん
08/09/07 01:12:43
A+B+C=π　π＞A≧B≧C＞0　として
cos(A)+cos(B)+cos(C)-1
=cos(A)+cos(B)-cos(B+C)-1
=2*cos(（A+B)/2)*cos((A-B)/2)-2*cos^2((A+B)/2)
=2*cos((A+B)/2)*{cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2)}
=2*sin((A+B)/2)*{(-2)*sin(A/2)*sin(-B/2)}
=4*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)>0

log(cos(A)+cos(B)+cos(C)-1)
=log(4)+log(sin(A/2))+log(sin(B/2))+log(sin(C/2))
≦log(4)+3*log( sin( (A/2+B/2+C/2)/3 ) )　(∵log(sin(x)) は0<x<π/2で上に凸)
=log(4)+3*log(sin(π/6))=log(1/2)

log(x)の単調増加性から　cos(A)+cos(B)+cos(C)-1≦1/2
以上から　1<cos(A)+cos(B)+cos(C)≦3/2

493:１３２人目の素数さん
08/09/07 01:15:39
>>487
cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1 が成り立つ[*]ので，
示すべき不等式は 0<sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ 1/8 と同値。
sin(A/2)>0などより，左側の不等号は明らか。

右側は，まずは相加相乗平均により
sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ ( { sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 )^3
さらに，凸不等式より
{ sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 ≦ sin((A+B+C)/6) = 1/2
なので，sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ (1/2)^3 = 1/8 となり示せた。

[*]の証明は，C=π-(A+B)を左辺に代入して和積，倍角公式で変形するだけ。

494:１３２人目の素数さん
08/09/07 13:37:35
半径１の円の周上に３点Ａ，Ｂ，Ｃをとる
↑ＡＢ・↑ＡＣの最大値，最小値を求めよ

495:１３２人目の素数さん
08/09/07 13:46:11
>>487
三角形ABCの内接円の半径をr、外接円の半径をとすればR
cosA+cosB+cosC=1+r/R
で、R≧2rはすぐ示せるから与不等式も示される

496:１３２人目の素数さん
08/09/08 01:06:12
>>494
それ、ハイ理にあったような

497:１３２人目の素数さん
08/09/08 01:15:31
>>496
ハイ理とは何ぞや？

>>495
cosA+cosB+cosC=1+r/R はどうやってだすの？

498:１３２人目の素数さん
08/09/08 02:04:14
>>497
ハイレベル理系数学という大学受験参考書の一つでつ
ところで、R≧2rを一番簡単に示す方法はなんでしょ?

499:１３２人目の素数さん
08/09/08 02:31:50
>>498
( ﾟ∀ﾟ)ﾃﾍｯ、呼んだ？
私のコレクションには４通りの解法が汚い字でメモってあるけど、
久しぶりなので、自分の走り書きが理解できない秘密 ('A;;;,,...

----------------------------------------------------------
(1) ヘロンの公式に …（←走り書きなので読み取れない）を用いた後、
　 S = abc/(4R) を用いる

(2) 示すべき不等式を基本対称式を用いて表してから頑張る！
　 R = u/(4S)、r = 2S/s、16S^2 = s(-s^3+4st-8u)

(3) チャップル・オイラーの定理を用いる

(4) 示すべき不等式を sinA、sinB、sinC で表してから頑張る！
----------------------------------------------------------

私は初代不等式スレで自作自演していた一人です。
主に収拾＆出題担当でしたが…

その頃には、書き込んだ不等式を片っ端から証明する不等式神がいますた
それらの証明は、その神に託します

不等式にﾊｧﾊｧしたいのに、雑事が多すぎて時間が取れない我が糞人生… ('A;;;,,...

500:１３２人目の素数さん
08/09/08 03:12:31
>>495の式が一番明瞭の気がするけど、r/R示すのにまたワンステップ踏まないといけないのか

>>499
なんか各辺の中点を通る円でのキカ的な証明があった気がする

501:１３２人目の素数さん
08/09/08 07:55:04
>>498
外心をO、内心をIとするとに
OI=√(R^2-2Rr)
となることを幾何学的に示す

502:１３２人目の素数さん
08/09/08 18:39:01
>>501
それ、チャップル・オイラー

503:１３２人目の素数さん
08/09/10 02:33:32
ヴィルティンガーの不等式

504:１３２人目の素数さん
08/09/10 02:38:27
有名どころでヘルダーの不等式。

505:１３２人目の素数さん
08/09/10 02:53:30
>>503
聞いたことないのは不勉強？

506:１３２人目の素数さん
08/09/10 03:09:02
ディルレヴァンガーの方程式

>>505
ヴィルティンガーつったらspellはwirtingerだろうからぐぐろうぜ

507:１３２人目の素数さん
08/09/11 17:32:26
ぐぐったら聞いたことがあることになる？

508:１３２人目の素数さん
08/09/11 21:01:53
聴覚を使わない限り聞いたことにはならないと思う。
ぐぐった結果、動画ファイルなどを見つけて聞いたのならOK

509:１３２人目の素数さん
08/09/11 21:12:16
>>508
何その詭弁
空気読めないねって良く言われるだろ

510:１３２人目の素数さん
08/09/11 21:54:23
>>509
死ねｗ

511:１３２人目の素数さん
08/09/11 21:57:09
独学した内容は聞いたことないってのも珍しくないがな
聞いたことはないが知ってるってやつ

512:１３２人目の素数さん
08/09/11 21:58:30
>>508
KY1級

513:１３２人目の素数さん
08/09/13 16:23:44
不等式ではないですが・・・
θ=(360/11)°の時(1/cosθ)+(1/cos2θ)+(1/cos3θ)+(1/cos4θ)+(1/cos5θ)の値を求めよ
お願いします

514:１３２人目の素数さん
08/09/13 16:49:42
なぜスレチとわかってて．．．

515:１３２人目の素数さん
08/09/13 17:38:47
マルチと見た

516:１３２人目の素数さん
08/09/13 18:31:11
>>513
ヒント：2倍して1を足せ

517:１３２人目の素数さん
08/09/14 07:01:32
>>513

次の恒等式を考える。　　(11倍角公式)
　cos(11t) = T_11(cos(t)),
ここに　T_11(x) = 1024x^11 -2816x^9 +2816x^7 -1232x^5 +220x^3 -11x,
T_11(x) -1 = (x-1)(32x^5 +16x^4 -32x^3 -12x^2 +6x+1)^2 = (x-1)p(x)^2,
∴　cos(θ), cos(2θ), cos(3θ), cos(4θ), cos(5θ) は T_11(x)-1=0, x≠1 の根、すなわち p(x)=0 の根。
∴　1/cos(θ), 1/cos(2θ), 1/cos(3θ), 1/cos(4θ), 1/cos(5θ) は p(1/t)=0 の根。
　(t^5)p(1/t) = t^5 +6t^4 -12t^3 -32t^2 +16t +32,
根と係数の関係より、
　(与式) = -6.

518:１３２人目の素数さん
08/09/15 11:17:09
>498

>>121-122

519:１３２人目の素数さん
08/09/15 12:15:13
>>497
左辺に第二余弦定理　cos(A) = (b^2 +c^2 -a^2)/(2bc), etc. を代入してゴリゴリ計算する.

　(左辺) = 1 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(2abc) = 1 + 4(s-a)(s-b)(s-c)/(abc) = 1 + 4(S^2)/(abcs) = 1 + (r/R) = (右辺),

ここで、s=(a+b+c)/2, Sは△ABCの面積, r=S/s, R=abc/(4S)　を使った。

520:１３２人目の素数さん
08/09/15 12:43:00
>>487
中辺に第二余弦定理　cos(A) = (b^2 +c^2 -a^2)/(2bc), etc. を代入して計算すると
　(中辺) = 1 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(2abc),
ここで、
　√{( a-b+c)(a+b-c)} = √{a^2 -(b-c)^2} ≦ a,
　√{(-a+b+c)(a+b-c)} = √{b^2 -(c-a)^2} ≦ b,
　√{(-a+b+c)(a-b+c)} = √{c^2 -(a-b)^2} ≦ c,
辺々掛けて
　(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) ≦ abc,

521:519
08/09/15 21:24:35
>>497
　ヘロンの公式も使った。
　s = (a+b+c)/2 とおくと、S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)},

URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)ヘロンの公式
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
遠山啓, 数学セミナー, √{(三辺の和の半)×(同－第一辺)(同－第二辺)(同－第三辺)} (1977)
宮沢賢治, 和賀郡二子村・花巻農学校齋藤貞一あて封書 (1927)

522:１３２人目の素数さん
08/09/15 22:19:32
∫[0→1]dx/(1+x^2*e^x)>1/(e-1)

x+y+z=1,x>0,y>0,z>0のとき
(x^x)(y^y)(z^z)≧1/3

△ABCの内部に点Pをとり，△ABCの面積をSとおけば
PA+PB+PC≧2(3S^2)^(1/4)

523:１３２人目の素数さん
08/09/15 22:49:30
>>521
>>ヘロンの公式
どっかの馬鹿が勝手につけた名前は重要ではない

524:１３２人目の素数さん
08/09/16 15:30:46
For distinct real numbers $a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$ such that $a < b < c < d < e < f$ and $abcdef = - 6$, let
\[
M = (a^{12} + 58a^8 + 193a^4 + 36)(b^{12} + 58b^8 + 193b^4 + 36)(c^{12} + 58c^8 + 193c^4 + 36)(d^{12} + 58d^8 + 193d^4 + 36)(e^{12} + 58e^8 + 193e^4 + 36)(f^{12} + 58f^8 + 193f^4 + 36)
\]

\[
N = 64(a^8 + 12a^4 + 11)(b^8 + 12b^4 + 11)(c^8 + 12c^4 + 11)(d^8 + 12d^4 + 1)(e^8 + 12e^4 + 11)(f^8 + 12f^4 + 11)
\]
.

Prove the following inequality.
\[
\sqrt [8]{\frac {M}{N}}\geq 6.
\]

525:１３２人目の素数さん
08/09/16 21:58:34
>>523
そりゃ定理名や式の名前は重要ではないけど、
名前が付いてなきゃ呼びづらいだろ。

526:１３２人目の素数さん
08/09/17 00:56:06
>>522

(上) コーシーの不等式より
　∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx * ∫[0→1] 1/{1+(x^2)(e^x)} dx ≧ {∫[0→1] dx}^2 = 1,
　∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx = [ x + (x^2 -2x+2)(e^x) ](0→1) = e-1,

(中)
　f(x) = x･log(x) とおく。
　f "(x) = 1/x >0 だから、fは下に凸。
　f(x) + f(y) + f(z) ≧ 3f((x+y+z)/3) = 3f(1/3) = log(1/3).
この真数をとる。

527:１３２人目の素数さん
08/09/17 22:00:51
f’(x)≧0とする
∫[-1→1]{f(x)/√(1+x^2)}dx≧0

528:１３２人目の素数さん
08/09/17 22:34:51
質問です
(0＜a＜b、X、Y、Zはいずれもa以上b以下であるー)「X+Y+Z=a+2b⇒XYZ≧ab＾2」を示せ

529:１３２人目の素数さん
08/09/18 07:08:59
>>522 (下)

(Toth の証明)
　Pの辺BC,CA,ABに関する対称点をA',B',C'とし、6辺形AC'BA'CB'を考える。
　周長L=2(AP+BP+CP), 面積F=2S,

　一方、等周問題から、n辺形については、L^2 ≧ {4n*tan(π/n)}F,
　n=6 のとき L^2 ≧ (8√3)F, これに代入。

文献[3] 例題9, p.17 (1987)
大関・青柳「不等式」p.162

530:１３２人目の素数さん
08/09/18 09:25:58
URLﾘﾝｸ(www.thehcmr.org)

S08-4 が不等式の手強い問題。
既に応募締切は過ぎてるけど…。

531:１３２人目の素数さん
08/09/18 22:03:27
というか寧ろ締切り過ぎてない問題は晒しちゃダメだろうｗ

532:１３２人目の素数さん
08/09/18 22:04:08
>>522
(上) の別解
e^x ≦ e < 3 より
　(左辺) > ∫[0→1] 1/(1+3x^2) dx = (1/√3)∫[0→√3] 1/(1+y^2) dy = (1/√3)arctan(√3) = π/(3√3) > 3/5,
一方、e > 2 + 2/3 より
　(右辺) < 3/5.

>>528
　XY - b(X+Y-b) = (b-X)(b-Y) ≧ 0,　　････ (1)
　Z(a+b-Z) - ab = (b-Z)(Z-a) ≧ 0,　　････ (2)
　X+Y+Z -a -2b = 0,　　　　　　　　　････ (3)
(1)*Z + (2)*b + (3)*bZ より
　XYZ - ab^2 ≧ 0.
等号成立は (X,Y,Z)=(a,b,b) (b,a,b) (b,b,a) のとき。

533:１３２人目の素数さん
08/09/18 22:29:42
そう言えば上の数検の3段の問題は締め切りすぎてそろそろ回答できたやつもいるのかな。

534:１３２人目の素数さん
08/09/18 22:58:03
今気付いたけどこのスレのURL0がいっぱい並んでて綺麗

535:１３２人目の素数さん
08/09/19 01:11:37
>>528 2008 千葉大の問題でした。回答速報の答えはへたくそ。
実際、誘導つきなんですがねえ。

536:１３２人目の素数さん
08/09/19 02:50:44
n個の正の実数x[1],x[2],,,,x[n]がx[1]+x[2]+･･･+x[n]=1を満たすとき
不等式
{x[1]}^2+{x[2]}^2+･･･+{x[n]}^2＜{-1+x[1]*x[2]+x[2]*x[3]+x[3]*x[4]+･･･+x[n-1]*x[n]+x[n]*x[1]}^2
を示せ。

537:５３６
08/09/19 02:55:48
n> 2です

538:１３２人目の素数さん
08/09/19 11:19:16
king ↔ うんち
(ab)^½ ≤ (a²+b²)/2
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²) ≥ (ax+by+cz)²

539:１３２人目の素数さん
08/09/19 11:20:41
荒らそうと必死ですね　わかります

540:１３２人目の素数さん
08/09/19 11:42:06
>>535-537
(-1+∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2　(x[n+1]=x[1])
=1-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=(∑[j=1,n]x[j])^2-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=∑[j=1,n]x[j]^2+2∑[1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞∑[j=1,n]x[j]^2

541:１３２人目の素数さん
08/09/19 11:45:52
↑なんか凄い見難いし、安価ミスってるし、∑の記法もいい加減だけど、なんかこんな感じだと思う。

542:１３２人目の素数さん
08/09/19 11:46:41
なんか²

543:KingMind ◆KWqQaULLTg
08/09/19 12:30:28
Reply:>>538 お前は何をたくらんでいる。

544:１３２人目の素数さん
08/09/19 14:54:59
>>540
＞　=(∑[j=1,n]x[j])^2-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞　=∑[j=1,n]x[j]^2+2∑[1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2

これはどういう変形？

545:１３２人目の素数さん
08/09/19 16:20:24
>>544
(∑[j=1,n]x[j])^2 を展開しただけ

546:１３２人目の素数さん
08/09/19 17:52:03
king ≤ うんこ

547:１３２人目の素数さん
08/09/19 18:29:25
荒らそうと必死ですね　わかります

548:KingMind ◆KWqQaULLTg
08/09/19 21:06:37
Reply:>>546 何をしている。

549:１３２人目の素数さん
08/09/20 03:45:57
>>536
　x[1] + x[2] + ･･･ + x[n] = s,
　Σ[1≦i<j≦n] x[i]*x[j] = t,
とおくと
　s = 1,
　∑[j=1,n]x[j]*x[j+1] ≦ t,
だから
　(左辺) = s^2 -2t = 1-2t,
　(右辺) > (1-t)^2,
よって成立。

550:１３２人目の素数さん
08/09/20 08:07:35
本質的に>>540=>>549

551:551蓬莱
08/09/20 23:51:56
URLﾘﾝｸ(www.551horai.co.jp)

552:１３２人目の素数さん
08/09/21 07:57:45
>>533
3段の方が4段より難しかったな。

553:１３２人目の素数さん
08/09/25 20:27:12
〔問題620〕
全ての自然数nについて
　n*log(n) -(n-1) ≦ log(n!) ≦ (n+1)log(n) -(n-1),
が成り立つことを証明せよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:620番)

(略証)
　左辺を a_n, 右辺を b_n とおく。
nについての帰納法による。

　log(1!)=0　より a_1 = log(1!) = b_1,
n>1 のとき
　a_n - a_(n-1) = n*log(n) -(n-1)log(n-1) -1
　　= n*log(n) - (n-1){log(n) + log(1 -1/n)} -1
　　= n*log(n) - (n-1){log(n) - log(1 + 1/(n-1))} -1
　　< n*log(n) - (n-1){log(n) - 1/(n-1)} -1
　　= log(n),
　b_n - b_(n-1) = (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
　　= (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
　　= (n+1)log(n) -n{log(n) + log(1 -1/n)} -1
　　> (n+1)log(n) -n{log(n) - 1/n} -1
　　= log(n),
よって成立。

554:１３２人目の素数さん
08/09/25 23:57:11
不等式たん (；´д｀) ﾊｧﾊｧ…

555:１３２人目の素数さん
08/10/03 03:31:17
俺も>>410の証明知りたい
夏休みずっと考えたけどできんかった(´･ω･`)

556:１３２人目の素数さん
08/10/04 01:08:48
>>555
みせてもらおうか！
その過程とやらを！

557:１３２人目の素数さん
08/10/04 01:37:22
πを上から評価して e を下から評価するだけでしょ。
e の方はテーラー展開ですぐ出る。
π の方は単位円に外接する正 2^n 角形の面積を考えれば良い。

558:１３２人目の素数さん
08/10/04 07:12:07
>>557
全然計算してないでしょ
それじゃあ、１日計算しても無理

559:１３２人目の素数さん
08/10/04 09:38:47
>>557
なめんなよ！

560:１３２人目の素数さん
08/10/04 14:07:15
>>415の小数第三位は 6 じゃ無くて 8 の間違いじゃない？
e^6 =403.42879 34927 35122 60838 71805.........
とかそんな感じになったんだけど。

561:１３２人目の素数さん
08/10/04 20:39:17
〔問題096〕
連続函数f(x): R→R に対して、以下の2つの方程式(1)～(4)を考える。
　f(x) = x　　… (1)
　f(f(x)) = x　　… (2)
　f(f(f(x))) = x　　… (3)
　f(f(f(f(x)))) = x　　… (4)
方程式(1)が実数解を持たないならば、方程式(2)～(4)も実数解を持たないことを示せ。

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:096番), 104, 118
京都大学入試作問者スレ①

562:１３２人目の素数さん
08/10/04 20:41:28
>>561 スレ違いっぽいが･････

(略証)
　f(x) - x = g(x) とおくと (1) は
　g(x) = 0,
題意により、g はすべての実数xで連続。もし
　g(a) ≦ 0 ≦ g(b),
なる a,b があったと仮定すれば、中間値の定理により、(1)が実数解をもつ。
これは題意に反する。
∴　g(x) は定符号。

題意より f(0) ≠ 0,
f(0) < 0 のとき g(x) <0,
　x > f(x) > f(f(x)) > f(f(f(x))) > …
f(0) > 0 のとき g(x) >0,
　x < f(x) < f(f(x)) < f(f(f(x))) < …

563:１３２人目の素数さん
08/10/04 23:49:07
>>557
評価がかなりｼﾋﾞｱなんで､手計算だとその方法では無理。

564:１３２人目の素数さん
08/10/05 00:26:53
>>562
関数方程式ヲタもいるから、okokよん！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

565:１３２人目の素数さん
08/10/05 04:42:02
e のほうはTaylor展開の収束がやたら速いから
十数桁ならすぐ計算できる。（解析概論に例題として載ってる）

だからこの問題は要するに
π を誤差 0.00 001/400・5 = 1/200,000,000 ・100% 程度で
上から評価せよという問題とほぼ同義。11桁くらい正しく出ればうまくいく。

2^n 角形による近似は誤差が約 1/2 倍で小さくなっていくだけだから
1 桁進むのに 3.3 回くらい掛かる。 30 回程度は計算しないといけないので
一日じゃ無理そう。じゃあ不可能なのかというとそうでもなくて
1579年にVièteが外接正 393216 角形の周長から π ＜ 3.1415926537 を導出している。
1596-1610年にはLudolph van Ceulenが正 32212254720 ( = 60・2^29 ) 角形の周長から
32（35？）桁まで正しく計算している。独逸では彼の業績を記念して円周率をLudolph数とも言う。
和算家の村松茂清が同じ方法で七桁正しく計算している。Archimedesから続く伝統的方法で
中国人は劉徽のalgorithmというらしい。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
# 建部賢弘は正1024角形を用いて42桁まで求めたとか書いてあるけど
# これは42桁まで正しかったんだろうか？だとするとかなり工夫を凝らした方法のはずだが。

で、もっと早く求めたいなら色んな方法があるが、
θ ＜ (2sin θ + tan θ)/3 を使うSnell（Ludolphの弟子）の方法（1621）ってのがあって、
Huygensはこれを改良して正六角形だけで π ＜ 3.1415926538 まで出している。
これ系を使うのが一番賢いかな。

566:１３２人目の素数さん
08/10/05 04:43:19
arctan のTaylor 展開（Gregory-Leibnitz級数）を使う方法もあり
これはかなり色んな亜種があってMachin-like formulaと呼ばれている。
π/4 = 4arctan(1/5) - arctan(1/239) が本家Machinだけど、これ以外にいろいろあって
π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/7) とか π/4 = 5arctan(1/7) + arctan(3/79) はEulerによる。
Eulerは後者を使って一時間で20桁計算したらしい。ただしEulerは暗算の達人だったので
自分も出来るなどとはあまり思わないほうが良いかも。
ただarctanを使って上から評価はきちんと厳密にやると面倒。ほぼ等比級数のスピードで収束。

Ramanujanの9801公式とかChudnovsky兄弟の公式なんてのもあって
これはきちんと証明されたのはつい最近のこと。厳密な上からの評価には向かなさそう。
計算機で計算する場合は算術幾何平均を利用した
Gauss-Legendre algorithm(Brent-Salamin algorithm)
とかBorwein's algorithmとかいうのも使われる。

円周率の公式と計算法
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)

イロモノとしてはBBP公式なんていう、16進数表記での n 桁目を
n-1 桁までを計算せず直接に計算できるような公式や、
Buffon's needleと言って針を等間隔の縞模様にたくさん
確率計算から近似的にπを求める、というのもある。
統計的に処理できれば、これでも科学的には実験で値を測定したことになる。
数学的には却下だが。

残りの参考サイト
円周率の公式集暫定版
URLﾘﾝｸ(www.pluto.ai.kyutech.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) 記事内のリンクも参照。
Wikipedia項目ﾘﾝｸ

567:１３２人目の素数さん
08/10/05 15:38:02
全面的に数値計算するのは題意に反してるんだが。
と思ったが>>410には書いてないか。数検の方にはなるべく数値計算せずに、と書いてある

568:１３２人目の素数さん
08/10/05 17:33:57
綺麗には出て来ないと思うけどなあ。
だから「なるべく」と数値計算が少ない解答を
高く評価するという表現に止めてあるわけで。

Snellの公式改良してsinやtanのTaylor展開使ったら
数値計算は少なくて済むと思う。

569:１３２人目の素数さん
08/10/05 18:00:03
>>410は数値計算しないで示すことができるの？
もしできても普通思いつきもしないようなことするんだろうな(人´Ａ`;)

570:１３２人目の素数さん
08/10/06 20:05:15
>>410 のもとの問題文は↓(>>430)

円周率をπ、自然対数の底をeとするとき
　　π^4+π^5≒e^6　　(400余りの数値で小数点以下4けたまで同じ)
で、しかも右辺が僅かに大きいことがコンピュータによる数値計算で知られています。
　数値計算をせずに
　　π^4+π^5＜e^6
であることを理論的に証明しなさい。

571:KingMind ◆KWqQaULLTg
08/10/06 20:54:56
Reply:>>570 数値計算もまた誤差の評価で成り立っている。

572:１３２人目の素数さん
08/10/06 23:59:10
>>570
論理的になら証明できるんだけど、残念！

573:１３２人目の素数さん
08/10/07 00:09:55
>>570
いかにもエレ解な問題だな

574:１３２人目の素数さん
08/10/07 01:17:05
これなんで自然に出て来なさそうかというと、
π^4+π^5≒e^6
ってのは偶然近いだけで、別に
深い数学的事実の表れとかじゃないからなんだよなあ、

575:１３２人目の素数さん
08/10/08 01:17:31
>>534
URLﾘﾝｸ(www3.tokai.or.jp)
最後の2つを参照、作成時刻にも注目

576:１３２人目の素数さん
08/10/09 21:33:02
>373-374 , 394
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:121番)

f(x) = 6/(1-x) - 1/x とおくと、
　(左辺) = f(a) + f(b) + f(c),
(a,b,c)の変域は、平面a+b+c=1上の a=1/2, b=1/2, c=1/2 を辺とする正三角形（但し頂点は除く）

・境界上の極大
　6/x + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},
　1/x + 1/(0.5-x) = 8 + (1-4x)^2 /{x(1-2x)},
より、辺 c=1/2 では
　(左辺) = f(a) + f(1/2 - a) + f(1/2) = 18 - (1-4a)^2 {7+(1-4a)^2}/{4a(1-a)(1+2a)(1-2a)} ≦ 18,
等号成立は (a,b,c) = (1/4,1/4,1/2) のとき。

・内部の極大
生姜ないから、微分法を使おう。
束縛条件（a+b+c=1）があるので、ラグランジュの未定乗数λを使う。
　I(a,b,c;λ) = f(a) + f(b) + f(c) - λ(a+b+c-1),
　∂I/∂a = ∂I/∂b = ∂I/∂c = 0　から
　f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ,　　f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
∴　(a,b,c; λ) = (1/3, 1/3, 1/3; 45/2) で極大値 18 をとる。

なお、この極大と境界上の極大(1/4,1/4,1/2)の間の鞍点（峠点）↓も解ではあるが、これらは捨てる。
　(a,b,c; λ) = (0.279000307274921, 0.279000307274921, 0.441999385450158, 24.3886725897975)

しかし･････後味わるいな。

577:576
08/10/09 21:47:21
・境界上の極大
　6/(1-x) + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},

578:１３２人目の素数さん
08/10/10 00:57:08
後味の悪さってのは、やはり、中高生でも分かる解法じゃないからだろうな

579:１３２人目の素数さん
08/10/11 00:16:10
ド田舎に住んでいるんだけど、近所の大学にAMMが置かれなくなってネタがたりねぇ…

580:576
08/10/13 04:25:00
>>　f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ,
を解くところを補足しとく。
　f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
　f "(x) = 12/(1-x)^3 - 2/(x^3),
∴　{x - 1/[1+6^(1/3)]}*f "(x) ≧ 0,
∴　区間 (0,1/2] で、f '(x) が等しいxは高々2個しかない。
∴　極値では、a,b,c のうちの2つは一致する。
a=b, c=1-2a としてよい。このとき
　(左辺) = 2f(a) + f(1-2a)
　　= 2{6/(1-a) -1/a} + 6/(2a) - 1/(1-2a)
　　= (1+8a-21a^2)/{a(1-a)(1-2a)}
　　= 18 - (4a-1)(3a-1)^2 /{a(1-a)(1-2a)}
　　≦ 18,　　　　　(1/4 ≦ a ≦ 1/2).
等号成立は a=1/4 と 1/3 のみ。

なお、a=0.279000307274921･･･には極小（鞍点、峠点）がある。

581:１３２人目の素数さん
08/10/18 06:28:12
>>341
A.435. Prove
　(a+b+c)*(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)},
where 1≦a,b,c≦2.

(略解)　　　　　　　　　　　　　　　(>>394 を参照)
>>373-374 から,
　6/(b+c) - 1/a + 6/(c+a) - 1/b + 6/(a+b) - 1/c ≦ 18/(a+b+c),
両辺に a+b+c を掛けて,
　6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} - (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≦ 0,

582:１３２人目の素数さん
08/10/18 08:19:15
>>341

B.4021
a_k = 1 + b_k,　b_k≧0 とおくと
　(左辺) = (b_1 +2)(b_2 +2)(b_3 +2)･････(b_n +2) ≧ (b のn～2次の項) + 2^(n-1)･(b_1 + b_2 + ･････ + b_n) + 2^n
　　　≧ {2^(n-1)}{b_1 + b_2 + ･････ + b_n +2) = (右辺).

A.433　A.436　A.439　A.447 は解答付き。

583:１３２人目の素数さん
08/10/19 00:12:38
>>373-374 を何とか高校ﾚﾍﾞﾙで解けないか頑張ってみて
次の問題に帰着され所までいって挫折した。
より遠ざかった感もあり．．．

t に関する実係数3次方程式 t^3 - (r-2)t^2 + qt - r＝0 が全て1以上の実数解を3個持てば､
r(r+1)≧6q が成り立つ。

584:583
08/10/19 00:45:17
4 r^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0、r≧5、q≧2 r-7 ならば
r (r+1)≧6 q が成り立てば良いか．．．駄目だ．．．

585:584
08/10/19 00:46:41
× 4 r^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0
○ 4 q^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0

586:１３２人目の素数さん
08/10/19 07:23:26
〆切過ぎたから今月の大数の宿題

a_1=2，a_(n+1)={1+(2+√3)a_n}/{(2+√3)-a_n}

a_n<5を示せ

587:１３２人目の素数さん
08/10/19 11:54:01
>586
　a_(n+1) = (2-√3 + a_n)/{1 - (2-√3)a_n}
　　　= {tan(π/12) + a_n}/{1 - tan(π/12)a_n},
∴　a_n = tan(α + (n-1)π/12),
ここに α = arctan(a_1), a_n は周期12をもつ。
　a_(n+6) = -1/a_n.
∴　はじめの6項を求めれば分かる。

588:583-585
08/10/19 15:08:21
多投スマ祖。

q≦2 r - 3 を忘れてた。
4 q^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3 ≦ 0 を q について解いて、
r-q 平面でグラフ書いて領域で責めたら何とかなった。

589:１３２人目の素数さん
08/10/20 04:57:18
>>583
　t - {(r-2)/3} = T,
とおいて 2次の項を消すと、
　t^3 - (r-2)t^2 + qt - r = T^3 + QT - R,
ここに、Q = q -3{(r-2)/3}^2, R = r - q{(r-2)/3} + 2{(r-2)/3}^3,

・3つの実根をもつから
　Q <0,　R^2 < 4(-Q/3)^3,

・解が t≧1 だから
　(t-1)^3 -(r-5)(t-1)^2 + (q-2r+7)(t-1) + (q-2r-3) =0,
の解がすべて t-1≧0.
根と係数の関係より
　r-5 ≧0,　q-2r+7 ≧0,　q-2r+3 ≦0,

590:１３２人目の素数さん
08/10/20 05:37:48
>>341

A.436. Prove that |{n√2} - {n√3}| > 1/(7n^3),
　for every positive integer n.

(略証)
0 ≦ {x} <1 より |t| <1, また、k = [n√3] - [n√2] とおくと　　　(← ガウスの記号)
　t = {n√2} - {n√3}
　　= n√2 - [n√2] - n√3 + [n√3]
　　= k - (√3 -√2)n (k∈N)
　　= ((k^2 -5n^2) + (2√6)n^2) / (k + (√3 -√2)n)
　　= ((k^2 -5n^2)^2 -24n^4) / ((k - (√3 +√2)n)(k + (√3 -√2)n)(k + (√3 +√2)n))
　　= (k^4 - 10(kn)^2 + n^4) / ((t -2√2･n)(t +2(√3 -√2)n)(t +2√3･n)),
　分母は0でない整数。

・ n≧20 のとき
　|t -2√2･n| < 2√2･n + 1 ≦ (2√2 + 1/20)n,
　t +2(√3 -√2)n < 2(√3 -√2)n + 1 ≦ (2(√3 -√2) + 1/20)n,
　t +2√3･n < 2√3･n +1 ≦ (2√3 + 1/20)n,
　辺々掛けて
　|分母| < 6.9356560324845688673761191952915･･･ * n^3,
　より成立。

・n≦20 のとき、
　(左辺) ≧ (√3 -√2)/n^3 > 1/(√10･n^3) > 1/(7n^3).

591:１３２人目の素数さん
08/10/20 23:06:03
>590
　分子は0でない整数。

>>565
Snellの方法の略証
相加･相乗平均より
　{ cos(x) + cos(x) + 1/cos(x)^2 }/3 > 1,
これをxで積分する。 [0<x<θ]

592:１３２人目の素数さん
08/10/27 01:28:31
>>341

B.4049. a,b,c are positive real numbers, such that ab+bc+ca=t. Prove that
　　　a/(a^2 -bc+3t) + b/(b^2 -ca+3t) + c/(c^2 -ab+3t) ≧ 1/(a+b+c),

(略証)
　a+b+c =s, abc =u とおく。
　(左辺) - (右辺) = 2{us^3 + (s^2 -4t)t^2} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s}　　････(*)
　　= 2{u(s^4 -9t^2) + (s^3 -4st +9u)t^2} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s^2}
　　= 2{u(s^2 +3t)F_0 + t^2･F_1} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s^2}
　　≧ 0,
ここで Schur の不等式　F_0 = s^2 -3t ≧0,　F_1 = s^3 -4st +9u ≧0 を使った。

(*) a^2 -bc =A, b^2 -ca =B, c^2 -ab =C とおくと
　S = A + B + C = s^2 -3t,
　T = AB + BC + CA = -t(s^2 -3t),
　U = ABC = us^3 - t^3,
　(左辺) = a/(A+3t) + b/(B+3t) + c/(C+3t)
　　= (aBC + AbC + ABc +9st^2)) / (U +3tT +9t^2･S +27t^3)
　　= 2{us^3 + (s^2 -4t)t^2}/{(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s}.

593:１３２人目の素数さん
08/10/27 02:43:50
次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
30分以内に確実にやって下さいと要請されたらどうするかっていうこと。

[問題]
abc=2なる正の実数a,b,cの組に対して、次の式の最小値を求めよ
1/(a(b+1))＋1/(b(c+1))＋1/(c(a+1))

594:１３２人目の素数さん
08/10/27 08:44:05
>>593
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？

新手の釣り師か？

595:１３２人目の素数さん
08/10/27 09:34:46
計算機で解けば？

596:１３２人目の素数さん
08/10/27 09:45:21
釣りじゃないですよ。
この問題の出典は数学検定1級の2次という変なところなのですが、
試験時間が短めで、時間制限を気にしないといけないのです。
もちろん値だけではだめで、論証しないといけません。
なので、『現実的な方法』という言葉を使いました。
そこで皆様の知恵をかりたいのですが、どうでしょうか。

597:１３２人目の素数さん
08/10/27 09:55:56
それのどこが不等式？

598:１３２人目の素数さん
08/10/27 16:59:40
>597さん
a=b=c=2^(1/3)で最小を取ることが予想できるので、
abc=2なる任意に正の実数a,b,cに対して、
次の不等式を示すことになるので、
そういう意味で不等式の問題とみなせると思いました。

1/(a(b+1))＋1/(b(c+1))＋1/(c(a+1)) ≧ 3/(2^(1/3)*(1+2^(1/3)))

599:１３２人目の素数さん
08/10/27 23:10:30
>>596
お前な、順序が間違ってるだろ！
まず、>>596を書いてから、>>593で質問だろ！
情報を小出しにするなとママに教わらなかったのか？

600:１３２人目の素数さん
08/10/29 03:55:59
Σ［k＝1→n］（1／k）＞5
となる最小の整数nを求めよ

a，b，cが相異なる正の数で√a＋√b＋√c＝1を満たすとき
｛ab／（b－a）｝log（b／a）＋｛bc／（c－ b）｝log（c／b）＋｛ca／（a－c）｝log（a／c）≦1／3
を示せ

601:１３２人目の素数さん
08/10/29 04:24:00
Σ［k＝1→n］（1／k）= log(n)＋γ＋O(1/n) に注意すると、
だいたいn=[e^(5-γ)]＝83 とわかる。
答えはn=83

602:１３２人目の素数さん
08/10/29 19:49:32
Σ［k＝1→n］（1／k）＞4
となる最小の整数nを求めよ

これだと高校生でも何とかできるか

603:１３２人目の素数さん
08/10/29 21:34:14
それの改良問題。
[Σ［k＝1→n]（1／k)] = [e^(5-γ)]
を満たさない正整数nは無限に存在するか。
ただし、γはオイラー定数とし、
[x]はxの整数部分を表すとする。

これだと愚直に計算機使うだけじゃ無理。

604:１３２人目の素数さん
08/10/29 21:40:55
>603
問題ミス。
Σ［k＝1→n］（1／k）＞m を満たす最小の整数nが、
n = [e^(m-γ)] とならない正整数mは無限に存在するか。

605:１３２人目の素数さん
08/10/29 23:24:13
>>600
S_82 = 5 -　 971061970808803141778039548955447 / D_5,
S_83 = 5 + 16703434187251287967291034353582814 / (D_5 * 83),
D_5 = 2^6 * 3^4 * 5^2 * 7^2 *11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79,

>>602
S_30 = 4 - 11675421053 / D_4,
S_31 = 4 + 1967151510157 / (D_4 * 31),
D_4 = 2^4 * 3^3 * 5^2 *7*11*13*17*19*23*29,

S_11 = 3 - 2221 / D_3,
S_12 = 3 + 89 / D_3,
D_3 = 2^3 * 3^2 * 5*7*11,

S_3 = 2 - 1/D_2,
S_4 = 2 + 1/(D_2*2),
D_2 = 2 * 3,

606:592
08/10/29 23:35:18
>>592 の訂正, ｽﾏｿ.

　(左辺) = a/(A+3t) + b/(B+3t) + c/(C+3t) = (3us + 8t^2)s/(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3).

607:１３２人目の素数さん
08/10/31 21:53:26
>>600

↓の補題に x=√(a/b), √(b/c), √(c/a) を代入してたす。
　　(左辺) < √(ab) + √(bc) + √(ca) < (1/3)(√a + √b + √c)^2,

〔補題〕
x>0, x≠1 のとき
　{x/(x^2 -1)}log(x^2) < 1,
(略証)
　f(x) = x -(1/x) -2log(x),
とおくと、f(1) =0,
平均値の定理より
　{f(x)-f(1)}/(x-1) = f '(ξ) = (1 - 1/ξ)^2 >0,　　　(ξは1とxの中間にある)
これに x/(x+1) を掛ける。

ハｧハｧ

608:１３２人目の素数さん
08/10/31 22:19:48
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

609:１３２人目の素数さん
08/11/02 04:23:18
正の実数x,y,zに対して次を示せ。
(xy)^3/(x^3+1)＋(yz)^3/(y^3+1)＋(zx)^3/(z^3+1) ≧ 6/{xyz(1＋xyz)}
できる神いる？

610:１３２人目の素数さん
08/11/02 06:46:30
>>609
x=y=z=1のときとか成り立たないんだが・・・
なんか間違えてねーか？

611:１３２人目の素数さん
08/11/02 10:20:43
>>593 >>598の変形し損ね？

612:１３２人目の素数さん
08/11/04 04:11:04
>>600
次の問いに答えよ。
（１） xが正の数のとき│log x│≦│x-1│/√x を示せ。
（２） p, q, r がp + q + r =1を満たす正の数のときp＾2+ q＾2+ r＾2 ≧1/3を示せ。
（３） a , b, c が相異なる正の数で、√a + √b　+ √c　= 1を満たすとき、
｛ab/(b - a)｝・ log(b/a) + ｛bc/(c - b)｝・ log(c/b) + ｛ca/(a - c)｝・ log(a/c) ≦　1/3
を示せ。　　　　　　　　　　　　　（２００７　阪大）

613:１３２人目の素数さん
08/11/04 10:21:31
>>612
誘導なしだったら、いい感じだね

614:１３２人目の素数さん
08/11/04 20:40:08
test

615:不等式だけの学会があるらしい
08/11/04 21:07:44
lemmma3
a1≧a2,b1≧b2 -> (a1-a2)(b1-b2)≧0 -> a1*b1+a2*b2≧a1*b2+a2*b1

TH2
任意の自然数nに対して：a1^n+a2^n+,,,+an^n≧n*a1*a2*,,,*an
証明)
n=1:a1≧a1
n=kの時成立していると仮定しn=k+1で成立する事を示す。
まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)①と仮定しても一般性を失わない。

a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^(k+1)+a(k+1)^(k+1)
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*ak +a(k+1)^k*a(k+1)
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^k*ak
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k-1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k+1)
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k+1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k-1)
(ここまでの不等号は全てlemma3と①による)
,,,,
≧(a1^k+a2^k+,,,+ak^k)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
(,,,及び最後の不等号もlemmma3と①による。
ai^k*ai+a(k+1)^i*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1)≧ai^k*a(k+1)+a(k+1)^(i-1)*ai*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1)
がやはりlemmma3と①によって成立するので、この事が言える)

≧k*(a1*a2*,,,*ak)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
(この不等号は帰納法の仮定による）

=(k+1)*a1*a2*,,,*ak*a(k+1)

よってTH2が成立。

TH1.TH2において、Ak=ak^nと置いていけば、明らかな相加相乗平均の不等式が現れる。

という事が今年の夏、8/18だか8/19に日本の高校の教師が示された。

次ページ