不等式への招待 第３� ..
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409:１３２人目の素数さん 08/07/30 23:07:48 >>408 (略解) b-a=x, c-b=y, a-c=z とおく。x+y+z =0, ∴ ≧0 のものと ≦0 のものがある。 題意より (a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a) = -3xyz > 0, {x,y,z} の2つは正、1つが負である。 x,y>0>z としてもよい。(x,y)-平面の第一象限で考える。 (a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = -3xyz = 3xy(x+y), (最小値) 軸を45ﾟ回して S/(√8) = (x+y)/√2, d = (x-y)/√2, とおくと、 3xy(x+y) = (3/√2){(1/8)S^2 - d^2}S, 題意より、 0 ≦ d^2 = (1/8)S^2 - 80/S = F(S), （F は単調増加函数） S ≧ 4･10^(1/3), 等号成立は x = y = -z/2 = 10^(1/3), またはその rotation のとき。 (最大値) なし x→∞ のとき、0 < y < 20/x^2 →0, S=2(x+y) →∞. 410:１３２人目の素数さん 08/08/02 12:58:58 π^4+π^5<e^6を示せ 411:１３２人目の素数さん 08/08/02 13:39:34 グーグルで計算したら殆ど同じだった。 でも少しだけe^6が大きかった。 これはただの偶然か？
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