不等式への招待 第３� ..

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407:１３２人目の素数さん 08/07/28 03:43:15 復刊希望ンヌ！ 408:１３２人目の素数さん 08/07/30 23:03:59 他スレから１題･･･ 〔問題396〕実数 a,b,c が条件 　(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 60, を満たすとき、 　S = |a-b| + |b-c| + |c-a| の最大値と最小値を求めよ。 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/396 ,442 409:１３２人目の素数さん 08/07/30 23:07:48 >>408 (略解) 　b-a=x, c-b=y, a-c=z とおく。x+y+z =0, ∴ ≧0 のものと ≦0 のものがある。 題意より　(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a) = -3xyz > 0, {x,y,z} の2つは正、1つが負である。 x,y>0>z としてもよい。(x,y)-平面の第一象限で考える。 　(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = -3xyz = 3xy(x+y), (最小値) 軸を45ﾟ回して 　S/(√8) = (x+y)/√2,　 　d = (x-y)/√2, とおくと、 　3xy(x+y) = (3/√2){(1/8)S^2 - d^2}S, 題意より、 　0 ≦ d^2 = (1/8)S^2 - 80/S = F(S),　　　（F は単調増加函数） 　S ≧ 4･10^(1/3), 　等号成立は x = y = -z/2 = 10^(1/3), またはその rotation のとき。 (最大値) なし 　x→∞ のとき、0 < y < 20/x^2 →0,　S=2(x+y) →∞.

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