不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

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392:１３２人目の素数さん
 08/07/18 19:46:07 
とりあえずIMO 
 
'08 2 
(1)x,y,z∈R-{1}, xyz=1のとき, x^2/(x-1)^2+y^2/(y-1)^2+z^2/(z-1)^2≧1を示せ。 
(2)(1)で、等号が成立する有理数の組(x,y,z)が無限に存在することを示せ。

393:１３２人目の素数さん
 08/07/19 00:09:16 
>>392  
(1)　基本対称式を x+y+z =s, xy+yz+zx =t, xyz =u とおく。  
　{x(y-1)(z-1)}^2 + {(x-1)y(z-1)}^2 + {(x-1)(y-1)z}^2 - {(x-1)(y-1)(z-1)}^2  
　= 3u^2 -4tu +2t^2 -2(st-3u) + (s^2 -2t) - (u-t+s-1)^2 
  = (t-3)^2 + 2(u-1)(u-t-s+5),  
　= (t-3)^2　　　　　　　　　　 (← 題意より u=1) 
　≧ 0,  
これを {(x-1)(y-1)(z-1)}^2 >0 で割る。 
  
(2)　等号条件は t=3, u=1. なので･･･

394:１３２人目の素数さん
 08/07/20 08:47:38 
とりあえず、>>373-374が解ければA.435が解けることが分かった。

395:１３２人目の素数さん
 08/07/20 15:21:54 
そろそろ、３文字の対称式に対する不等式に対して一般的解法をここへ載せてもいい時期ではないか？ 
表立って現れて来ない条件は３文字が実数を現すって事だけで、後は問題の条件が付け加われば 
もう、解法に使える条件式は本質的にはないのだから、後はその式が少々煩雑で 
一般的にはそれほどよく目にしないってだけの話なんだから、、、。 
そうして、文字の次数をあげれば、それはそれで一般的な理論への道が開けている。 
 
そうして、事はそれほどには単純明快にはならないだろうが、、、。 
ここらへんから先には幾何や代数もからんで来て数学を学んで視野や地平線を広げていくのには 
格好の話題になると思う。 
 
別に不等式だけからでも、数学の全分野に近い範囲を見渡す事だってできると思うし、 
そいつは結構おもしろい旅路だと思うよ。

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