不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

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388:１３２人目の素数さん
 08/07/17 02:20:48 
訂正 
ｎは２５以上の定数，ｘ，ｙ，ｚは負でない整数で，ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５のとき 
｛１－（ｘ／ｎ）｝｛１－（ｙ／ｎ）｝｛１－（ｚ／ｎ）｝ 
の最大値を求めよ  （５８東京理科大）

389:１３２人目の素数さん
 08/07/17 03:40:53 
フハハハハ…、解ける、解けるぞ！

390:１３２人目の素数さん
 08/07/17 07:02:42 
(1-25/3n)^3 
2*2.5^2=2*5^2/2>25/2 
2(c/2+2/c)^2=(4+c^2)^2/2c^2>c/(c+1) 
 
　2^((x-y)/y) － (3/2)y = 1 
2^(x/y-1)=1+(3/2)y=(2+3y)/2 
2^(x/y)=2+3y 
(x/y)log2=log(2+3y) 
xlog2=ylog(2+3y) 
x=ylog(2+3y)/log2 
 
log(2+3y)=klog2 
2+3y=2^k 
y=(2^k-2)/3=2(2^(k-1)-1)/3 
2^(k-1)-1=3m 
k-1=log(3m+1)/log2 
k=log(3m+1)/log2+1 
y=(2^k-2)/3=2(2e^log(3m+1)-2)/3=2(2(3m+1)-2)/3=4m 
x=ylog(2+3y)/log2=4mlog(2+12m)/log2

391:１３２人目の素数さん
 08/07/17 22:10:13 
私にも解けますた…  
 
>>387    
(1)　a/(1+a) + b/(1+b) ≧ a/(1+a+b) + b/(1+a+b) = (a+b)/(1+a+b) ≧ c/(1+c).　　　{← x/(1+x) は単調増加}   
　　∵ (a+b)(1+c) - (1+a+b)c = (a+b) - c ≧ 0.  
  
(2)　a+b=s, b-a=d とおくと  
　(左辺) = {a+(1/a)}^2 + {b+(1/b)}^2  
　　= (a^2 + b^2) + {(1/a)^2 + (1/b)^2} + 4  
　　= (a^2 + b^2){1 + (1/ab)^2} + 4  
　　= (1/2)(s^2 + d^2){1 + 16/(s^2 - d^2)^2} + 4  
これは d^2 について単調増加。d=0 のとき最小値  
　(1/2)(s^2){1 + (2/s)^4} + 4 = 2{(s/2)+(2/s)}^2.  
　(別法)　f(x) = {x + (1/x)}^2 = x^2 + 2 + 1/(x^2)　は下に凸だから  
　　f(a) + f(b) ≧ 2f((a+b)/2) = 2f(s/2) = 2{(s/2)+(2/s)}^2.  
  
(3)　基本対称式を x+y+z =s, xy+yz+zx =t, xyz =u とおく。 
　(xy+yz+zx)/(xyz) = t/u ≧ 3*(3/s),  
　(x+y+z)/(xyz) = s/u ≧ 3*(3/s)^2, 
　1/(xyz) = 1/u ≧ (3/s)^3,  
　(左辺) = {2+(1/x)}{2+(1/y)}{2+(1/z)} = {8xyz + 4(xy+yz+zx) + 2(x+y+z) + 1}/(xyz)  
　　= 8 + 4(xy+yz+zx)/(xyz) + 2(x+y+z)/(xyz) + 1/(xyz)  
　　≧8 + 12*(3/s) + 6*(3/s)^2 + (3/s)^3  
　　= {2 + (3/s)}^3  
 
>>388  
(4) 相乗相加平均より  
　(与式) ≦ {1 - (x+y+z)/(3n)}^3 = {1 - s/(3n)}^3.

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