不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

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372:371
 08/07/10 23:08:51 
　b[1] = 2 = 2√n,  
　b[n]/b[n-1] = 4*(n*n)/[(2n)(2n-1)] = n/(n - 1/2)  
　　= √{n*n/(n - 1/2)(n - 1/2)}  
　　= √{n/(n-1)} * √{(n-1)n/[(n-1)n + (1/4)]}  
　　< √{n/(n-1)}.  
∴　b[n]/(2√n) は単調減少。  
なお、  
　b[n]/(2√n) → √(π/2),　　　　(n→∞)

373:１３２人目の素数さん
 08/07/11 10:14:37 
a,b,cは0より大きく1/2より小さい実数でa+b+c=1を満たすとする。このとき 
(7a-1)/(a-a^2)+(7b-1)/(b-b^2)+(7c-1)/(c-c^2)≦18

374:１３２人目の素数さん
 08/07/11 10:15:47 
>>373 
0＜a,b,c≦1/2 で考えてください。m(_ _)m

375:１３２人目の素数さん
 08/07/13 11:09:47 
∫[-1,1]|x^2+ax+b|dx≧1/2 
を示せ

376:１３２人目の素数さん
 08/07/13 18:12:00 
今までで一番綺麗だと思った不等式は何ですか

377:１３２人目の素数さん
 08/07/13 20:49:27 
>376 
シュワルツの不等式

378:１３２人目の素数さん
 08/07/14 21:51:14 
>>375  
(ア)　[-1,1] 内に x^2 +ax+b =0 の2根がない場合は  
　a ,bを適当に動かすことによって [-1,1]の全域にわたり |x^2 +ax +b| を減少させることが可能(証略)。 
 
(イ)　[-1,1] 内に x^2 +ax +b =0 の2根がある場合 -1≦α≦β≦1 と置いて積分を実行！  
　(左辺) = ∫_[-1,α] (α-x)(β-x)dx + ∫_[α,β] (x-α)(β-x)dx + ∫_[β,1] (x-α)(x-β)dx  
　　　= {(1/6)(3β-α)α^2  + b - (1/2)a + (1/3)} + (1/6)(β-α)^3 + {(1/6)(β-3α)β^2 + b + (1/2)a + (1/3)}  
　　　= (1/3)(β-α)^3 + 2b + 2/3　　　　　　　　　　　　(αβ≧0 のときは 明らかに ≧2/3)  
　　　= (1/3)(β-α)^3 -(1/2)(β-α)^2 + 1/6 + (1/2)a^2 + 1/2　(← 以下、α≦0≦β とした.)  
　　　= (1/3)(β-α +1/2)(β-α-1)^2 + (1/2)a^2 + 1/2  
　　　≧ 1/2.  
等号成立は β-α=1 かつ α+β= -a =0、すなわち α=-1/2, β=1/2 のとき. (終)  
  
いくら何でもマンドクセ？

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