不等式への招待 第３� ..

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368:１３２人目の素数さん 08/07/10 21:58:19 S1*S2/S3≧6{S1^3-2*S1*S2+3*S3}/{S1*S2-S3} S1*S2*{S1*S2-S3}-6*S3*{S1^3-2*S1*S2+3*S3}≧0 369:１３２人目の素数さん 08/07/10 22:02:04 -6*S3*S1^3+S2^2*S1^2+13*S2*S3*S1-18*S3^2≧0 370:１３２人目の素数さん 08/07/10 22:08:15 >>369 それが常に成り立つことの証明は？ 371:１３２人目の素数さん 08/07/10 23:05:37 >>360 　(分子) = Σ[k=0→2n] C[2n,k] = (1+1)^(2n) = 2^(2n), 　(分母) = Σ[k=0→n] (C[n,k])^2 = Σ[k=0→n] C[n,k]･C[n,n-k] = C[n+n,n], より 　(左辺) = {2^(2n)}/C[2n,n] = b[n] とおく。 　b[1] = 2 = √(2n), 　b[n]/b[n-1] = 4*(n*n)/[(2n)(2n-1)] = n/(n - 1/2) 　　= √{n*n/(n - 1/2)(n - 1/2)} 　　= √{n/(n-1)} * √{(n-1)n/[(n-1)n + (1/4)]} 　　< √{n/(n-1)}. ∴　b[n]/√(2n) は単調減少。 なお、 　b[n]/√(2n) → (√π)/2,　　　　(n→∞) http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/239

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