不等式への招待第３章

不等式への招待第３章 at MATH

350:１３２人目の素数さん
08/07/02 20:57:26
>>341

B.4040.
　a=tan(A/2), b=tan(B/2), c=tan(C/2)　　　　(0<A,B,C<π)
とおく。附帯条件から
　cot((A+B+C)/2) = (1-ab-bc-ca)/(a+b+c-abc) = 0,
　A+B+C = π,
　ABCは三角形をなす。

(1) 鋭角三角形（or直角三角形）のとき
　(左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 3cos((A+B+C)/3)　　(← 上に凸)
　　　　= 3cos(π/3) = 3/2.
(2) 鈍角三角形のとき、0<A,B<π/2<C とする。
　　　(左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 2cos((A+B)/2) + cos(C)　(← 上に凸)
　　　　= 2sin(C/2) + cos(C) = 1 +2sin(C/2) -2sin(C/2)^2
　　　　= √2 - 2{sin(C/2) -(1/√2)}{sin(C/2) -1 +(1/√2)} < √2　　(← sin(C/2) > 1/√2)

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