不等式への招待 第３� ..

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347:１３２人目の素数さん 08/06/29 00:50:11 私のコレクションの中にも無いなぁ… 348:１３２人目の素数さん 08/06/30 22:51:51 A436とか微妙におもしろいね。不等式ならでは。解析ならでは。 349:１３２人目の素数さん 08/07/02 01:21:20 中心がＯで半径１の円に内接する△ＡＢＣがある。 ↑ＯＡ＝↑ａ、↑ＯＢ＝↑ｂ、↑ＯＣ＝↑ｃ とするとき ↑ａ・↑ｂ＋↑ｂ・↑ｃ＋↑ｃ・↑ａ の取りうる値の範囲を求めよ。 350:１３２人目の素数さん 08/07/02 20:57:26 >>341 B.4040. 　a=tan(A/2), b=tan(B/2), c=tan(C/2)　　　　(0<A,B,C<π) とおく。附帯条件から 　cot((A+B+C)/2) = (1-ab-bc-ca)/(a+b+c-abc) = 0, 　A+B+C = π, 　ABCは三角形をなす。 (1) 鋭角三角形（or直角三角形）のとき 　(左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 3cos((A+B+C)/3)　　(← 上に凸) 　　　　= 3cos(π/3) = 3/2. (2) 鈍角三角形のとき、0<A,B<π/2<C とする。 　　　(左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 2cos((A+B)/2) + cos(C)　(← 上に凸) 　　　　= 2sin(C/2) + cos(C) = 1 +2sin(C/2) -2sin(C/2)^2 　　　　= √2 - 2{sin(C/2) -(1/√2)}{sin(C/2) -1 +(1/√2)} < √2　　(← sin(C/2) > 1/√2)

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