不等式への招待第３章

不等式への招待第３章 at MATH

338:１３２人目の素数さん
08/06/14 19:02:42
>>326

a[k]/a[k+1] = b[k] とおく。
　(右辺) = Σ_{k=1,n} (a[k] + a[k+1]) / (a[k+1] + a[k+2])
　　= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) / (1 + 1/b[k+1])
　　= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k+1]/(b[k+1] +1)
ここで x/(x+1) = 1 - 1/(x+1) は単調増加ゆえ、チェビシェフ和の不等式から
　　≦Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k]/(b[k] +1)
　　= Σ_{k=1,n} b[k]
　　= (左辺).
ただし、a[n+1]=a[1], a[n+2]=a[2] 等とした。
ぬるぽ

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