不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

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336:１３２人目の素数さん
 08/06/08 22:07:04 
〔問題83〕(改作)  
a,b,c>0 とする.  
　a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ca)^2 + (ab)^2 + (bc)^2 ≧ abc(a+b+c) ≧ abc{√(bc) + √(ca) + √(ab)} ≧ 3(abc)^(4/3), 
を示せ。  
  
東大入試作問者スレ１５  
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/83  
  
---------------------------------------------------------  
  
(略証)  
左端  
　(1/2)(a^4 + b^4) ≧ (ab)^2,  
　巡回的にたす。 
中央左  
　(1/2){(ca)^2 + (ab)^2} = (1/2)(a^2)(c^2 + b^2) ≧ (a^2)bc, 
　巡回的にたす。 
中央右  
　(1/2)(b+c) ≧ √(bc),  
　巡回的にたす。 
右端 
　√(bc) + √(ca) + √(ab) ≧ 3{√(bc)√(ca)√(ab)}^(1/3) = 3(abc)^(1/3),

337:１３２人目の素数さん
 08/06/08 23:13:45 
ﾊｧﾊｧ…

338:１３２人目の素数さん
 08/06/14 19:02:42 
>>326  
  
a[k]/a[k+1] = b[k] とおく。  
　(右辺) = Σ_{k=1,n} (a[k] + a[k+1]) / (a[k+1] + a[k+2])  
　　= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) / (1 + 1/b[k+1])  
　　= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k+1]/(b[k+1] +1)  
ここで x/(x+1) = 1 - 1/(x+1) は単調増加ゆえ、チェビシェフ和の不等式から  
　　≦Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k]/(b[k] +1)  
　　= Σ_{k=1,n} b[k]  
　　= (左辺).  
ただし、a[n+1]=a[1], a[n+2]=a[2] 等とした。  
ぬるぽ  
  
http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevSumInequality.html

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