不等式への招待 第３� ..

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333:１３２人目の素数さん 08/05/28 17:29:13 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/79 から転載 nPk < (k! 2^n)/√n が成り立つことを示せ ただしnPkは順列の個数を意味する 334:１３２人目の素数さん 08/05/31 20:35:13 >>333 nＰk /k! = C(n,k) とおくと、問題の式は C(n,k) < (2^n)/√n, 　 C(n,k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k), より、左辺は k=[n/2] に向かって単調に増加する。 ∴ C(n,k) ≦ C(n,[n/2]), 〔補題〕 　C(n,[n/2]) ≦ (2^n)/√(n+2), 　等号成立は n=2 のとき。 (略証) nについての帰納法による。 n=1,2 のとき成立。 nが偶数のとき、n=2m, 　C(2m,m) = 4{(m -1/2)/m}･C(2m-2,m-1) < 4√{2m/(2m+2)}･C(2m-2,m-1), 　C(2m,m){1/[2^(2m)]}√(2m+2) は単調減少。 　C(2m,m) ≦ {2^(2m)}/√(2m+2), nが奇数のとき、 　C(2m-1,m) = (1/2)C(2m,m) < {2^(2m-1)}/√(2m+2),　　　(終) ※ 分母を √(n+2) にすると、間単に出る所がミソ。 335:１３２人目の素数さん 08/06/04 02:51:52 >>334 の補足 　C(n,k) = n!/{k!(n-k)!} = n!/{(k-1)!(n+1-k)!}*((n+1-k)/k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k), 　(m -1/2) /m < √{2m/(2m+2)}, (略証) 　2m(m^2) - (2m+2)(m -1/2)^2 = 2m^3 -2(m+1)(m^2 -m +1/4) = (3m-1)/2 >0,

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