不等式への招待 第３� ..

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317:１３２人目の素数さん 08/05/08 11:22:51 >>316 0 318:１３２人目の素数さん 08/05/10 19:26:12 >>315 (x+y+z)/3 =A の断面で考える。　Σ逆順序積 ≦ Σ乱順序積 より 　x(1-x) + y(1-y) + z(1-z) ≦ (x+y+z)(3-x-y-z)/3 = 3A(1-A), よって 　(与式) ≦ A + √[3A(1-A)] 　= (3/2) - {(3/2 -A) - √[3A(1-A)] } 　= (3/2) - 4(A -3/4)^2／{(3/2 -A) + √[3A(1-A)]} ≦ 3/2, 等号成立は A=3/4, x=y=z=3/4 のとき。 >>316 球の中心をOとし、OA↑=ａ↑, OB↑=ｂ↑, OC↑=ｃ↑, OD↑=ｄ↑ とおく。 　(与式) = (ｂ-ａ)(ｃ-ａ) + (ｃ-ａ)(ｄ-ａ) + (ｄ-ａ)(ｂ-ａ) 　　= ｂ･ｃ + ｃ･ｄ + ｄ･ｂ -2(ａ･(ｂ+ｃ+ｄ)) + 3(ａ･ａ) 　　= (Ｓ^2 -ｂ^2 -ｃ^2 -ｄ^2)/2 -2(ａ･Ｓ) + 3(ａ･ａ)　　　(← Ｓ=ｂ+ｃ+ｄ) 　　= (1/2)(Ｓ-2ａ)^2 + ａ^2 - (1/2)(ｂ^2 +ｃ^2 +ｄ^2)　　　(← 平方完成) 　　≧ a^2 - (1/2)(ｂ^2+ｃ^2+ｄ^2) 　　= -(1/2)r^2, 等号成立は Ｓ = ｂ+ｃ+ｄ = 2ａ のとき。 　(例えば、 △BCDが正3角形、その重心の方向にAがあり、∠AOB=∠AOC=∠AOD=arccos(2/3).)

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