不等式への招待 第３� ..

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308:307 08/03/29 03:10:13 訂正。スマソ。 　　cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^3 ≦ cos((A+B+C)/3)^3 309:１３２人目の素数さん 08/03/30 16:20:16 相加相乗の不等式をできるだけ多くの方法で証明せよ 310:１３２人目の素数さん 08/03/30 23:25:44 >>309 君がしたまえ！ 311:１３２人目の素数さん 08/03/31 23:11:01 >>306 [同スレ262] 既に解かれているが別解。 a ≦ b ≦ c として考えてよい。 R = abc/4S　　（S は三角形の面積） 　= abc/√{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}　　（∵ヘロンの公式） 　= {√(a^2 + b^2 + c^2)}/3 ∴ 9 a^2 b^2 c^2 = (a^2 + b^2 + c^2)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) 0 = 左辺 - 右辺 　= a^6 + b^6 + c^6 + 3 a^2 b^2 c^2 - a^4 b^2 - a^4 c^2 - b^4 a^2 - b^4 c^2 - c^4 a^2 - c^4 b^2 　= a^2 (b^2 - a^2) (c^2 - a^2) + (c^2 - b^2)^2 (c^2 + b^2 - a^2) 　≧ 0　　（∵ a ≦ b ≦ c） だから等号は成り立っていなければならない。 等号の成立条件は {a = b または a = c} かつ b = c すなわち a = b = c。 このとき R = a/√3。

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