不等式への招待第３章

不等式への招待第３� ..

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304:１３２人目の素数さん
 08/03/16 23:25:16 
半径１として考える。超球体の点x=(x1,...,x_n)を 
単位ベクトルt=(t1,..,tn)を使ってx=rt (0≦r≦1)と書く。 
(距離の積の２乗) 
=Π{(r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2} 
≦{(1/n)Σ((r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2)}^n （相加相乗） 
={(r^2+1)^2-(4/n)r^2}^n 
={(r^2+(1-2/n))^2+1-(1-2/n)^2}^n 
よって右辺はr=1で最大となるから 
距離の積はr=1, |t1|=...=|tn|(=1/√n) 
のとき最大値(4-4/n)^(n/2)

305:１３２人目の素数さん
 08/03/16 23:26:15 
ﾘﾛｰﾄﾞしてなかったorz

306:１３２人目の素数さん
 08/03/28 01:59:51 
同スレからもう一題…  
   
〔問題244〕(改作)  
三角形の三辺をa,b,cとし、外接円の半径をRとおく。このとき次を示せ。 
　R ≧ {√(a^2 +b^2 +c^2)}/3,　等号成立は R√3 =a=b=c のとき。 
  
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/244

307:１３２人目の素数さん
 08/03/29 00:24:53 
>306  
(略解)  
　a,b,cに対する頂角をA,B,C とする。 
　a^2 + b^2 + c^2 = (-a^2+b^2+c^2) + (a^2-b^2+c^2) + (a^2+b^2-c^2) 
　　　= 2bc･cosA) + 2ca･cos(B) + 2ab･cos(C) 　　　(←第2余弦定理)  
　　　= (8R^2){cos(A)sin(B)sin(C) + sin(A)cos(B)sin(C) + sin(A)sin(B)cos(C)}  
　　　= (8R^2){ -cos(A+B+C) + cos(A)cos(B)cos(C)}　　　　　　　　(*) 
　　　= (8R^2){ 1 + cos(A)cos(B)cos(C)}　　　　　　　　　(← A+B+C=180ﾟ) 
　　　≦(9R^2).  
  
(*)　exp(iA)exp(iB)exp(iC) = exp(i(A+B+C)) の実部をとる。 
 
〔補題〕 
　三角形の三頂角をA,B,Cとするとき、cos(A)cos(B)cos(C)≦ 1/8,　等号成立は A=B=C=60ﾟ のとき。 
(略証)  
　・鈍角3角形のときは、残りの2角は90ﾟ未満だから cos(A)cos(B)cos(C) <0, 
　・鋭角3角形のときは、子s(A),cos(B),cos(C)≧0,  
　　相乗・相加平均と cos(x) が上に凸であることから｛または log(cos(x))が上に凸であることから｝ 
　　cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^(1/3) ≦ cos((A+B+C)/3)^3  
　　　　= (1/2)^3 = 1/8,　　　　　　　　　　　(← A+B+C=180ﾟ)　　　(終)

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