不等式への招待 第３� ..
282:パトリシア=マーティン （らき☆すた）
08/02/11 23:07:30
､＿＿__,, -――- ､ヽ 、
_＞ ヽ} ）
／ ／ ' / ⌒ヽ
∠（ / ^ﾒ､ // } ',
ヽ/ { / {{ ﾊ } ヽ. |
. ／ ,ﾉx=ﾐ从 / |⌒/ Ｖ |
∠ -ｧフ ,ｲ〃うﾊハ／ _ | ∧ { ﾘ
厶‐'´! } V辷j ≠弌 〉､ ∨
V{. ヽゝ '＿_ / ＼ ＼
＼个 . V _） _厶 人ﾉ￣
＾ j人＞rー/＾}_ ,イﾉ´ ニホンゴのカンジってムズカシイネ
xr＜了 （｀ヽ{ /｀ヽ
/ ｛. {YY´￣ }７ }
/〃} } 人_, j /
/ {{ { {{ ヽ. ＼ /
283:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/11 23:33:13
1stVirtue教では応用数学の習得もする。
284:１３２人目の素数さん
08/02/12 00:49:18
>>283
お前誰だ？ 馬鹿じゃねーの？
285:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/12 07:26:02
Reply:>>284 日本人の心を持つことをお前様はわかるのだろうか。
286:１３２人目の素数さん
08/02/12 16:30:11
>>285 は気違いだから相手にするな。
「1stVirtue教」だとさｗｗｗ
287:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/12 16:56:38
Reply:>>286 不心得者は早く日本から去りてくださいませ。
288:1stVirtue
08/02/12 19:01:31
>>287
お前が出て行け！偽者。
289:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/12 19:32:57
Reply:>>288 誰が本物であるかの議論をしなくてはならぬのか。
290:１３２人目の素数さん
08/02/13 21:21:30
>>289
当たり前だろ
それより俺の心を読むのをやめてくれないか
291:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/13 23:38:37
Reply:>>290 どうしろという。
292:１３２人目の素数さん
08/02/14 01:19:01
数学の命題にはそれ自体真か偽かが証明不可能な命題が存在する（ゲーデル）
293:１３２人目の素数さん
08/02/14 11:34:35
1stVirtue ◆.NHnubyYck
お前邪魔やからさっさと消えろや！
294:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/14 11:48:43
Reply:>>293 自分または自分の親戚がよそ者かどうか考えてみよ。
295:１３２人目の素数さん
08/02/16 22:15:57
>>277
示すべき不等式を整理すると
| N | < D,
を示せばよいことがわかる。ここに N = xyz + (x+y+z), D = (xy+yz+zx) +1,
問題文に (x,y,z) の絶対値は1より小さい, とある。よって
D + N = (1+x)(1+y)(1+z) >0,
D - N = (1-x)(1-y)(1-z) >0,
辺々掛けて
D^2 - N^2 = (1-x^2)(1-y^2)(1-z^2) >0,
| N | < D,
296:KBumDUXdQj
08/02/28 11:50:58
pUNSrO <a href="URLﾘﾝｸ(khiyeukbkpro.com)">khiyeukbkpro</a>, [url=URLﾘﾝｸ(tozwceqtvhzs.com) [link=URLﾘﾝｸ(sisigqwdtxhd.com) URLﾘﾝｸ(yllgcklstqui.com)
297:１３２人目の素数さん
08/03/08 20:45:38
自然数 n に対し、 a[n] = (1 + 1/n)^n とする。
a[n+1] - a[n] < a[n] / {2 * (n+1)^2}
を示せ。
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十四問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:69番)
（補注）
n=1 だと左辺＝右辺だから n≧2 の誤りだと思われる。
298:１３２人目の素数さん
08/03/12 00:29:56
同スレからもう一題。
82 ：69：2008/03/09(日) 18:11:30
【補題】
x,y>0 のとき
x^(n+1) - (n+1)x･y^n + n･y^(n+1) ≧0,
等号成立は x=y のとき。
(略証)
(左辺) = (x-y)^2･Σ[k=０,n-1] (k+1)･x^(n-k-1)･y^k, より明らか。
{S_n = 1 + 2r + 3r^2 + … + n･r^(n-1) を求める頻出問題より}
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:82番)
-------------------------------------------------------
(別証)
(左辺) = (x-y)S,
ここに
S = x^n + x^(n-1)･y + …… + x･y^(n-1) - n･y^n = Σ[k=0,n-1] {x^(n-k) - y^(n-k)}･y^k,
とおいた。
x>y>0 のとき S >0,
(左辺) = (x-y)S >0.
y>x>0 のとき S <0,
(左辺) = (x-y)S >0. (終)
299:１３２人目の素数さん
08/03/12 04:31:35
入試レベルの不等式キボンヌ
300:１３２人目の素数さん
08/03/12 04:34:48
ヘルダーの不等式を証明汁
301:１３２人目の素数さん
08/03/12 08:50:42
>>300
URLﾘﾝｸ(wiki.livedoor.jp)
302:１３２人目の素数さん
08/03/16 22:15:52
同スレからもう一題。
【問題】(改作)
n≧2 とし、n次元Euclid空間を考える。
半径rの超球面（中心は原点にある）と座標軸の交点は2n個ある。
半径r'の超球の内部（超球面を含む）にある点Pから2n個の交点までの距離の積の最大値をもとめよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:162番), 165
303:１３２人目の素数さん
08/03/16 22:23:59
>302
(略解)
各点の座標を
O = (0,0,…,0), 原点
A_1 = ( r,0,…,0), A_2 = (0, r,0,…,0), ……, A_n = (0,…,0, r),
B_1 = (-r,0,…,0), B_2 = (0,-r,0,…,0), ……, B_n = (0,…,0,-r),
P = (x_1,x_2,…,x_n)
とおく。題意より
OP = √｛(x_1)^2 + (x_2)^2 + … + (x_n)^2｝ ≦ r'.
Π[i=1,n] A_iP・B_iP の最大値をもとめる。
(A_iP・B_iP)^2 = {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i -r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2}
* {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i +r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2}
= (OP^2 + r^2 - 2r･x_i)(OP^2 + r^2 + 2r･x_i)
= (OP^2 + r^2)^2 - (2r･x_i)^2,
i=1,2,…,n について相加・相乗平均をとる。
(Π[i=1,n] A_iP・B_iP)^(2/n) ≦ (OP^2 + r^2)^2 - (1/n)(2r･OP)^2 = OP^4 + (2- 4/n)(r･OP)^2 + r^4,
等号成立は |x_1| = |x_2| = … = |x_n| = OP/√n のとき。
題意より OP≦r', n≧2 だから、
Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {(r')^4 + (2- 4/n)(r･r')^2 + r^4}^(n/2),
とくに r'=r のとき
Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {4(1 -1/n)}^(n/2) r^(2n),
(例)
n=2, r'=r のとき 2r^4,
n=3, r'=r のとき (8/3)^(3/2) r^6.
304:１３２人目の素数さん
08/03/16 23:25:16
半径１として考える。超球体の点x=(x1,...,x_n)を
単位ベクトルt=(t1,..,tn)を使ってx=rt (0≦r≦1)と書く。
(距離の積の２乗)
=Π{(r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2}
≦{(1/n)Σ((r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2)}^n （相加相乗）
={(r^2+1)^2-(4/n)r^2}^n
={(r^2+(1-2/n))^2+1-(1-2/n)^2}^n
よって右辺はr=1で最大となるから
距離の積はr=1, |t1|=...=|tn|(=1/√n)
のとき最大値(4-4/n)^(n/2)
305:１３２人目の素数さん
08/03/16 23:26:15
ﾘﾛｰﾄﾞしてなかったorz
306:１３２人目の素数さん
08/03/28 01:59:51
同スレからもう一題…
〔問題244〕(改作)
三角形の三辺をa,b,cとし、外接円の半径をRとおく。このとき次を示せ。
R ≧ {√(a^2 +b^2 +c^2)}/3, 等号成立は R√3 =a=b=c のとき。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:244番)
307:１３２人目の素数さん
08/03/29 00:24:53
>306
(略解)
a,b,cに対する頂角をA,B,C とする。
a^2 + b^2 + c^2 = (-a^2+b^2+c^2) + (a^2-b^2+c^2) + (a^2+b^2-c^2)
= 2bc･cosA) + 2ca･cos(B) + 2ab･cos(C) (←第2余弦定理)
= (8R^2){cos(A)sin(B)sin(C) + sin(A)cos(B)sin(C) + sin(A)sin(B)cos(C)}
= (8R^2){ -cos(A+B+C) + cos(A)cos(B)cos(C)} (*)
= (8R^2){ 1 + cos(A)cos(B)cos(C)} (← A+B+C=180ﾟ)
≦(9R^2).
(*) exp(iA)exp(iB)exp(iC) = exp(i(A+B+C)) の実部をとる。
〔補題〕
三角形の三頂角をA,B,Cとするとき、cos(A)cos(B)cos(C)≦ 1/8, 等号成立は A=B=C=60ﾟ のとき。
(略証)
・鈍角3角形のときは、残りの2角は90ﾟ未満だから cos(A)cos(B)cos(C) <0,
・鋭角3角形のときは、子s(A),cos(B),cos(C)≧0,
相乗・相加平均と cos(x) が上に凸であることから｛または log(cos(x))が上に凸であることから｝
cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^(1/3) ≦ cos((A+B+C)/3)^3
= (1/2)^3 = 1/8, (← A+B+C=180ﾟ) (終)
308:307
08/03/29 03:10:13
訂正。スマソ。
cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^3 ≦ cos((A+B+C)/3)^3
309:１３２人目の素数さん
08/03/30 16:20:16
相加相乗の不等式をできるだけ多くの方法で証明せよ
310:１３２人目の素数さん
08/03/30 23:25:44
>>309
君がしたまえ！
311:１３２人目の素数さん
08/03/31 23:11:01
>>306
[同スレ262]
既に解かれているが別解。
a ≦ b ≦ c として考えてよい。
R = abc/4S （S は三角形の面積）
= abc/√{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)} （∵ヘロンの公式）
= {√(a^2 + b^2 + c^2)}/3
∴ 9 a^2 b^2 c^2 = (a^2 + b^2 + c^2)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)
0 = 左辺 - 右辺
= a^6 + b^6 + c^6 + 3 a^2 b^2 c^2 - a^4 b^2 - a^4 c^2 - b^4 a^2 - b^4 c^2 - c^4 a^2 - c^4 b^2
= a^2 (b^2 - a^2) (c^2 - a^2) + (c^2 - b^2)^2 (c^2 + b^2 - a^2)
≧ 0 （∵ a ≦ b ≦ c）
だから等号は成り立っていなければならない。
等号の成立条件は {a = b または a = c} かつ b = c すなわち a = b = c。
このとき R = a/√3。
312:１３２人目の素数さん
08/05/05 23:07:28
801
313:１３２人目の素数さん
08/05/06 00:59:34
age
314:１３２人目の素数さん
08/05/06 17:50:09
>>309
n個の正の数 {a,b,c,…} の相乗平均をGとする。
すべての要素がGに等しい場合を除いて、 a < G < b となるような要素a,bがある。ここで
a' = G, b' = a･b/G,
と変更しても相乗平均はGのまま。一方、相加平均は
(G + a･b/G)/2 - (a+b)/2= -(G-a)(b-G)/G <0
より減少する。
この変更操作を繰り返すと、(n-1)回以内にすべての要素がGに等しくなり、相加平均もGになる。
しかし相加平均は減り続けた筈だから、元々の相加平均Aは Gより大きかった。(終)
参考文献[3] の p.71-72
315:１３２人目の素数さん
08/05/07 00:27:35
0≦x≦1,0≦y≦1,0≦z≦1の範囲で
{(x+y+z)/3}+√{x(1-x)+y(1-y)+z(1-z)}
のとりえる値の最大値を求めよ。
316:１３２人目の素数さん
08/05/08 09:06:26
半径rの球面上を4点A，B，C，Dが動く．このとき，
AB↑･AC↑+AC↑･AD↑+AD↑･AB↑
の最小値をrで表せ．
317:１３２人目の素数さん
08/05/08 11:22:51
>>316
0
318:１３２人目の素数さん
08/05/10 19:26:12
>>315
(x+y+z)/3 =A の断面で考える。 Σ逆順序積 ≦ Σ乱順序積 より
x(1-x) + y(1-y) + z(1-z) ≦ (x+y+z)(3-x-y-z)/3 = 3A(1-A),
よって
(与式) ≦ A + √[3A(1-A)]
= (3/2) - {(3/2 -A) - √[3A(1-A)] }
= (3/2) - 4(A -3/4)^2／{(3/2 -A) + √[3A(1-A)]} ≦ 3/2,
等号成立は A=3/4, x=y=z=3/4 のとき。
>>316
球の中心をOとし、OA↑=ａ↑, OB↑=ｂ↑, OC↑=ｃ↑, OD↑=ｄ↑ とおく。
(与式) = (ｂ-ａ)(ｃ-ａ) + (ｃ-ａ)(ｄ-ａ) + (ｄ-ａ)(ｂ-ａ)
= ｂ･ｃ + ｃ･ｄ + ｄ･ｂ -2(ａ･(ｂ+ｃ+ｄ)) + 3(ａ･ａ)
= (Ｓ^2 -ｂ^2 -ｃ^2 -ｄ^2)/2 -2(ａ･Ｓ) + 3(ａ･ａ) (← Ｓ=ｂ+ｃ+ｄ)
= (1/2)(Ｓ-2ａ)^2 + ａ^2 - (1/2)(ｂ^2 +ｃ^2 +ｄ^2) (← 平方完成)
≧ a^2 - (1/2)(ｂ^2+ｃ^2+ｄ^2)
= -(1/2)r^2,
等号成立は Ｓ = ｂ+ｃ+ｄ = 2ａ のとき。
(例えば、 △BCDが正3角形、その重心の方向にAがあり、∠AOB=∠AOC=∠AOD=arccos(2/3).)
319:１３２人目の素数さん
08/05/14 03:01:17
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
320:１３２人目の素数さん
08/05/14 03:01:34
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
321:１３２人目の素数さん
08/05/14 03:01:49
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
322:１３２人目の素数さん
08/05/14 03:02:03
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
323:１３２人目の素数さん
08/05/14 03:46:36
ん？タン虫は４連で終わり？
つまらん！
１０００までやりゃいいのに
324:１３２人目の素数さん
08/05/14 21:44:03
宿題ですが。。解き方が、わかりませんので、教えてください。
不等式2a-1/3<xを満たすxの最小の整数値が4であるとき、整数aの値をすべて求めなさい。
っていう問題です。
3≦2a-1/3＜4 を満たす a
を求めればよい。となっていますが、
5/3≦a＜13/6 となり
a＝２ と答はなりますが。。
解き方として
2a-1/3＜4 は、xに４を代入（最小の整数値は４のため）分かりますが
2a-1/3≧3 がどうして３がでてくるのか分かりません。
機械的に、不等式で最小の整数値と出てきた問題は
整数値をBとした場合
B-1≦式＜B と機械式に覚えるのでしょうか。
また、不等式で最大の整数値と出てきた問題は
整数値をCとした場合
C＜式≦C+1 と機械式に覚えるのでしょうか。
325:１３２人目の素数さん
08/05/14 22:20:06
>>324
2a-1/3＜4 は成り立つが
2a-1/3＜3 は成立たない。（← 4は最小値）
326:１３２人目の素数さん
08/05/20 20:20:39
a[1],・・・,a[n]>0 に対し, 不等式
(a[1]/a[2])+(a[2]/a[3])+・・・+(a[n]/a[1])
≧{(a[1]+a[2])/(a[2]+a[3])}+{(a[2]+a[3])/(a[3]+a[4])}
+・・・+{(a[n]+a[1])/(a[1]+a[2])}
が成立することを証明せよ.
（出典；数学セミナー）
327:１３２人目の素数さん
08/05/21 00:48:10
ベクトルで…と思ったが、分けわかめ ('A`)
328:１３２人目の素数さん
08/05/23 15:21:27
>>327
低脳は書き込まないように。
329:１３２人目の素数さん
08/05/24 00:15:18
>>328
330:１３２人目の素数さん
08/05/24 14:15:32
>>328
331:１３２人目の素数さん
08/05/24 14:16:56
>>328
332:１３２人目の素数さん
08/05/24 21:01:37
>>314
蛇足だが…
その変更操作によって調和平均は
2ab/(G + ab/G) = 2ab/(a+b-⊿) > 2ab/(a+b),
により増加する。
……
しかし調和平均は増え続けた筈だから、元々の調和平均HはGより小さかった。(終)
333:１３２人目の素数さん
08/05/28 17:29:13
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:79番)
から転載
nPk < (k! 2^n)/√n が成り立つことを示せ
ただしnPkは順列の個数を意味する
334:１３２人目の素数さん
08/05/31 20:35:13
>>333
nＰk /k! = C(n,k) とおくと、問題の式は C(n,k) < (2^n)/√n,
C(n,k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k),
より、左辺は k=[n/2] に向かって単調に増加する。
∴ C(n,k) ≦ C(n,[n/2]),
〔補題〕
C(n,[n/2]) ≦ (2^n)/√(n+2),
等号成立は n=2 のとき。
(略証)
nについての帰納法による。
n=1,2 のとき成立。
nが偶数のとき、n=2m,
C(2m,m) = 4{(m -1/2)/m}･C(2m-2,m-1) < 4√{2m/(2m+2)}･C(2m-2,m-1),
C(2m,m){1/[2^(2m)]}√(2m+2) は単調減少。
C(2m,m) ≦ {2^(2m)}/√(2m+2),
nが奇数のとき、
C(2m-1,m) = (1/2)C(2m,m) < {2^(2m-1)}/√(2m+2), (終)
※ 分母を √(n+2) にすると、間単に出る所がミソ。
335:１３２人目の素数さん
08/06/04 02:51:52
>>334 の補足
C(n,k) = n!/{k!(n-k)!} = n!/{(k-1)!(n+1-k)!}*((n+1-k)/k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k),
(m -1/2) /m < √{2m/(2m+2)},
(略証)
2m(m^2) - (2m+2)(m -1/2)^2 = 2m^3 -2(m+1)(m^2 -m +1/4) = (3m-1)/2 >0,
336:１３２人目の素数さん
08/06/08 22:07:04
〔問題83〕(改作)
a,b,c>0 とする.
a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ca)^2 + (ab)^2 + (bc)^2 ≧ abc(a+b+c) ≧ abc{√(bc) + √(ca) + √(ab)} ≧ 3(abc)^(4/3),
を示せ。
東大入試作問者スレ１５
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:83番)
---------------------------------------------------------
(略証)
左端
(1/2)(a^4 + b^4) ≧ (ab)^2,
巡回的にたす。
中央左
(1/2){(ca)^2 + (ab)^2} = (1/2)(a^2)(c^2 + b^2) ≧ (a^2)bc,
巡回的にたす。
中央右
(1/2)(b+c) ≧ √(bc),
巡回的にたす。
右端
√(bc) + √(ca) + √(ab) ≧ 3{√(bc)√(ca)√(ab)}^(1/3) = 3(abc)^(1/3),
337:１３２人目の素数さん
08/06/08 23:13:45
ﾊｧﾊｧ…
338:１３２人目の素数さん
08/06/14 19:02:42
>>326
a[k]/a[k+1] = b[k] とおく。
(右辺) = Σ_{k=1,n} (a[k] + a[k+1]) / (a[k+1] + a[k+2])
= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) / (1 + 1/b[k+1])
= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k+1]/(b[k+1] +1)
ここで x/(x+1) = 1 - 1/(x+1) は単調増加ゆえ、チェビシェフ和の不等式から
≦Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k]/(b[k] +1)
= Σ_{k=1,n} b[k]
= (左辺).
ただし、a[n+1]=a[1], a[n+2]=a[2] 等とした。
ぬるぽ
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
339:１３２人目の素数さん
08/06/23 23:58:44
a,b,c を実数，ｎを自然数としたとき，次の不等式を示せ．
|a+b+c|^{2n/n+1} ≦ 3^{2n/n+1} { |a|^{2n/n+1} + |b|^{2n/n+1} + |c|^{2n/n+1} }
340:１３２人目の素数さん
08/06/24 01:01:32
>>339 |a+b+c|≦3*max{|a|, |b|, |c|} から明らか。
341:１３２人目の素数さん
08/06/26 05:30:00
543
URLﾘﾝｸ(www.cms.math.ca)
B4101
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
A.447
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B.4043
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B.4049
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
A.439、B.4040
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
A.435、A436、B.4029
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
A.433、B4019、B4021
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B.4101（懐かしい）
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
342:１３２人目の素数さん
08/06/26 05:31:02
【f(x)】
A.450
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B.4060
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
【nCr】
B.4091
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
【other】
B.4046
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B.4035
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B.4031
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B.4097
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
雑事が多くて、ﾊｧﾊｧする時間が取れな… ｹﾞﾌﾝｹﾞﾌﾝ
343:１３２人目の素数さん
08/06/28 14:55:09
【問題148】(改作)
sin(cosθ)、cos(sinθ) の大小を比較せよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:148番)
---------------------------------------------------
(略解)
・|θ| < π/2 のとき, |sin(x)| ≦ |x| より
|sin(cosθ)| < |cosθ| = cosθ ≦ cos(sinθ),
・cosθ ≦0 のとき
-1 ≦ cosθ ≦0,
sin(cosθ) ≦ 0 < cos(1) ≦ cos(sinθ),
344:１３２人目の素数さん
08/06/28 21:48:06
>>341
A.435ムズイな…
345:１３２人目の素数さん
08/06/28 21:58:18
>>341
やさしいのは･･･
B.4019.
1/(2k+1)^2 < 1/{4k(k+1)} = 1/(4k) - 1/(4(k+1)),
より
(左辺) < 1/4 - 1/(4(n+1)) < 1/4.
なお、真の極限値は (3/4)ζ(2) -1 = (3/4)(π^2)/6 -1 = (π^2)/8 -1 = 0.23370055013617･･･
B.4035. 積和公式
2cos(kx)sin(x/2) = sin((k+1/2)x) - sin((k-1/2)x),
を使うと
(左辺) = sin((11/2)x) / sin(x/2),
x=(2/11)nπ, (nは整数, 但し11の倍数を除く.)
B.4043.
(a,b,c,d) = (1,3,5,11) (1,2,8,17)
B.4046.
(a,b) = (169/9, 196/9) 順不同
|a-b|=3,
346:345
08/06/28 22:07:34
〔問題〕は↓でつ･･･
B.4019. Prove that
1/(3^2) + 1/(5^2) + ･･･ + 1/(2n+1)^2 < 1/4,
for every positive integer n.
B.4035. Solve the following equation:
2cos(5x) + 2cos(4x) + 2cos(3x) + 2cos(2x) + 2cos(x) + 1 = 0.
B.4043. For what pairwise-different positive integers is the value of
a/(a+1) + b/(b+1) + c/(c+1) + d/(d+1) = 3, or
1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) + 1/(d+1) = 1 ?
B.4046. Solve the following simultaneous equations:
a√a + b√b = 183,
a√b + b√a = 182,
347:１３２人目の素数さん
08/06/29 00:50:11
私のコレクションの中にも無いなぁ…
348:１３２人目の素数さん
08/06/30 22:51:51
A436とか微妙におもしろいね。不等式ならでは。解析ならでは。
349:１３２人目の素数さん
08/07/02 01:21:20
中心がＯで半径１の円に内接する△ＡＢＣがある。
↑ＯＡ＝↑ａ、↑ＯＢ＝↑ｂ、↑ＯＣ＝↑ｃ
とするとき
↑ａ・↑ｂ＋↑ｂ・↑ｃ＋↑ｃ・↑ａ
の取りうる値の範囲を求めよ。
350:１３２人目の素数さん
08/07/02 20:57:26
>>341
B.4040.
a=tan(A/2), b=tan(B/2), c=tan(C/2) (0<A,B,C<π)
とおく。附帯条件から
cot((A+B+C)/2) = (1-ab-bc-ca)/(a+b+c-abc) = 0,
A+B+C = π,
ABCは三角形をなす。
(1) 鋭角三角形（or直角三角形）のとき
(左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 3cos((A+B+C)/3) (← 上に凸)
= 3cos(π/3) = 3/2.
(2) 鈍角三角形のとき、0<A,B<π/2<C とする。
(左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 2cos((A+B)/2) + cos(C) (← 上に凸)
= 2sin(C/2) + cos(C) = 1 +2sin(C/2) -2sin(C/2)^2
= √2 - 2{sin(C/2) -(1/√2)}{sin(C/2) -1 +(1/√2)} < √2 (← sin(C/2) > 1/√2)
351:350
08/07/02 21:18:08
〔問題〕は↓でつ･･･
B.4040.
a,b,c are positive real numbers, and ab+bc+ca=1. Prove that
(1-a^2)/(1+a^2) + (1-b^2)/(1+b^2) + (1-c^2)/(1+c^2) ≦ 3/2.
352:１３２人目の素数さん
08/07/03 01:31:20
>>351
ab+bc+ca=1 をみたす正の数 a、b、c に対して、
1/(1+a^2) + 1/(1+b^2) + 1/(1+c^2) ≦ 9/4
を示せばよい。
s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc とおくと、 t=1、u > 0 より、
（右辺）-（左辺） = (s-9u)(s-u)/{4(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)} ≧ 0
等号成立条件は a=b=c．
なぜならばっ！ なぜならばっ！
s-u > s-9u = st-9u ≧ 0 （←相加相乗平均の関係）
蛇足、t=1 より
s-u = st-u = (a+b)(b+c)(c+a) > 0
s-9u = st-9u = c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ≧ 0
＿＿＿
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ | 久々の出番だね！
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊ,ｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
353:350-351
08/07/03 23:28:16
>>352
成る程。 >>350 は牛刀だったか･･･orz.
>>349
(与式) = ↑a･↑b + ↑b･↑c + ↑c･↑a = {|↑a + ↑b + ↑c|^2 - |a↑|^2 - |b↑|^2 - |c↑|^2 }/2
= {|↑a + ↑b + ↑c|^2 -3}/2,
ここに
0 ≦ |↑a + ↑b + ↑c| ≦ 3,
-3/2 ≦ (与式) ≦ 3,
等号成立は (左側 :ABCが正三角形のとき, 右側 : A=B=C のとき）
ハｧ ハｧ
>>350
354:１３２人目の素数さん
08/07/03 23:58:49
>>353
牛刀も大歓迎です！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
なぜならばっ！ なぜならばっ！
不等式ヲタだからです！
別解が多いほど興奮するからです！
355:１３２人目の素数さん
08/07/04 23:51:52
B.4101.
Assume xyz=8. Prove that
1/√(1+x^2) + 1/√(1+y^2) + 1/√(1+z^2) ≧ 1,
不等式スレッド 143-157
IMO-2001 (USA) Problem 2 の類題らしいよ。
URLﾘﾝｸ(imo.wolfram.com)
356:１３２人目の素数さん
08/07/05 04:38:10
>>355
解けたけど芋のもんだいよりは簡単だった。
357:１３２人目の素数さん
08/07/06 10:42:24
>>341 , >>355 念のため･･･
B.4101.
a=k／(x^(3/2)), b=k／(y^(3/2)), c=k／(z^(3/2)), (k>0) とおくと
x^2 = 4bc/a^2, y^2 = 4ca/b^2, z^2 = 4ab/c^2,
(左辺) = a/√(a^2 + 4bc) + b/√(b^2 + 4ca) + c/√(c^2 + 4ab)
≧ a/√{a^2 +(b+c)^2} + b/√{b^2 +(c+a)^2} + c/√{c^2 +(a+b)^2} (← 相乗相加平均)
> a/(a+b+c) + b/(a+b+c) + c/(a+b+c)
= 1.
358:357
08/07/06 10:49:06
>357 の訂正、ｽﾏｿ
a=k／(x^(2/3)), b=k／(y^(2/3)), c=k／(z^(2/3)), (k>0) とおくと
359:１３２人目の素数さん
08/07/09 17:25:53
誰かA.435解いて～
360:１３２人目の素数さん
08/07/09 17:27:45
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:231番)
nは自然数とする
{Σ[k=0→2n](C[2n,k])}/{Σ[k=0→n](C[n,k])^2}≦2√n
を示せ
361:１３２人目の素数さん
08/07/10 00:11:21
バーゼル不等式を自力で見つけた俺は普通より上
362:１３２人目の素数さん
08/07/10 21:42:46
A435
s1=a+b+c,s2=ab+bc+ca,s3=abc
S1*S2/S3≧6{a/(s1-a)+b/(s1-b)+c/(s1-c)}
363:１３２人目の素数さん
08/07/10 21:45:10
a/(s1-a)+b/(s1-b)+c/(s1-c)={a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b)}/{(s1-a)(s1-b)(s1-c)}
364:１３２人目の素数さん
08/07/10 21:50:42
a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b)
=(a+b+c)s1^2-(ab+ac+bc+ab+ca+bc)S1-3abc
=S1^3-S1*S2-3*S3
365:１３２人目の素数さん
08/07/10 21:53:15
>>362-364
証明になっとらん
366:１３２人目の素数さん
08/07/10 21:53:25
a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b)
=(a+b+c)s1^2-(ab+ac+bc+ab+ca+bc)S1+3abc
=S1^3-2*S1*S2+3*S3
(s1-a)(s1-b)(s1-c)=S1^3-(a+b+c)S1^2+(ab+bc+ca)S1-abc
=S1*S2-S3
367:１３２人目の素数さん
08/07/10 21:57:14
>>366
続き教えてください
368:１３２人目の素数さん
08/07/10 21:58:19
S1*S2/S3≧6{S1^3-2*S1*S2+3*S3}/{S1*S2-S3}
S1*S2*{S1*S2-S3}-6*S3*{S1^3-2*S1*S2+3*S3}≧0
369:１３２人目の素数さん
08/07/10 22:02:04
-6*S3*S1^3+S2^2*S1^2+13*S2*S3*S1-18*S3^2≧0
370:１３２人目の素数さん
08/07/10 22:08:15
>>369
それが常に成り立つことの証明は？
371:１３２人目の素数さん
08/07/10 23:05:37
>>360
(分子) = Σ[k=0→2n] C[2n,k] = (1+1)^(2n) = 2^(2n),
(分母) = Σ[k=0→n] (C[n,k])^2 = Σ[k=0→n] C[n,k]･C[n,n-k] = C[n+n,n],
より
(左辺) = {2^(2n)}/C[2n,n] = b[n]
とおく。
b[1] = 2 = √(2n),
b[n]/b[n-1] = 4*(n*n)/[(2n)(2n-1)] = n/(n - 1/2)
= √{n*n/(n - 1/2)(n - 1/2)}
= √{n/(n-1)} * √{(n-1)n/[(n-1)n + (1/4)]}
< √{n/(n-1)}.
∴ b[n]/√(2n) は単調減少。
なお、
b[n]/√(2n) → (√π)/2, (n→∞)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:239番)
372:371
08/07/10 23:08:51
b[1] = 2 = 2√n,
b[n]/b[n-1] = 4*(n*n)/[(2n)(2n-1)] = n/(n - 1/2)
= √{n*n/(n - 1/2)(n - 1/2)}
= √{n/(n-1)} * √{(n-1)n/[(n-1)n + (1/4)]}
< √{n/(n-1)}.
∴ b[n]/(2√n) は単調減少。
なお、
b[n]/(2√n) → √(π/2), (n→∞)
373:１３２人目の素数さん
08/07/11 10:14:37
a,b,cは0より大きく1/2より小さい実数でa+b+c=1を満たすとする。このとき
(7a-1)/(a-a^2)+(7b-1)/(b-b^2)+(7c-1)/(c-c^2)≦18
374:１３２人目の素数さん
08/07/11 10:15:47
>>373
0＜a,b,c≦1/2 で考えてください。m(_ _)m
375:１３２人目の素数さん
08/07/13 11:09:47
∫[-1,1]|x^2+ax+b|dx≧1/2
を示せ
376:１３２人目の素数さん
08/07/13 18:12:00
今までで一番綺麗だと思った不等式は何ですか
377:１３２人目の素数さん
08/07/13 20:49:27
>376
シュワルツの不等式
378:１３２人目の素数さん
08/07/14 21:51:14
>>375
(ア) [-1,1] 内に x^2 +ax+b =0 の2根がない場合は
a ,bを適当に動かすことによって [-1,1]の全域にわたり |x^2 +ax +b| を減少させることが可能(証略)。
(イ) [-1,1] 内に x^2 +ax +b =0 の2根がある場合 -1≦α≦β≦1 と置いて積分を実行！
(左辺) = ∫_[-1,α] (α-x)(β-x)dx + ∫_[α,β] (x-α)(β-x)dx + ∫_[β,1] (x-α)(x-β)dx
= {(1/6)(3β-α)α^2 + b - (1/2)a + (1/3)} + (1/6)(β-α)^3 + {(1/6)(β-3α)β^2 + b + (1/2)a + (1/3)}
= (1/3)(β-α)^3 + 2b + 2/3 (αβ≧0 のときは 明らかに ≧2/3)
= (1/3)(β-α)^3 -(1/2)(β-α)^2 + 1/6 + (1/2)a^2 + 1/2 (← 以下、α≦0≦β とした.)
= (1/3)(β-α +1/2)(β-α-1)^2 + (1/2)a^2 + 1/2
≧ 1/2.
等号成立は β-α=1 かつ α+β= -a =0、すなわち α=-1/2, β=1/2 のとき. (終)
いくら何でもマンドクセ？
379:１３２人目の素数さん
08/07/14 22:40:32
>>342
B.4097.
(x,y) = (6,2), (50,10), (294,42).
>>377
さようなら。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
>>378 (← 注釈無用)
380:379
08/07/14 22:44:37
〔問題〕は↓でつ･･･
B.4097.
Solve the following equation on the set of integers:
2^((x-y)/y) － (3/2)y = 1.
381:１３２人目の素数さん
08/07/14 23:29:34
>>380
そういや、まだ考えてなかった…
382:１３２人目の素数さん
08/07/15 13:27:24
Jensenの不等式で
f(t_1･x_1+…+t_n･x_n)<=t_1･f(x_1)+…+t_n･f(x_n)
が証明されて、特に
t_1=…=t_=1/n
とおけば
f((x_1+…+x_n)/n)<=(f(x_1)+…+f(x_n))/n
ですが、
t_1+…+t_n=1
の場合を示さないで、直接
f((x_1+…+x_n)/n)<=(f(x_1)+…+f(x_n))/n
を示すことは可能なんですかね？
383:１３２人目の素数さん
08/07/16 23:32:04
入試問題でも貼ろうか？
384:１３２人目の素数さん
08/07/16 23:36:21
不等式ならドンと来い
385:１３２人目の素数さん
08/07/16 23:59:00
2S|x^2+ax+b|>2S|(1+a)x^2+b|>2S|x^2+b|>2S|x^2|>2/3|x|>2/3>1/2
386:１３２人目の素数さん
08/07/17 01:05:11
>>380
x,yは整数でy≠0よりx≠0、さらに2^(x/y)は整数よりy|xかつｘ≧y≧1
あとはゴリ押しで、任意の正整数nに対して
x=(2/3)(2n+1)((2^n)-1)((2^n)+1)、y=(2/3)((2^n)-1)((2^n)+1)
が求める整数解となる
不等式とか関係ない気がするが
387:１３２人目の素数さん
08/07/17 02:16:55
ａ≧０，ｂ≧０，ｃ≧０，ａ＋ｂ≧ｃのとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ
｛ａ／（１＋ａ）｝＋｛ｂ／（１＋ｂ）｝≧ｃ／（１＋ｃ）
（５３群馬大，５９中部工大）
２数ａ，ｂがａ＞０，ｂ＞０，ａ＋ｂ＝１を満たすとき，
｛ａ＋（１／ａ）｝＾２＋｛ｂ＋（１／ｂ）｝＾２≧２５／２
を証明せよ （５２茨城大）
３つの正数ｘ，ｙ，ｚがｘ＋ｙ＋ｚ＝１をみたすとき，不等式
｛２＋（１／ｘ）｝｛２＋（１／ｙ）｝｛２＋（１＋ｚ）｝≧１２５
が成り立つことを示せ （５８東京女大・数理）
ｎは２５以上の定数，ｘ，ｙ，ｚは負でない整数で，ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５のとき
｛１－（ｘ／ｎ）｝｛１－（ｙ／ｎ）｝｛１－（ｚ＋ｎ）｝
の最大値を求めよ （５８東京理科大）
暇潰しにもならないと思うがどうぞ
388:１３２人目の素数さん
08/07/17 02:20:48
訂正
ｎは２５以上の定数，ｘ，ｙ，ｚは負でない整数で，ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５のとき
｛１－（ｘ／ｎ）｝｛１－（ｙ／ｎ）｝｛１－（ｚ／ｎ）｝
の最大値を求めよ （５８東京理科大）
389:１３２人目の素数さん
08/07/17 03:40:53
フハハハハ…、解ける、解けるぞ！
390:１３２人目の素数さん
08/07/17 07:02:42
(1-25/3n)^3
2*2.5^2=2*5^2/2>25/2
2(c/2+2/c)^2=(4+c^2)^2/2c^2>c/(c+1)
2^((x-y)/y) － (3/2)y = 1
2^(x/y-1)=1+(3/2)y=(2+3y)/2
2^(x/y)=2+3y
(x/y)log2=log(2+3y)
xlog2=ylog(2+3y)
x=ylog(2+3y)/log2
log(2+3y)=klog2
2+3y=2^k
y=(2^k-2)/3=2(2^(k-1)-1)/3
2^(k-1)-1=3m
k-1=log(3m+1)/log2
k=log(3m+1)/log2+1
y=(2^k-2)/3=2(2e^log(3m+1)-2)/3=2(2(3m+1)-2)/3=4m
x=ylog(2+3y)/log2=4mlog(2+12m)/log2
391:１３２人目の素数さん
08/07/17 22:10:13
私にも解けますた…
>>387
(1) a/(1+a) + b/(1+b) ≧ a/(1+a+b) + b/(1+a+b) = (a+b)/(1+a+b) ≧ c/(1+c). {← x/(1+x) は単調増加}
∵ (a+b)(1+c) - (1+a+b)c = (a+b) - c ≧ 0.
(2) a+b=s, b-a=d とおくと
(左辺) = {a+(1/a)}^2 + {b+(1/b)}^2
= (a^2 + b^2) + {(1/a)^2 + (1/b)^2} + 4
= (a^2 + b^2){1 + (1/ab)^2} + 4
= (1/2)(s^2 + d^2){1 + 16/(s^2 - d^2)^2} + 4
これは d^2 について単調増加。d=0 のとき最小値
(1/2)(s^2){1 + (2/s)^4} + 4 = 2{(s/2)+(2/s)}^2.
(別法) f(x) = {x + (1/x)}^2 = x^2 + 2 + 1/(x^2) は下に凸だから
f(a) + f(b) ≧ 2f((a+b)/2) = 2f(s/2) = 2{(s/2)+(2/s)}^2.
(3) 基本対称式を x+y+z =s, xy+yz+zx =t, xyz =u とおく。
(xy+yz+zx)/(xyz) = t/u ≧ 3*(3/s),
(x+y+z)/(xyz) = s/u ≧ 3*(3/s)^2,
1/(xyz) = 1/u ≧ (3/s)^3,
(左辺) = {2+(1/x)}{2+(1/y)}{2+(1/z)} = {8xyz + 4(xy+yz+zx) + 2(x+y+z) + 1}/(xyz)
= 8 + 4(xy+yz+zx)/(xyz) + 2(x+y+z)/(xyz) + 1/(xyz)
≧8 + 12*(3/s) + 6*(3/s)^2 + (3/s)^3
= {2 + (3/s)}^3
>>388
(4) 相乗相加平均より
(与式) ≦ {1 - (x+y+z)/(3n)}^3 = {1 - s/(3n)}^3.
392:１３２人目の素数さん
08/07/18 19:46:07
とりあえずIMO
'08 2
(1)x,y,z∈R-{1}, xyz=1のとき, x^2/(x-1)^2+y^2/(y-1)^2+z^2/(z-1)^2≧1を示せ。
(2)(1)で、等号が成立する有理数の組(x,y,z)が無限に存在することを示せ。
393:１３２人目の素数さん
08/07/19 00:09:16
>>392
(1) 基本対称式を x+y+z =s, xy+yz+zx =t, xyz =u とおく。
{x(y-1)(z-1)}^2 + {(x-1)y(z-1)}^2 + {(x-1)(y-1)z}^2 - {(x-1)(y-1)(z-1)}^2
= 3u^2 -4tu +2t^2 -2(st-3u) + (s^2 -2t) - (u-t+s-1)^2
= (t-3)^2 + 2(u-1)(u-t-s+5),
= (t-3)^2 (← 題意より u=1)
≧ 0,
これを {(x-1)(y-1)(z-1)}^2 >0 で割る。
(2) 等号条件は t=3, u=1. なので･･･
394:１３２人目の素数さん
08/07/20 08:47:38
とりあえず、>>373-374が解ければA.435が解けることが分かった。
395:１３２人目の素数さん
08/07/20 15:21:54
そろそろ、３文字の対称式に対する不等式に対して一般的解法をここへ載せてもいい時期ではないか？
表立って現れて来ない条件は３文字が実数を現すって事だけで、後は問題の条件が付け加われば
もう、解法に使える条件式は本質的にはないのだから、後はその式が少々煩雑で
一般的にはそれほどよく目にしないってだけの話なんだから、、、。
そうして、文字の次数をあげれば、それはそれで一般的な理論への道が開けている。
そうして、事はそれほどには単純明快にはならないだろうが、、、。
ここらへんから先には幾何や代数もからんで来て数学を学んで視野や地平線を広げていくのには
格好の話題になると思う。
別に不等式だけからでも、数学の全分野に近い範囲を見渡す事だってできると思うし、
そいつは結構おもしろい旅路だと思うよ。
396:１３２人目の素数さん
08/07/21 00:10:03
>>395
さあ！
397:１３２人目の素数さん
08/07/23 01:01:13
a,b,c≧1のとき、次の不等式を証明せよ。
4(a+b+c)≧(1+a)(1+b)(1+c)
・・・なんか間違ってるような気がするんだが、
どのようなものと間違えたか心当たりある人いる？
398:１３２人目の素数さん
08/07/23 01:38:49
>>397
a = b = c = 2 のとき左辺 = 24、右辺 = 27 にて不成立
399:１３２人目の素数さん
08/07/24 23:12:44
頭悪いので次の式が成り立つのが分かりません。
C>1、nが正の整数であるとき、C<=(1+((C-1)/n))^n
教えてください。引き算と割り算のどちらからも
数学的帰納法をうまく使えませんでした。
400:１３２人目の素数さん
08/07/24 23:21:20
数式部分を書き直すと、
Ｃ＞１で、nが正の整数であるとき、
C≦(1+((C-1)/n))^n
401:１３２人目の素数さん
08/07/24 23:31:57
>>399
x ≧ 0 について (1 + x)^n = 1 + n x + ... ≧ 1 + n x なので
x = (C - 1)/n を代入するだけ。
402:399
08/07/25 11:47:10
早速のご回答ありがとうございます。リロードするのを忘れて
レスが付いたのに気づくのが遅れました。２項定理でしたか。
なるほど。ありがとう。
403:１３２人目の素数さん
08/07/26 18:28:48
図書館に
[2] 不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
あったから借りてきた
受験参考書っぽくてよさげ
404:１３２人目の素数さん
08/07/26 23:38:37
>>403
すばらしい！
くれ！
405:１３２人目の素数さん
08/07/26 23:42:40
どこの大学にもあるんじゃね？
うちの大学にもあるが数学科が借りてるらしい
406:１３２人目の素数さん
08/07/27 18:03:41
うちの大学って言われても……
407:１３２人目の素数さん
08/07/28 03:43:15
復刊希望ンヌ！
408:１３２人目の素数さん
08/07/30 23:03:59
他スレから１題･･･
〔問題396〕実数 a,b,c が条件
(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 60,
を満たすとき、
S = |a-b| + |b-c| + |c-a| の最大値と最小値を求めよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:396番) ,442
409:１３２人目の素数さん
08/07/30 23:07:48
>>408
(略解)
b-a=x, c-b=y, a-c=z とおく。x+y+z =0,
∴ ≧0 のものと ≦0 のものがある。
題意より (a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a) = -3xyz > 0,
{x,y,z} の2つは正、1つが負である。
x,y>0>z としてもよい。(x,y)-平面の第一象限で考える。
(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = -3xyz = 3xy(x+y),
(最小値)
軸を45ﾟ回して
S/(√8) = (x+y)/√2,
d = (x-y)/√2,
とおくと、
3xy(x+y) = (3/√2){(1/8)S^2 - d^2}S,
題意より、
0 ≦ d^2 = (1/8)S^2 - 80/S = F(S), （F は単調増加函数）
S ≧ 4･10^(1/3),
等号成立は x = y = -z/2 = 10^(1/3), またはその rotation のとき。
(最大値) なし
x→∞ のとき、0 < y < 20/x^2 →0, S=2(x+y) →∞.
410:１３２人目の素数さん
08/08/02 12:58:58
π^4+π^5<e^6を示せ
411:１３２人目の素数さん
08/08/02 13:39:34
グーグルで計算したら殆ど同じだった。
でも少しだけe^6が大きかった。
これはただの偶然か？
412:１３２人目の素数さん
08/08/02 14:24:28
これだけ近い値だと近似して示すのは無理ぽいな
なんかうまい方法があるのかな
413:１３２人目の素数さん
08/08/02 23:05:28
π^4 + π^5 ≒ e^6 は有名な近似式でつ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
414:１３２人目の素数さん
08/08/03 02:29:53
スゲーΣ(0д０`ノ)ノ
誰がこんな近似思いついたんだ！
415:１３２人目の素数さん
08/08/03 02:49:01
持ってる本で一つ、>>410関連のことをごく短く書いてあるのがあったな
「数のエッセイ」（一松信、ちくま学芸文庫）
のP.236（ただし、俺の持ってるのは第二刷発行のものなので、それ以外はわからん）で、
文庫本編のエッセイに対する補足説明の部分の一文なのだが、
――もっとおもしろいのは
π^4 + π^5 ＝ 403.4267758… ≒ e^6 ＝ 403.4267934…
であろう。
最後の式（↑の式のこと）はカナダでT^3（電卓研究会）が開かれたとき（2003年）、
現地の年配の女性教員から教えられた。
と書いてあった
他にも何かの本で見たような気がするが、ちょっと思い出せないな
416:１３２人目の素数さん
08/08/03 04:36:00
別にすごくないでしょ。
eやπでの近似を考えて掛けたり割ったりしていれば
e^6をπで割っていってe^6/π^4を見れば気づく。
417:１３２人目の素数さん
08/08/03 05:33:41
>>416
じゃあ、eとπだけを使って
π^4+π^5≒e^6
みたいに小さい数で見た目のキレイな誤差0.0001以下の近似を作ってみな
どうせ作れないから
418:１３２人目の素数さん
08/08/03 06:39:02
>>417
20 + π - e^π ≒ 0.0009000208 1052423273 3557015330 9555･･･
e^6 - π^5 - π^4 ≒ 0.0000176734 5123210920 5537811247 561872･･･
419:１３２人目の素数さん
08/08/03 12:07:27
>>418
「e π 整数」
とかで検索すると上の式の載ってるHPがいくつか出てくる。
それと、下の式をそんな自信満々に貼られても……移項しただけじゃん。
そろそろ不等式に戻ろうか。
420:１３２人目の素数さん
08/08/04 00:32:46
近似式がすごいのか、思いつくのがすごいのか、どっちだ？
421:１３２人目の素数さん
08/08/04 00:39:08
よく見つけるなーとは思う
422:１３２人目の素数さん
08/08/04 00:53:21
係数と定数を無視すれば、e1項とπ2項では50乗くらいまでの中で一番良い近似っぽいね
これにて終了
423:１３２人目の素数さん
08/08/04 01:34:21
結局
π^4+π^5<e^6
を示すのは電卓使わないと無理でＯＫ？
424:１３２人目の素数さん
08/08/04 07:08:35
>>423
ゼータ関数ζ(3)を求める事くらい難しいと思うからＯＫ
425:１３２人目の素数さん
08/08/04 07:26:18
>>423
その不等式を数値計算しないで示せというのが数検であったからＯＫじゃない
426:１３２人目の素数さん
08/08/04 19:46:28
>>425 kwsk
427:１３２人目の素数さん
08/08/05 19:33:24
３段の問題だな
428:１３２人目の素数さん
08/08/06 00:32:34
>>427
もっとくわしく！ (；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ
429:１３２人目の素数さん
08/08/06 07:51:39
>>415
情報グッジョブ！
430:１３２人目の素数さん
08/08/06 10:09:16
URLﾘﾝｸ(www.suken.net)
これか
431:１３２人目の素数さん
08/08/06 16:29:09
>回答締切 平成２０年９月１２日（当日消印有効）
ここに解答書いたらまずいってことか。
ここにいる猛者なら誰かは出来たであろう
432:１３２人目の素数さん
08/08/06 19:03:52
x>1に対しd/dx (1 - √(ln(x)/x))^(√(xln(x))<0を示せ.
433:１３２人目の素数さん
08/08/06 20:48:07
(√2)+(√3)-π＞0
であることをなるべく数値計算をせずに示せ
一応、答は用意してある
434:１３２人目の素数さん
08/08/09 08:07:33
東大スレに不等式がらみのが沢山あるね
435:１３２人目の素数さん
08/08/09 18:35:34
分かスレにもある･･･
〔問題823〕
曲面Q： (x/a)^r + (y/b)^r + (z/c)^r = 1 (a,b,c,r>0)と
平面P： ax + by + cy = 0 がある。
平面Pに平行で曲面Qに接する平面P'の式と接点の座標を a,b,c,r で表わせ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:823番) 874
436:１３２人目の素数さん
08/08/09 23:11:58
面白スレに三角比の(；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ問題があるね
437:１３２人目の素数さん
08/08/18 16:38:21
相加相乗平均に新証明法 高校教諭、運転中にひらめく
URLﾘﾝｸ(www.asahi.com)
高校の数学で習う定理の新しい証明法を県立倉敷古城池高校教諭の内田康晴さん（４９）が見つけ、オーストラリアの数学専門誌に論文が掲載された。
「高校の教育現場から論文投稿はもっと増えていい。励みになるだろう」と数学者からも喝采の声が上がっている。
証明したのは「相加相乗平均の定理」。高校１年で習うことが多い。
内田さんは、ある定理の証明で描いていた図形が、相加相乗平均の定理の証明に使えることに気づいた。さらに簡単な証明法がないかと連日、考えていたところ、
出勤途中の運転中にひらめいた。高校入学後すぐに扱う簡単な公式を使うだけの方法だった。
438:１３２人目の素数さん
08/08/18 16:40:34
＞「この証明方法に気づいた人はこれまでにもいたはず。
＞簡単すぎるので発表済みと思ったのかもしれない」と謙遜（けんそん）する
分かってる先生だな。
>>437の証明法ってどういう証明かご存知の方いらっしゃいますか？
439:１３２人目の素数さん
08/08/18 16:42:33
URLﾘﾝｸ(www.emis.de)
これじゃないでしょうか
440:１３２人目の素数さん
08/08/18 17:11:56
萌え死にそうでつ
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
441:１３２人目の素数さん
08/08/18 17:20:19
ありがとう。
442:１３２人目の素数さん
08/08/18 17:32:14
URLﾘﾝｸ(www.nhk.or.jp)
URLﾘﾝｸ(video.google.com)
URLﾘﾝｸ(www.nhk.or.jp)
URLﾘﾝｸ(www.nhk.or.jp)
443:１３２人目の素数さん
08/08/18 22:13:17
>>439
あんまり簡単だとは思えないな。
444:１３２人目の素数さん
08/08/18 22:22:40
まぁあれだ！
不等式があれば、あと10年は戦える！
445:１３２人目の素数さん
08/08/18 22:28:24
実数a,b,cに対してf(x)=ax^2+bx+cとする．このとき
∫[-1,1](1-x^2){f'(x)}^2dx≦6∫[-1,1]{f(x)}^2dx
であることを示せ． (08京大文系)
446:１３２人目の素数さん
08/08/18 23:27:08
>>445
x∈[-1,1] のとき 1-x^2 < 6 だから自明？
447:１３２人目の素数さん
08/08/18 23:33:48
∫[-1,1](1-x^2){f’(x)}^2dx≦6∫[-1,1]{f(x)}^2dx
448:446
08/08/18 23:41:22
>>447
thanks
' が見えなかった
449:１３２人目の素数さん
08/08/19 01:04:57
>>439
昔すう折りの本で見た子とあるぞ
450:１３２人目の素数さん
08/08/19 08:32:28
>>437
相加相乗平均に新証明法 県立高校教諭、運転中にひらめく
ｽﾚﾘﾝｸ(news板)
451:１３２人目の素数さん
08/08/21 00:38:27
>>433
用意しといた解答書いておく
sin(π/12) ＞ (π/12) - (1/6)(π/12)^3
tan(π/12) ＞ (π/12) + (1/3)(π/12)^3
より
8sin(π/12) + 4tan(π/12) ＞ π …(*)
一方
sin(π/12) = (√6 - √2)/4
tan(π/12) = 2 - √3
より
√2 + √3 - (8sin(π/12) + 4tan(π/12))
= √2 + √3 - (2√6 - 2√2 + 8 - 4√3)
= (√2-1)^2 (2-√3)^2 (√3-√2)
これは明らかに正なので
√2 + √3 ＞ 8sin(π/12) + 4tan(π/12) …(**)
(*)(**) より
√2 + √3 ＞ π
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