不等式への招待 第３� ..
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198:１３２人目の素数さん 07/11/23 04:38:52 92 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [] 投稿日：2007/11/22(木) 21:22:50 a,bは正の実数，tは正の実数とする．このとき，いかなるa,bに対しても以下の不等式が成り立つようなtの最小値を求めよ． log√(ab)≦{(a+b)/2}^t 93 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2007/11/22(木) 22:15:42 >>92 a=b=e^eとすれば、(左辺)=e,(右辺)=e^(et) となるので、与不等式が成立するためには et≧1、すなわちt≧1/eでなければならない。 次に、t=1/eで不等式が成立することを示す。 y=logx上の点(e,1)での接線がy=x/eであり、y=logxのグラフが上に凸なので x/e≧logxが言え、この式からx≧log(x^e)が導かれる。 このときx^e=zとすることでz^(1/e)≧logzとなる……① また相加相乗平均の不等式から{(a+b)/2}^(1/e)≧(√ab)^(1/e)となる……② ①でz=√abとして②と組み合わせることで{(a+b)/2}^(1/e)≧log√abが示される。 以上から、求めるtの最小値は1/e。 問題文の左辺をloga+logbとした方が解きづらい問題になりそう。 94 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2007/11/22(木) 22:46:51 >92 相加相乗平均より、(左辺) ≦ log((a+b)/2) = log(A), >84 の式で y=(1/e)A^t とおく。 t*log(A) ≦ (1/e)A^t, 与式成立条件は、t≧1/e,
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