不等式への招待 第３� ..

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190:１３２人目の素数さん 07/11/15 00:41:41 >>189 どこにいる？ 191:１３２人目の素数さん 07/11/15 10:00:55 おまえのこと？ 192:１３２人目の素数さん 07/11/15 11:14:35 Shapiroの巡回不等式って、 本当に>>172のような単純な形をしているのか？ 元の原型はもっと複雑な形をしているんじゃないのか？ 不等式の未解決問題にしては妙に単純な形だ。 「不等式への招待」に現れる不等式の中には 何らかの理論の中に現れるものが結構あるのだが。 193:１３２人目の素数さん 07/11/17 10:15:46 【問題】 f: [0,1] ---> R を C^2 級関数で f(0)=f(1)=0 をみたせば， 次の不等式が常に成立することを示せ： max_{x ∈ [0,1]} |f(x)| ≦ 1/8 max_{x ∈ [0,1]} |f^{(2)}(x)|． 194:１３２人目の素数さん 07/11/17 15:15:42 >193 (左辺) = |f(ξ)| とする。(ξ∈[a,b]) X>ξ でも X<ξ でも f(X)≦f(ξ) だから f'(ξ)≧0 かつ f'(ξ)≦0, ∴ f'(ξ) = 0, 　|f'(X)−f'(ξ)| = |(X-ξ)f"(η)| ≦ |X-ξ|･max{|f"(x)|;x∈[a,b]|}, 　|f (X)−f (ξ)| ≦ (1/2)(X−ξ)^2･max{|f"(x)|;x∈[a,b]}, 題意より f(a)=f(b)=0 だから, 　(左辺) = |f(ξ)| ≦ (1/2){min(ξ-a,b-ξ)}^2･max{|f"|} ≦ (1/8)(b-a)^2･max{|f"|} = (右辺), 注)　ξ∈[a,b] ⇒　min{ξ-a,b-ξ} ≦ |b-a|/2 を使った。

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