不等式への招待 第３� ..

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17:１３２人目の素数さん 07/05/31 00:56:20 >13 x+y=s, xy=t とおく(基本対称式), 　題意より s+t=1, s>0, t>0, 　絶対不等式　s^2 -4t = (x-y)^2 ≧0, より 　0.828427… = 2(√2 -1) ≦ s < 1, 　(与式) = s/t + 1/s = s/(1-s) + 1/s = 1/{s(1-s)} -1 ≧ 5(1+√2)/2 = 6.0355339… 　等号は x = y = s/2 = √2 -1 のとき。 18:１３２人目の素数さん 07/05/31 10:48:17 実数x,y,zについて以下の不等式が成り立つことを示せ。また、等号成立条件を求めよ。 (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)^2 ≦ (x^2 + y^2 + z^2)^3 19:１３２人目の素数さん 07/06/01 00:29:33 >>18 (右辺)-(左辺)=(xy+yz+zx)^2(x^2 + y^2 + z^2 + (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2)≧0 より不等式は成立。 この表式より，等号成立条件は xy+yz+zx=0 または x=y=z=0 だが，まとめると xy+yz+zx=0 20:１３２人目の素数さん 07/06/01 01:03:57 >14 [19.] Series involving e. Find the sum of the following series: Σ[n=1,∞) {e -(1 +1/n)^n} n*log(1 +1/n) = n*{1/n -1/(2n^2) +O(1/n^3)} = 1 -1/(2n) +O(1/n^2), (1 +1/n)^n = e*{1 -1/(2n) +O(1/n^2)}, e -(1 +1/n)^n = e/(2n) + O(1/n^2).　 (e/2)Σ 1/n 〜 (e/2)log(n)　より対数発散… 蛇足だが、↓ならば収束すると思われ… 　Σ[n=1,∞) {e -(1 +1/n)^(n +1/2)}

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